Warum ändern E&M-Felder nach dem Auftreffen auf eine Oberfläche nicht ihre Ausrichtung?

Darauf gibt es eine einfache Antwort: Symmetrie.

Angenommen, das Material ist isotrop, und betrachten Sie den Anfangszustand des p-polarisierten Falls, bei dem eine p-polarisierte Lichtwelle kurz davor steht, auf die Oberfläche zu treffen. In diesem Fall lässt die Reflexion in der Ebene, die die einfallenden und gestreuten Wellenvektoren enthält, sowohl das (Vektor-) elektrische Feld als auch das (Pseudovektor-) Magnetfeld unverändert. Sie könnten denken, dass das Reflektieren in dieser Ebene die Richtung des Magnetfelds umkehren würde, aber da das Magnetfeld ein Pseudovektor ist, dessen Richtung willkürlich durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt wird, ist bei einer Spiegelreflexionstransformation ein zusätzliches Minuszeichen beteiligt. Das Ergebnis ist eine physikalisch äquivalente Situation, die immer noch die Maxwell-Gleichungen erfüllt, mit der richtigen Bewegungsrichtung in der Zeit und der richtig festgelegten Regel für die rechte Hand.

Die Anfangsbedingungen haben also Spiegelsymmetrie in dieser Ebene, und die Zeitentwicklungsgleichungen (Maxwell-Gleichungen) haben Spiegelsymmetrie in dieser Ebene, also muss das Ergebnis die gleiche Symmetrie haben. Die reflektierte Welle muss also p-polarisiert sein.

Hier ist eine andere Denkweise: Wenn Sie eine p-polarisierte Welle einsenden und eine s-polarisierte Komponente erhalten, wie entscheidet die Physik, ob das elektrische Feld zunächst nach links oder rechts gehen soll? Genauer: Wählen Sie einen zeitlichen und räumlichen Zeitpunkt, an dem die einfallende Welle mit maximierter z-Komponente des elektrischen Feldes auf die Oberfläche trifft. Entweder ist das elektrische Feld für die s-polarisierte Komponente der gestreuten Welle an diesem Punkt ungleich Null und muss daher entweder in +y- oder in -y-Richtung liegen, oder das Feld ist Null und seine zeitliche Ableitung ist ungleich Null, also die Zeit Ableitung ist entweder in der +y- oder in der -y-Richtung. Aber es gibt nichts in der Physik, um zu entscheiden, welcher dieser beiden Fälle (+y oder -y) herauskommen wird. Und wenn wir daraus schließen, dass es einer von ihnen sein muss, und wir die Analyse des Spiegelbilds desselben Experiments wiederholen (das wir schon gesehen, ist identisch mit dem Originalexperiment), dann bekommen wir die gegenteilige Antwort. Entweder erlauben die Maxwell-Gleichungen also zwei unterschiedliche Lösungen (was wir aus verschiedenen Eindeutigkeitsbeziehungen wissen, sollten nicht möglich sein), oder die s-polarisierte Komponente hat eine Größe von genau Null.

Angenommen, wir beginnen mit der s-Polarisation und finden wieder heraus, wie das Feld in einem Spiegel aussehen würde. Das elektrische Feld kehrt nun das Vorzeichen unter der Spiegelreflexion um, ebenso wie das magnetische Feld (wieder wegen des zusätzlichen Minuszeichens, das sich aus der Pseudovektornatur des Magnetfelds ergibt), und wir haben genau die gleiche Situation, aber mit einem zusätzlichen Minuszeichen. Und ein ähnliches Argument sagt uns, dass die s-polarisierte einfallende Welle keine p-polarisierte reflektierte Welle erzeugen kann.

Zusammenfassend und etwas technischer ausgedrückt: Die Reflexion in der xz-Ebene hat keinen Einfluss auf das p-polarisierte Licht. Die Anfangsbedingungen haben daher unter dieser Symmetrieoperation eine sogenannte "gerade Parität".

Die Reflexion in der xz-Ebene hat bis auf die Multiplikation mit einem Minuszeichen keine Auswirkung auf das s-polarisierte Licht. Die Anfangsbedingungen haben in diesem Fall "ungerade Parität".

Die Bewegungsgleichungen, die Maxwell-Gleichungen, sind unter Spiegelreflexionen symmetrisch (wiederum, solange wir dieses zusätzliche Minuszeichen für das Magnetfeld verstehen). Nach dem Satz von Noether bleibt also die Parität erhalten. Eingangszustände mit gerader Parität können nur Ausgangszustände mit gerader Parität hervorrufen und umgekehrt.

Sie wissen jetzt also allgemein, dass das Ergebnis gelten muss. Aber was, wenn Sie es im Detail überprüfen wollten? Nun, es gibt auch einen einfachen Weg, das zu tun. Sie können der Analyse eine zusätzliche reflektierte Welle der anderen Polarisation hinzufügen. So können Sie beispielsweise ein Problem aufstellen, bei dem Sie eine einfallende p-polarisierte Welle, eine reflektierte p-polarisierte Welle, eine gebrochene p-polarisierte Welle und zwei zusätzliche Wellen haben, die nicht im ursprünglichen Problem enthalten sind: eine reflektierte s-polarisierte Welle und eine gebrochene s-polarisierte Welle. Dann machen Sie sich wie zuvor daran, das Problem zu lösen. Wenn Sie durch die Algebra kurbeln, werden Sie feststellen, dass die Amplituden der s-polarisierten Komponenten Null sein müssen. Es wird einfach keine Möglichkeit geben, sie gleichzeitig die Randbedingungen an allen Punkten in Raum und Zeit abzugleichen, ohne einen zusätzlichen Vorfall hinzuzufügens-polarisierte Welle, was Betrug ist, weil Sie die Anfangsbedingungen ändern. In der Tat möchten Sie vielleicht weitermachen und diese Übung durchgehen und genau sehen, warum es nicht funktioniert. An einem Punkt werden Sie feststellen, dass, wenn Sie die S-Wellen-Amplitude an allen Punkten im Raum für einen bestimmten Zeitpunkt haben, die Zeitableitungen alle die falschen Vorzeichen haben, um in nahe gelegenen Zeitpunkten zusammenzupassen. Und umgekehrt: Passt man die zeitlichen Ableitungen an, haben die Amplituden das falsche Vorzeichen. Und es gibt einfach keine Möglichkeit, die Phasenfaktoren aufeinander abzustimmen; Es wird immer ein Minuszeichen geben, das nicht verschwindet. So zeigt sich eine Paritätsverletzung in der Algebra. Wenn Sie diese Übung durchgearbeitet haben, verstehen Sie vielleicht besser, warum die Symmetrie im Allgemeinen so funktionieren muss.

Schließlich kommen wir zur Doppelbrechung. Warum kann die Doppelbrechung s- und p-Polarisationen mischen? Einfach: Weil ein doppelbrechendes Material die Spiegelebenensymmetrie im Allgemeinen bricht. Sicher, es wird Möglichkeiten geben, die Oberfläche zu schneiden und die Einfallsrichtung zu definieren, wobei die physikalische Situation immer noch entweder eine rein-gerade oder eine rein-ungerade Parität hat, aber für einen zufälligen Schnitt und eine zufällige Einfallsrichtung wird dies im Allgemeinen nicht der Fall sein. Die physikalische Situation wird eine sogenannte "gemischte Parität" haben, und dies ermöglicht es Ihnen, die s- und p-Komponenten zu mischen, ohne den Satz von Noether zu verletzen.

Dies ist ein äußerst wichtiges Prinzip in der Physik. Wenn Sie sich an Symmetriegesetze gewöhnt haben, können Sie große Teile komplizierter Ableitungen überspringen und einfach Terme streichen, die "offensichtlich" Null sind, weil sie die falsche Symmetrie haben. Sie wissen, dass Sie in der Physik im ersten Studienjahr oft viele Details einer Berechnung überspringen können, weil Sie wissen, dass beispielsweise der Impuls erhalten bleiben muss? Das ist genau dasselbe, nur allgemeiner. Besonders wenn man in die Quantenmechanik einsteigt, ist das eine wirklich große Sache.

Die Definition von s-polarisiertem Licht ist, dass das elektrische Feld so polarisiert ist, dass es senkrecht zur Einfallsebene steht . Bei einer spiegelnden Reflexion enthält die Einfallsebene den k-Vektor der ankommenden Welle und der reflektierten Welle.

Da das elektrische Feld einer EM-Welle senkrecht zum k-Vektor stehen muss. Dies lässt dann die Möglichkeit zu, dass Sie eine Komponente des reflektierten E-Felds haben, die p-polarisiert ist (wie im zweiten Diagramm).

Da die tangentiale Komponente des elektrischen Felds über die Grenze hinweg kontinuierlich sein muss, muss diese Beziehung für die Komponenten des elektrischen Felds gelten, die senkrecht zur Ebene des Diagramms (der Einfallsebene) und tangential zur Grenze in der Einfallsebene liegen , dann nennen wir die p-polarisierte Komponente der reflektierten Welle$E_{p,r}$und die entsprechende (und notwendige) Komponente in der gesendeten Welle$E_{p,t}$, dann wissen wir das

Dies bildet ein völlig separates und unabhängiges Paar von Gleichungen von denen, die die Beziehung zwischen dem Einfallswinkel und dem Reflexionswinkel unter Verwendung der s-polarisierten Komponenten bestimmen. Daher wissen wir bereits von diesen und der Standardableitung, dass$\theta_i = \theta_r$und das$\epsilon_1^{2}\sin\theta_r = \epsilon_2^{2}\sin\theta_t$(Snellsches Gesetz für nichtmagnetische Medien).

Unter Verwendung des Snellschen Gesetzes und der Gleichung (2) können wir dies also ableiten

Snellsches Gesetz in Gleichung (1) einsetzen und verwenden$\cos \theta = (1 - \sin^2 \theta)^{1/2}$das kann man zeigen

Ich bin sicher, dass es einen eleganteren Weg geben muss, dies zu zeigen.

Hier ist eine einfache Erklärung, die auf der dipolaren Natur des Mediums basiert:

Bei den meisten Materialien können wir davon ausgehen, dass die Quelle der reflektierten und gebrochenen Wellen die induzierten winzigen Dipole im dielektrischen Medium sind. In einem isotropen Medium ist der Polarisationsvektor proportional zum (gesamten) elektrischen Feldvektor mit einer Konstante (im Gegensatz zu einem Tensor für anisotrope Medien). Daher sind sie immer in der gleichen Richtung. Auch die Fernfeldstrahlung eines Dipols ist in der gleichen Richtung polarisiert wie der Dipolmomentvektor und damit die einfallende (anregende) Welle.

Wenn das Material isotrop ist, sind daher die Polarisationen der reflektierten und gebrochenen Wellen die gleichen wie die der einfallenden Welle. Im Allgemeinen gilt dies nicht für doppelbrechende Kristalle, bei denen die Richtung der induzierten Polarisation möglicherweise nicht mit der des einfallenden elektrischen Felds übereinstimmt.