Wie lassen sich Reflexion und Brechung klassisch und mikroskopisch erklären?

Es scheint, dass das, wonach Sie wirklich fragen, durch das Extinktionstheorem von Ewald-Oseen beantwortet wird.

https://en.wikipedia.org/wiki/Ewald%E2%80%93Oseen_extinction_theorem

Die kanonische Ableitung ist in Born und Wolf.

Obwohl Sie erklärt haben, Sie interessieren sich nicht für das Prinzip von Huygens, möchte ich eine Anmerkung zu dieser Erklärung hinzufügen. Ich brauche in meiner Antwort den Ausdruck für das elektrische Feld eines strahlenden Dipols

$$\boldsymbol{\rm E}\left(\boldsymbol{r},t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\sin\theta\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{\theta}$$

Dieser Ausdruck geht davon aus, dass der Dipol in der oszilliert$\hat{z}$Richtung. Schauen Sie sich nun zum Beispiel dieses Bild an

von hier genommen . Diese Abbildung scheint die Polarisation der ankommenden Welle zu verwerfen (wie Sie sagten), aber wenn Sie genauer darüber nachdenken, stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist. Die Strahlung in der Einfallsebene ist nur z$s$-polarisiertes Licht , seitdem schwingt jeder Dipol im$z$Richtung (innerhalb und außerhalb der Seite) und ein durch gegebenes Feld ausstrahlen

$$\boldsymbol{\rm E}\left(r,\theta=\frac{\pi}{2},\varphi,t\right)=-\frac{\omega^{2}\mu_{0}p_{0}}{4\pi}\frac{e^{i\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)}}{r}\hat{z}$$

unabhängig von$\varphi$Und$s$-polarisiert auch. Wenn Sie dagegen behandeln möchten$p$-polarisiertes Licht, dann sollte jeder Gitterpunkt wie in diesem Bild strahlen

von hier genommen , und es wird definitiv andere Konsequenzen aus dem haben$s$-polarisierte Dipole. Ein beliebtes Beispiel ist die Existenz des Brewster-Winkels, der das Ergebnis davon ist, dass der Dipol nicht auf seiner Schwingungsachse strahlt. Außerdem sieht man nach wie vor, dass die Polarisation der Fernfeldstrahlung parallel zur Schwingungsrichtung des Dipols verläuft. Dies bedeutet, dass die$p$-Polarisation bleibt erhalten.

Stellen Sie sich eine ebene polarisierte Lichtwelle vor, die auf Glas auftrifft. Die Ladungen im Glas oszillieren auf irgendeine Weise, sodass die ursprüngliche Welle aufgehoben wird und sowohl eine gebrochene als auch eine reflektierte Welle erzeugt werden.

Wir beginnen mit einem Haufen Ladungen, die alle (vermutlich) in die gleiche Richtung schwingen, und irgendwie erzeugen die Ladungen Strahlung in genau drei Richtungen.

Ist die Annahme falsch, dass alle Ladungen im Flugzeug in die gleiche Richtung schwingen? Passiert direkt an der Schnittstelle etwas anderes? Wie können sonst Ladungen, die alle auf die gleiche Weise schwingen, Strahlung in drei Richtungen erzeugen, anstatt in eine, zwei oder unendlich viele?

Alle Oszillatoren schwingen in die gleiche Richtung, das wissen wir aus der makroskopischen Theorie, wo die Polarisation überall die gleiche Richtung hat.

Der Nettoeffekt scheint darin zu bestehen, die Primärwelle im Medium aufzuheben und eine andere Welle mit unterschiedlicher Wellenlänge und Richtung zu erzeugen. (Dies ist jedoch nur ein scheinbarer Effekt in der makroskopischen Theorie. Dies bedeutet nicht, dass die Oszillatoren im Medium keine Kraft aufgrund der Primärwelle erfahren.)

Auch dies geschieht nur unter besonderen Umständen: eine lange und glatte Grenze; Das Medium ist dicht genug, sodass die Oszillatoren nahe beieinander liegen, sodass die Streuung begrenzt ist.

Sollte die Grenze grob oder in der Länge vergleichbar mit der Wellenlänge sein, wäre die resultierende Strahlung wahrscheinlich viel komplexer als zwei Wellen. Auch wenn das Medium Gas oder Staub mit geringer Dichte wäre, gäbe es keine einzige gebrochene ebene Welle, sondern die Strahlung wäre in alle Richtungen diffuser.

Ich weiß, dass Sie nicht an makroskopischen Gründen interessiert sind, aber sie sind die zuverlässigste Erklärung, da sie kein bestimmtes Modell des Mediums verwenden. Sie sind die Leitinformationen, die beim Erstellen und Analysieren eines mikroskopischen Modells zu verwenden sind.

Die obigen Bedingungen lassen sich in Details des mikroskopischen Modells übersetzen - Oszillatoren befinden sich im Halbraum, sie sind mit einer gleichmäßigen Dichte verteilt, die hoch genug ist, so dass die gegenseitigen Abstände viel kleiner als die Wellenlänge sind; ihre Positionen sind durch eine ebene Grenze begrenzt.

Ich weiß nicht, wie ich unter diesen Bedingungen die gegenseitigen Wechselwirkungen vieler Teilchen analysieren und die Frage beantworten soll, warum in der makroskopischen Beschreibung die Primärwelle nicht vorhanden ist und warum die gebrochene a-Welle eine andere Wellenlänge und Richtung hat. Ein Teil der Antwort besteht darin, für diese Art von Modell eine vernünftige Verbindung zwischen dem mikroskopischen Feld und dem makroskopischen Feld zu finden, was nicht einfach ist (sie haben unterschiedliche Wellenlängen und das makroskopische Feld muss das Kraftfeld nachahmen, das von den Oszillatoren erfahren wird).

Aber es ist plausibel, dass, wenn die Oszillatoren nahe genug sind und eine einheitliche Dichte (einheitlicher Brechungsindex) haben und von einer einzigen ebenen Welle (Primärwelle) angeregt werden, sich die elementaren Sekundärwellen mit zufälligen Phasen addieren und dazu neigen, sich gegenseitig aufzuheben außer in eine Richtung, wo sie sich gegenseitig verstärken.

Es ist ähnlich, wie die Beugung an speziellen Gittern dazu führt, dass Strahlung nur in bestimmte Richtungen übertragen wird, oder wie bei phasenstarren Antennenarrays, die darauf ausgelegt sind, in wenige (einzelne) gewünschte Richtungen zu strahlen.

Wie es für diese Probleme typisch ist, nehmen wir eine Lösung an und zeigen dann, dass sie die Maxwell-Gleichungen erfüllt. Wir werden die Schnittstelle von Vakuum und einem Medium haben$x=0$Ebene. Das elektrische Feld soll angenommen werden als

$$\vec{E}(\vec{r_{x<0}}, t) = \exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \left\{0, 0, \exp(i k x\cos\theta) + r \exp(-i k x\cos\theta) \right\}$$

dh die Summe aus einfallender und reflektierter Welle im Vakuum. Auf der anderen Seite der Grenze soll es sein

$$\vec{E}(\vec{r_{x>0}}, t) = \exp(-i \omega \tau) \left\{0, 0, \exp(i (x k_x + y k_y)\right\}$$

dh die gebrochene Welle. Die entsprechende$\vec{B}$Felder sind leicht aus zu finden$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$.

$$\vec{B}(\vec{r_{x<0}}, t) = \frac{k}{\omega}\exp(i(k y \sin\theta - \omega \tau)) \times \\ \left\{(\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\sin\theta , (-\exp(i k x \cos\theta) + r \exp(-ikx\cos\theta))\cos\theta, 0 \right\}$$

$$\vec{B}(\vec{r_{x>0}}, t) = \frac{1}{\omega}\exp(i(k_x x + k_y y - \omega \tau)) \left\{k_y t, k_x t, 0\right\}$$

Durch das Abgleichen der$\vec{E}$Felder bei$x=0$wir finden$t=1+r$Und$k_y = k \sin\theta$. Durch Anpassen der Magnetfelder finden wir auch

$$t = \frac{2k\cos\theta}{k_x + k\cos\theta}$$

Mit etwas Hinsehen können wir feststellen, dass wir eine mögliche gültige Lösung erreicht haben, die aus drei Wellen besteht und die Maxwell-Gleichungen erfüllt. Aber warum muss das so sein? Warum können wir nicht haben$r=0, t=1, k_x=k \cos\theta$? Der einfallende Wellenvektor ist gegeben (d. h$\omega/k=c$Und$\theta$ist definiert).

Wir müssen den Wellenvektor innerhalb eines Mediums mit der Frequenz und den Materialeigenschaften in Beziehung setzen. Ein klassischer Ansatz besagt, dass unser Medium ein einigermaßen polarisierbares Gemisch aus negativen und positiven Ladungsträgern ist, die durch ein elektrisches Feld, gegebenenfalls mit Reibung und einer Rückstellkraft, verschoben werden können. Wenn wir eine Gleichung für einen harmonischen Oszillator mit zwei von Maxwells Gleichungen zusammensetzen, erhalten wir

$$k \vec{P} + \gamma \dot{\vec{P}} + m \ddot{\vec{P}} = q^2 \vec{E}$$

$$-\frac{\partial\vec{B}}{\partial x} = \mu_0 \dot{\vec{P}} + \dot{\vec{E}}/c^2$$

$$\frac{\partial \vec{E}}{\partial x} = -\dot{\vec{B}}$$

Wo$q$ist die effektive Ladungsdichte (abhängig von der Frequenz, könnten Schalenelektronen sein, könnten die Ionen sein usw.),$k, \gamma, m$sind die effektiven Feder-, Dämpfungs- und Massenkonstanten, normalisiert auf Einheitsvolumen. Das Finden der stationären Lösung dieses Satzes von Gleichungen wird uns eine gegebene Lösung liefern$\omega$ein Wellenvektor, der sich im Allgemeinen von unterscheidet$\omega/c$, So$k_x$wird in der Regel anders sein$k \cos\theta$und daher benötigt eine Lösung für eine auf eine Oberfläche einfallende Welle notwendigerweise sowohl eine gebrochene als auch eine reflektierte Welle.

Es sollte nicht zu schwer sein, diese Logik für a zu reproduzieren$p$polarisierte Welle.