Warum befindet sich die kegelförmige Raumkapsel im freien Fall durch den Atmosphärenboden in stabiler Richtung?

Wir gehen von folgendem aus.

1) Die von der Luft auf eine Oberfläche ausgeübte Kraft ist reiner Druck, also senkrecht zur Oberfläche ohne Reibung. Der Druck ist eine ansteigende Funktion der Größe der Strömungsgeschwindigkeitskomponente der einströmenden Luft, die senkrecht zur Aufprallfläche ist.

2) Die Oberfläche der Kapsel ist axialsymmetrisch. Beschriften Sie den Schnittpunkt der Symmetrieachse und der Fläche (unten), die dem einströmenden Luftstrom zugewandt ist$B$. Der nach innen gerichtete Normalenvektor$\vec n$eines infinitesimalen Oberflächenstücks schneidet entweder die Achse an einem Punkt$N$einige endliche Entfernung von$B$oder$\vec n$parallel zur Achse. Der Massenmittelpunkt der Kapsel$C$liegt dazwischen$B$Und$N$.

Die Kapsel erreicht aerodynamische Stabilität.

Bevor ich den Beweis dieses Satzes präsentiere, gebe ich ein plausibles Spielzeugmodell dieser Luftströmungsdruckfunktion. Die realistische Funktion wird sicherlich komplizierter sein.

Interessanterweise stieß ich jedoch zweieinhalb Monate, nachdem ich diese Antwort gepostet hatte, auf die Theorie der Hyperschall-Aerodynamik, die überraschenderweise fast vollständig die folgende Ableitung als die korrekte Berechnung für den Druck des Hyperschall-Luftstroms (Mach 3-5) auf einem weitgehend bestätigte axialsymmetrischer Körper mit stumpfer Oberflächengeometrie. vergleiche Gleichungen (11-2) und (11-3) von Kapitel 11 über die Hyperschall-Aerodynamik von WH Masons Vorlesung über Konfigurationsaerodynamik . Suchen Sie in dieser begleitenden PPT zu diesem Kapitel nach "Newtonian Impact Theory" .

Angenommen eine Luftsäule mit einer infinitesimalen Querschnittsfläche$dA$mit einer Facette kollidieren, deren Normalenvektor einen Winkel bildet$\theta\in\big[0,\frac\pi2\big]$mit dem Richtungsvektor der Luftströmung. Die Luft prallt vollkommen elastisch an der Facette ab. Die Impulsänderung (alles in der normalen Richtung der Facette) pro Zeiteinheit ist dann$2\rho v^2\cos\theta dA$, Wo$\rho$ist die Dichte des Luftstroms und$v$die Geschwindigkeit davon. Der Bereich, in dem diese Impulsänderung auftritt, ist$\frac{dA}{\cos\theta}$. Teilen Sie die erste Menge durch die zweite, wir erhalten den Druck$p(\theta):=2\rho v^2\cos^2\theta$. Nun prallen die früh ankommenden Teilchen normal von der Oberfläche ab und kollidieren völlig elastisch mit den spät ankommenden Teilchen und prallen wieder zurück zur Oberfläche. Aufgrund der Symmetrie verschwindet die durchschnittliche Teilchengeschwindigkeit in der Nähe der Oberfläche in Richtung der Oberflächennormalen, aber ihre Komponente, die die Oberfläche berührt, bleibt. Makroskopisch bewegt sich die Flüssigkeit im Mittel als Ganzes entlang der Tangente der Oberfläche.

Außerdem bleibt der Teil der Objektoberfläche, der im "Schatten" des einströmenden Luftstroms liegt, vom Luftstrom unberührt und erfährt somit keinen Druck.

Nachweisen:

1) 2-dimensional.

Formulieren wir das Problem formal. Lassen$s\in[-s_0,s_0],\,s_0>0$Messen Sie den Abstand mit Vorzeichen vom Schnittpunkt der Symmetrieachse mit der Oberfläche. Bezeichnen Sie den nach innen gerichteten Einheitsnormalenvektor mit at$s$von$\hat n(s)$. Lassen$\theta(s)$sei der Winkel von$\hat n(0)$Zu$\hat n(s)$mit Richtung gegen den Uhrzeigersinn als positive Richtung für den Winkel.$\theta(-s)=-\theta(s)$durch die Achsensymmetrie. Lassen Sie den Winkel aus$\hat n(s=0)$zur Richtung des einströmenden Luftstroms sein$\theta_a$auch mit Richtung entgegen dem Uhrzeigersinn als positive Richtung. Platzieren Sie die Kurve$(x(s),y(s))$in der kartesischen Koordinate so dass$(x(s=0)=0,y(s=0)=0)$und der Massenmittelpunkt liegen bei$(x=0,y=y_c)$. Wir haben$(x(-s),y(-s))=(-x(s),y(s))$. Lassen$p(\beta)$sei der Druck als Funktion des Winkels$\beta$in Bezug auf den einströmenden Luftstrom. Das Drehmoment bei jeder Kurve bzgl$(0,y_c)$Ist$l(s)p(\theta_a-\theta(s))$Wo$l(s)\hat z = \big((x(s),y(s))-(0,y_c)\big)\times \hat n(s)$.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehen wir davon aus$\theta_a>0$. Andernfalls können wir die Koordinate einfach in Bezug auf die spiegeln$y$Achse und bekommen wegen der Achsensymmetrie das gleiche Problem zurück.

Das Gesamtdrehmoment ist, wobei nur die dem einströmenden Luftstrom zugewandte Oberfläche berücksichtigt werden muss,

2) 3-dimensional

Der 3-dimensionale Fall kann durch Symmetrie auf den 2-dimensionalen oben reduziert werden.

(fortgesetzt werden)

QED

Wenn ich nicht schlecht im Zeichnen wäre, würde ich eine Illustration machen. Aber denken Sie an ein Ei, das durch die Luft fällt. Der Boden als ziemlich flach. Wenn es zuerst nach unten fällt und beginnt, sich ein wenig nach einer Seite zu drehen, erhöht sich der Luftdruck auf dieser Seite und bringt es zurück in die untere erste Position, sodass diese Position stabilisiert wird.

Denken Sie jetzt daran, dass das Ei wieder herunterfällt, aber diesmal mit der Spitze zuerst. Sobald es sich zu drehen beginnt, erhöht sich der Luftdruck auf der geneigten Seite und erhöht die Drehung. Diese Position ist instabil.

Diese Antwort wird in Weltraumforschung https://space.stackexchange.com/questions/61398/during-spacecraft-reentry-why-is-heatshield-side-down-the-most-stable-orientatio/61404#61404 veröffentlicht . Ich kenne die Stack Exchange-Etikette zum Kopieren / Einfügen von Antworten nicht, aber hier ist sie

Wir sind daran gewöhnt, Dinge mit der Spitze nach vorne fahren zu sehen (Kugeln, Raketen, Pfeile, Lamborghinis), daher scheint es „natürlich“, dass Entry Vehicles (EV) auch am stabilsten mit der Spitze zuerst fahren sollten. Nicht so.

Zum Beispiel sind Kugeln von Natur aus instabil, da ihr Schwerpunkt (CG) hinter ihrem Druckzentrum (CP) liegt. Sie erreichen nur eine relative statische Stabilität aufgrund ihrer extrem hohen Spinrate, Hunderttausende von Umdrehungen pro Minute.

Ein Luftgewehrkugel (manchmal reisen sie mit Überschall) hat statische Stabilität, da der CG vor dem CP liegt

Eine Kugel hat aufgrund ihrer Symmetrie statische Stabilität

Ein Teil einer Kugel hat eine ähnliche Stoßwelle wie eine vollständige Kugel. Solange der Schwerpunkt vor dem Mittelpunkt der sphärischen Krümmung liegt, ist das Objekt statisch stabil.

Die statische Stabilität eines Kugelabschnitts ist gewährleistet, wenn der Fahrzeugschwerpunkt stromaufwärts vom Krümmungsmittelpunkt liegt

https://en.wikipedia.org/wiki/Atmospheric_entry#Entry_vehicle_shapes

Ein EV hat eine ähnliche Form wie der obige Pizzakuchenabschnitt, ist jedoch an beiden Enden abgerundet. Die Beziehung zwischen seinem CG und CP ist ähnlich wie bei einer Luftgewehrkugel.

Wenn dieses EV zuerst mit dem spitzen Ende fährt, hat die Krümmung, die die Stoßwelle erzeugt, einen viel kürzeren Radius. Dies platziert den CG hinter dem CP und erzeugt eine statische Instabilität, genau wie eine Kugel.

Hier ist meine Vermutung:

Da der Hitzeschild nicht planar ist, bietet eine Seite des Hitzeschilds, wenn er außermittig geneigt ist, der Strömung mehr Fläche, wodurch ein korrigierendes Drehmoment bereitgestellt wird. Es kommt darauf an, dass der Schwerpunkt nahe genug an der Basis des Hitzeschildes liegt.