Warum sind normale Stoßwellen in einem konvergierenden Kanal instabil?

Question

Warum sind normale Stoßwellen in einem konvergierenden Kanal instabil?

Bryson S.

Beim Erlernen von Schockwellen in einem Einführungskurs zur Gasdynamik stellte sich heraus, dass normale Schocks instabil sind, wenn sie in einem konvergierenden Kanal gebildet werden. Selbst wenn die lokalen Bedingungen angeblich das Vorhandensein eines Schocks im konvergierenden Abschnitt erfordern, entscheidet sich die Strömung stattdessen dafür, sich selbst neu zu erfinden, indem sie die Schockwelle zu einem divergierenden Abschnitt bewegt und gleichzeitig die Bedingungen stromaufwärts ändert. Ich kann bestätigen, dass dies ein echtes Phänomen ist, aber gibt es eine formale Erklärung in Bezug auf die zugrunde liegende Strömungsphysik?

Trimok

Ich habe ein Beispiel (während mit einem divergierenden Kanal ...) in diesem Artikel gefunden . Wenn man sich die Gleichungen ansieht

(45), (46)

$(45),(46)$ , und die kleine Diskussion auf der gleichen Seite, sieht man, dass das Vorzeichen des Parameters

τ

$\tau$ gibt die Stabilität oder die Instabilität an. Natürlich ist der Wert von

τ

$\tau$ hängt von Ihrem jeweiligen Modell ab, also muss man das Papier von Anfang an lesen, um zu verstehen, woher dieser Wert kommt

τ

$\tau$ kommt. Ich nehme an, es gibt ein analoges Modell für den konvergierenden Kanal, der einen negativen Wert für liefert

τ

$\tau$

Bryson S.

Auf dieses Papier von Kantrowitz wird in dem von Ihnen bereitgestellten Papier verwiesen, und es dient am direktesten der Beantwortung der Frage, obwohl ich es immer noch durchlese. naca.central.cranfield.ac.uk/reports/1947/naca-tn-1225.pdf

Trimok

Im Kantrowitz-Papier sieht man vielleicht direkt Formel

(31)

$(31)$ Buchseite

25

$25$ , mit

3

$3$ verschiedene Fälle (Formeln

(32) (33) (34

$(32)(33)(34$ ) Buchseite

26

$26$ , und die Diskussion am Ende der Seite

26

$26$ ), gehen mit Abb .

8

$8$ am Ende des Dokuments. Ich bin kein Spezialist, daher schlage ich Ihnen vor, eine neue Frage zu stellen, indem Sie genau beschreiben, was in diesem Dokument nicht klar ist oder was Sie nicht verstehen.

ehrliche_vivere

Ich denke, die Konvergenzrate (definiert durch die Stoßgeschwindigkeit und den Winkel relativ zur Stoßnormale) ist auch hier wichtig. Wenn der Kanal schneller konvergiert, als sich der Stoß ausbreiten kann, gibt es erhebliche Auswirkungen von reflektierten Wellen, die den einfallenden Stoß stören. Meinst du mit "neu erfinden" Wellenbrechen oder Gradientenkatastrophe ? Wenn dies der Fall ist, bedeutet dies nur, dass der den Stoß erzeugende Druckimpuls schneller steiler wird, als der Stoß Energie abbauen kann.

Antworten (1)

Warum sind normale Stoßwellen in einem konvergierenden Kanal instabil?

Ich habe ein Beispiel (während mit einem divergierenden Kanal ...) in diesem Artikel gefunden . Wenn man sich die Gleichungen ansieht $(45),(46)$ , und die kleine Diskussion auf der gleichen Seite, sieht man, dass das Vorzeichen des Parameters $\tau$ gibt die Stabilität oder die Instabilität an. Natürlich ist der Wert von $\tau$ hängt von Ihrem jeweiligen Modell ab, also muss man das Papier von Anfang an lesen, um zu verstehen, woher dieser Wert kommt $\tau$ kommt. Ich nehme an, es gibt ein analoges Modell für den konvergierenden Kanal, der einen negativen Wert für liefert $\tau$
Auf dieses Papier von Kantrowitz wird in dem von Ihnen bereitgestellten Papier verwiesen, und es dient am direktesten der Beantwortung der Frage, obwohl ich es immer noch durchlese. naca.central.cranfield.ac.uk/reports/1947/naca-tn-1225.pdf
Im Kantrowitz-Papier sieht man vielleicht direkt Formel $(31)$ Buchseite $25$ , mit $3$ verschiedene Fälle (Formeln $(32)(33)(34$ ) Buchseite $26$ , und die Diskussion am Ende der Seite $26$ ), gehen mit Abb . $8$ am Ende des Dokuments. Ich bin kein Spezialist, daher schlage ich Ihnen vor, eine neue Frage zu stellen, indem Sie genau beschreiben, was in diesem Dokument nicht klar ist oder was Sie nicht verstehen.
Ich denke, die Konvergenzrate (definiert durch die Stoßgeschwindigkeit und den Winkel relativ zur Stoßnormale) ist auch hier wichtig. Wenn der Kanal schneller konvergiert, als sich der Stoß ausbreiten kann, gibt es erhebliche Auswirkungen von reflektierten Wellen, die den einfallenden Stoß stören. Meinst du mit "neu erfinden" Wellenbrechen oder Gradientenkatastrophe ? Wenn dies der Fall ist, bedeutet dies nur, dass der den Stoß erzeugende Druckimpuls schneller steiler wird, als der Stoß Energie abbauen kann.

ehrliche_vivere · Answer 1

Die Antwort ergibt sich aus der Flächen- Machzahl - Beziehung für hydrodynamische Stöße . GB Whitham hat ein großartiges Buch (siehe Kapitel 8) über alle möglichen verschiedenen Wellen und hat eine gute Diskussion zu diesem Thema.

Die Idee ist, dass man die Machzahl als Funktion der Querschnittsfläche einer Strahlröhre definieren kann . Die einfache Form lautet:

\begin{matrix} (1) & \frac{1}{A} \frac{D A}{D M} = - G (M) \end{matrix}

$\frac{ 1 }{ A } \frac{ d A }{ d M } = -g\left( M \right) \tag{1}$ wobei g(M) gegeben ist durch:

\begin{aligned} (2a) & G (M) & = \frac{M}{M^{2} - 1} (1 + \frac{2}{γ + 1} \frac{1 - μ^{2}}{μ}) (1 + 2 μ + \frac{1}{M^{2}}) \\ (2b) & μ^{2} & = \frac{(γ - 1) M^{2} + 2}{2 γ M^{2} - (γ - 1)} \end{aligned}

$\begin{align} g\left( M \right) & = \frac{ M }{ M^{2} - 1 } \left( 1 + \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \frac{ 1 - \mu^{2} }{ \mu } \right) \left( 1 + 2\mu + \frac{ 1 }{ M^{2} } \right) \tag{2a} \\ \mu^{2} & = \frac{ \left( \gamma - 1 \right) M^{2} + 2 }{ 2\gamma M^{2} - \left( \gamma - 1 \right) } \tag{2b} \end{align}$ Wo

γ

$\gamma$ = Verhältnis der spezifischen Wärmen ,

M

$M$ = Machzahl. Die Idee ist, Gleichungen für Strömungsgeschwindigkeit, Druck und Dichte als Funktion der Anfangsbedingungen zu finden. Wir können die erste Gleichung mit der Kettenregel umschreiben, um zu finden:

\begin{matrix} (3) & G (M) \frac{D M}{D X} + \frac{1}{A} \frac{D A}{D X} = 0 \end{matrix}

$g\left( M \right) \frac{ d M }{ d x } + \frac{ 1 }{ A } \frac{ d A }{ d x } = 0 \tag{3}$ Dann besteht die Idee darin, die Machzahl als Funktion der Fläche zu parametrisieren. In dem von Ihnen beschriebenen Fall ist die Machzahl umgekehrt proportional zur Skalenlänge, die zur Definition der Fläche verwendet wird (z. B. Radius bei einem sphärischen Kanal). So können Sie sehen, dass dies verursachen würde

M

$M$ divergieren als A

\to

$\rightarrow$ 0.

Da wird der Massenstrom nicht zu beschleunigen sein, um zu halten $M$ = konstant, es ist unwahrscheinlich, dass sich ein Schock selbst hält.

Leider wird hier nicht alles besprochen. Wie ich in meinem Kommentar erwähnt habe, müssen Sie sich um Reflexionen an den Kanalwänden sorgen, die zu Schock-Schock-Wechselwirkungen führen können. Ich habe ein paar Papiere gefunden, die argumentierten, dass Stabilität gefunden werden könnte (z. B. pdf hier), aber ich bezweifle, dass dies eine allgemeine Lösung ist.

Warum sind normale Stoßwellen in einem konvergierenden Kanal instabil?

Bryson S.

Trimok

Bryson S.

Trimok

ehrliche_vivere

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