Warum bleibt eine Billardkugel stehen, wenn sie frontal auf eine andere Billardkugel trifft?

Ihre Analyse ist bis zu dem Punkt richtig, an dem die beiden Geschwindigkeiten gleich sind. Dies ist auch der Punkt, an dem die Relativgeschwindigkeit Null ist. Aber an dieser Stelle sind die beiden Kugeln (elastisch) verformt. Die beim Annähern auf die beiden Kugeln wirkende Kraft ist eine elastische Kraft. So klein die Verformung auch ist, sie ist da. Was jetzt also passiert, ist, dass die beiden Körper tatsächlich auseinanderfallen (der Abstand zwischen ihnen nimmt zu) und sie beginnen, sich wieder in die ursprüngliche Form auszudehnen. Die Wechselwirkungskraft beginnt abzunehmen (fällt nicht sofort auf Null). Die Arbeit, die während dieses zweiten Teils des Prozesses verrichtet wird, ist die gleiche wie während des ersten Teils, sodass sich die kinetischen Energien und Geschwindigkeiten um die Hälfte ändern. Dies ist der Unterschied zwischen perfekt elastischen und nicht elastischen Stößen.

Es kann hilfreich sein, sich eine Feder zwischen den beiden Körpern vorzustellen. Wenn die Geschwindigkeiten gleich sind, ist die Feder immer noch zusammengedrückt. Eigentlich hat es maximale Kompression. Die von der Feder ausgeübte Kraft ist also offensichtlich nicht Null, wenn sie sich auszudehnen beginnt.

Hinweis : Ein schönes Beispiel ist die Betrachtung eines Gummiballs, der von einem Boden abprallt (angenommen, vollkommen elastisch). In dieser Situation gibt es auch einen Punkt, an dem die Relativgeschwindigkeit zum Boden Null ist (wenn der Ball vorübergehend auf dem Boden ruht), aber Dennoch steigt die Kugel aufgrund elastischer Kräfte auf, da sie aufgrund der durch die ursprünglich erlittene Verformung gespeicherten Energie kinetische Energie gewinnt.

Sie vergessen den Energieerhaltungssatz. Das musst du durchsetzen

Und das wird nur durch gelöst$v_1=0$und$v_2=v$.

Ich denke, wenn man sich den Aufprall vorstellt, ist es eine schlechte Idee, sich die Bälle als völlig starre Objekte vorzustellen. Wir können uns den Aufprall so vorstellen, als wäre zwischen ihnen eine masselose Quelle. Selbst wenn sie die gleiche Geschwindigkeit erreichen, drückt die Feder die Kugeln weiter, bis die ankommende Kugel ihre gesamte Geschwindigkeit verliert und die Geschwindigkeit der anderen Kugel das Maximum erreicht. Das wird der Moment sein, in dem sie den Kontakt verlieren.

Kurze Antwort: Während der Kollision, während die erste Kugel schneller fliegt als die zweite, komprimieren sich die Kugeln. Sobald sich die zweite Kugel so schnell wie die erste bewegt, beginnen die Kugeln, sich zu dekomprimieren und die Kugeln auseinander zu drücken. Sobald sie sich vollständig voneinander getrennt haben, bewegen sie sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten.

Mittlere Antwort:

Die erste Hälfte der Kollision drückt die Billards zusammen und verformt sie, und in der zweiten Hälfte der Kollision wird die in der Verformung gespeicherte Energie wieder in mechanische Energie freigesetzt, und die Billards verformen sich und drücken sich auseinander, was zu unterschiedlichen Geschwindigkeiten führt. Billards sind „elastisch“, oder wie Federn: Fast die gesamte Energie bei der Verformung wird gespeichert und mechanisch abgegeben.

Diese elastische Verformung ist der gleiche Grund, wenn Sie ein Billard gegen eine Wand werfen, dass es nicht an der Wand haftet; es springt zurück. Unelastische Materialien, wie eine Kugel aus Play-Doh, bleiben an der Wand haften. (Oder andere Play-Doh-Kugeln.)

Lange Antwort: Außerdem, die früheren Antworten, können Sie das Ergebnis mathematisch mit physikalischen Gesetzen und einer Annahme erreichen.

Ein Ergebnis der Newtonschen Gesetze ist die Impulserhaltung

In diesem Fall,$\mathbf{v_{b1}}=\mathbf{0}$und$m_a=m_b$, So

Offensichtlich gibt es viele Werte, die diese Gleichung erfüllen. Also müssen wir ein weiteres physikalisches Gesetz hinzufügen: das Energieerhaltungsgesetz. (Annahme: Es gibt eine vernachlässigbare Rotation der Kugeln.)

Da Billard elastisch ist, wird keine Energie in Wärme umgewandelt (das ist tatsächlich mit elastisch gemeint ... Sie könnten weiter in die Materialwissenschaften einsteigen und genau herausfinden, was an der Chemie der Billard diese Eigenschaft verursacht, aber schließlich sind Billard elastisch, wie Hüpfbälle oder Federn) und

Bei einem direkten Zusammenstoß$\mathbf{v_{a1}}$und$\mathbf{v_{b2}}$sind parallel, also

Da sich Billard nicht durchdringen können$\mathbf{v_{b2}} \neq 0$, und somit$\mathbf{v_{b2}} = \mathbf{v_{a1}}$.

Beachten Sie, dass dieses Ergebnis von der Annahme abhängt$\Delta H = 0$; dh die Kugeln wandeln die Energie aus der Verformung zu 100 % wieder in mechanische Energie um. Dh ein elastischer Stoß.,

Betrachten wir es aus einem anderen Bezugsrahmen und verwenden eine einfache relativistische Denkweise:

Betrachten Sie einen Bezugsrahmen, der den Ursprung hat$(0,0)$in der Mitte zwischen den beiden Kugeln und bewegt sich mit Geschwindigkeit$\frac{v}{2}$in die gleiche Richtung wie die erste Kugel.

Dann bewegen sich in diesem Bezugssystem beide Kugeln mit Geschwindigkeit$\frac{v}{2}$. In diesem Bezugsrahmen ist die Situation symmetrisch, also muss das Ergebnis auch symmetrisch sein: Beide Bälle werden mit der gleichen Geschwindigkeit abprallen und zurückweichen (oder durcheinander gehen, was nicht möglich ist), um den Impuls zu erhalten.

Wenn wir zum ursprünglichen Bezugsrahmen zurückkehren, erhalten wir den Ball, der sich ursprünglich bewegte, als jetzt in Ruhe verharrt, und den Ball, der zuvor ruhte, als sich mit Geschwindigkeit bewegend$v$.

Stöße zwischen Billardkugeln sind im Wesentlichen elastische Stöße. Obwohl Billardkugeln starr erscheinen, sind sie mehr oder weniger elastisch - das Material reagiert auf Druckspannung (Druck) mit einer gewissen elastischen Dehnung (Verformung). Diese Sorte speichert Energie; Es wird Arbeit geleistet, um das Material zu verformen, das wieder freigesetzt wird, wenn die Spannung entfernt wird und das Material wieder seine ursprüngliche Form annimmt. Die Dehnung ist winzig, aber ungleich Null, und außer vielleicht exotischen oder theoretischen Materialien ist kein Material perfekt elastisch, sodass bei der Kollision etwas Energie verloren geht. Trotzdem sind Billardkugeln eine ziemlich gute Annäherung an die elastische Kollision.

Beim Stoß müssen Impuls und Energie erhalten bleiben. Die Energie der Kollision kommt von der relativen Geschwindigkeit zwischen den beiden Kugeln; Erhaltung dieser Energie bedeutet, dass der Betrag dieser Relativgeschwindigkeit nach dem Stoß gleich sein muss wie vorher. Die einzige Möglichkeit, diese Bedingung sowie die Impulserhaltung zu erfüllen, besteht darin, die gesamte Geschwindigkeit des schlagenden Balls auf den geschlagenen Ball zu übertragen - der schlagende Ball kommt zum Stillstand.

Kollisionen zwischen echten Billardkugeln auf einer echten Spielfläche sind aus allen möglichen Gründen komplizierter. Hier sind nur einige:

• Eine rollende Kugel hat sowohl den linearen Impuls ihrer Bewegung entlang des Tisches als auch den Drehimpuls ihrer Rolle, sodass die schlagende Kugel der geschlagenen Kugel "folgen" kann. Der Aufprall überträgt hauptsächlich linearen Impuls, so dass der schlagende Ball nach dem Aufprall zunächst stoppen sollte, sein Drehimpuls jedoch dazu führen kann, dass er wieder vorwärts rollt, wenn er gegen die Spielfläche „fährt“.
• Das "Klicken" der Kollision ist akustische Energie, die von den kollidierenden Kugeln weg abgestrahlt wird; Diese Energie kam von der kinetischen Energie der sich bewegenden Kugel und ist aus dem "System" (den beiden kollidierenden Kugeln) verschwunden. In der realen Welt ist es winzig und ziemlich belanglos, aber es ist nur ein Beispiel für die vielen Arten, in denen die elastische Kollision unvollkommen ist.
• Die Spielfläche übt auf jeden sich bewegenden Ball einen Luftwiderstand aus. Wenn der Ball gleitet, gibt es Reibung, die dazu führt, dass der Ball langsamer wird und zu rollen beginnt. Wenn der Ball rollt, widersetzt er sich dem Rollen. Wenn sich ein Ball an einer Stelle dreht, beginnt er sich in eine Richtung zu bewegen (abhängig von der Ausrichtung seiner Drehachse). Wenn dies nicht so wäre, würden die sich bewegenden Kugeln niemals zum Stillstand kommen.

Das Stoppen der Kugel, die eine andere Kugel trifft, hängt von der Elastizität der Kugeln oder sogar einer der beiden Kugeln ab. Wenn die Kugeln sehr hart sind, wie z. B. aus Holz oder Metall, gibt es beim Auftreffen einer Kugel auf eine andere keine "Wartezeit" für die Übertragung von kinetischer Energie von einer auf die andere. Es ist nahezu augenblicklich und daher überträgt ein Ball fast seine gesamte kinetische Energie auf den Ball, den er trifft. Daher bleibt der Ball "fast" stehen.

Z.B. Newtons Wiege

Bei elastischen Bällen ist dies nicht der Fall.

Stellen Sie sich zwei gleiche Gummibälle vor,

Wenn der Ball A auf B trifft, ändert sich die Form von A aufgrund der Trägheit des Balls B und auch aufgrund seiner eigenen Elastizität. Wenn sich die Kugel A entspannt, überträgt sie ihre kinetische Energie auf die Kugel B abzüglich der inneren Reibung in der Kugel A aufgrund von Formänderungen und anderen externen Reibungsverlusten. Jetzt verformt sich der Ball B ein wenig, weil Ball A darauf drückt (weitere Energieverschwendung) und bewegt sich vorwärts, indem er auf Ball A drückt, wenn er sich entspannt + die Energie, die durch die Kollision selbst übertragen wird.

Jetzt ist das Schicksal von Ball A entweder, dass er sich mit der wenigen Energie, die er nach dem Zusammenstoß übrig hat, vorwärts bewegen kann oder rückwärts rollen kann, je nachdem, mit welcher Kraft er den anderen Ball getroffen hat.

Und es scheint noch unmöglicher, dass Ball 1 vollständig anhält und Ball 2 mit der ursprünglichen Geschwindigkeit von Ball 1 abgeht.

Was vermisse ich?

Wenn die Kugeln A und B im obigen Bild starr wären,

Der Ball B geht nicht mit der "Originalgeschwindigkeit" los, er kann nahe der Originalgeschwindigkeit sein, aber niemals der Geschwindigkeit des Balls A selbst.

Und die Kugel A stoppt aufgrund der fast vollständigen Übertragung der kinetischen Energie.

Hoffe das hilft.