Warum braucht es kein zusätzliches Wissen, um von der klassischen zur Quantenbeschreibung eines Systems zu gelangen?

Der "Grund", warum das Verfahren der Quantisierung funktioniert, kann nicht bekannt sein. Die Frage, warum das, was die Natur beschreibt, die Natur beschreibt, ist keine Frage, die die Physik beantworten kann.

Allerdings funktioniert das Verfahren der Quantisierung nicht ohne Zusatzwissen . Tatsächlich ist nicht einmal in allen Fällen bekannt, was das "richtige" Verfahren zur Quantisierung ist. Ich zähle (ohne Anspruch auf Vollständigkeit) einige Hürden auf, die Sie davon überzeugen sollen, dass für die Quantisierung eines klassischen Systems zusätzliche Informationen notwendig sind:

• Das No-Go-Theorem von Groenewold-van Hove (siehe auch diese Antwort von mir ) besagt, dass eine kanonische Quantisierung, die nur Poisson-Klammern durch Kommutatoren ersetzt , nicht in der von uns gewünschten Allgemeinheit funktioniert. Es gibt mehrere mögliche Modifikationen der Poisson-Klammer (oder eher des Produkts klassischer Observablen im Phasenraum), die ein konsistentes Quantisierungsverfahren ergeben, aber diese Wahl ist nicht eindeutig . Sie verwenden zusätzliche Informationen, wenn Sie eine bestimmte Modifikation auswählen. Dies ist im Wesentlichen die formale Widerspiegelung dessen, was üblicherweise als "Ordnungsmehrdeutigkeit" bezeichnet wird: Gegeben eine klassische Observable$x^np^m = x^{n-1}p^m x = \dots = p^m x^n$, welchen dieser klassisch äquivalenten Ausdrücke verwandelst du in den entsprechenden Quantenoperator, wenn du den CCR dazwischen hast$x$und$p$sie alle in der Quantentheorie ungleich zu machen?

• Quantenanomalien: Für eine allgemeine Diskussion von Anomalien siehe diese ausgezeichnete Antwort von DavidBarMoshe , für eine formale Ableitung der Möglichkeit des Auftretens zentraler Ladungen im Übergang von der klassischen zur Quantentheorie siehe diese Antwort von mir . Unter dem Strich können wir im Zuge der Quantisierung unsere klassischen Symmetriegruppen "vergrößern", und ehemals invariante Objekte sind möglicherweise nicht mehr invariant. Dies führt normalerweise einen neuen Parameter in die Quantentheorie ein, die zentrale Ladung der erweiterten Symmetriegruppe, und erfordert wiederum zusätzliche Eingaben, um bestimmt zu werden, wenn es die Quantentheorie nicht vollständig ruiniert.

  Tatsächlich könnte dies der wichtigste Aspekt einer solchen Anomalie sein: Wenn Sie eine Anomalie einer Eich- oder Gravitationssymmetrie haben, haben Sie keine konsistente Quantentheorie. In bestimmten Feldtheorien wird der Anomaliebegriff natürlich durch den Rest der Theorie bestimmt, so dass die Quantentheorie solcher Feldtheorien nicht im üblichen Sinne existiert, wenn sich diese nicht „wundersam“ aufheben. Keine Menge zusätzlicher Informationen kann dies beheben, wir kennen einfach keine konsistente Quantisierung solcher Theorien.

• Das Gitterproblem: Klassisch ist es eher unumstritten, dass wir Kontinuumsfeldtheorien als Grenzen diskretisierter Theorien ansehen können. Quantentechnisch wird dies horrend schwierig: Es ist nicht bekannt, ob die Kontinuumsgrenze einer quantisierten Gittertheorie mit der Quantisierung der Kontinuumstheorie zusammenfällt; Tatsächlich glaube ich, dass dies nicht immer der Fall ist, siehe zum Beispiel das Problem der Trivialität des Gitters$\phi^4$Theorie. Man könnte jedoch anmerken, dass dieses spezielle Problem auf das Fehlen eines vollständig strengen Rahmens der Quantenfeldtheorie im Allgemeinen zurückzuführen ist.

Lassen Sie mich abschließend noch anmerken, dass die Vorstellung von Quantisierung als fundamentaler Operation , wenn wir die Quantenmechanik ernst nehmen, falsch herum ist: Das klassische System muss in einer bestimmten Grenze aus dem Quantensystem gewonnen werden, nicht umgekehrt. Es ist durchaus möglich, dass es Quantensysteme ohne entsprechendes klassisches System gibt - sie haben nur keine Möglichkeit, sie zu betrachten, die für uns klassisch aussehen würde. Denken Sie als handgewelltes Beispiel an fermionische/Spin-1/2-Freiheitsgrade: Diese sind in einer klassischen Theorie sehr schwer zu bekommen, da es einfach keine Motivation gibt, sie zu berücksichtigen, aber sie entstehen ziemlich natürlich aus der Quantensicht.

In diesem Sinne ist es bemerkenswert, wie gut die Quantisierung als allgemeines Leitprinzip funktioniert, aber es sollte uns nicht überraschen, dass das „wir brauchen kein zusätzliches Wissen“ nicht wirklich zutreffend ist.

Vor einigen Jahren begann ich mit fast derselben Frage: "Was bringt uns dazu, ein System zu quantisieren, oder was passiert, wenn wir ein System quantisieren?"

Fragen wie diese wurden vor ungefähr 90-50 Jahren auf ähnliche Weise gestellt, indem analysiert wurde, ob die Beschreibung der Quantenmechanik vollständig und real ist (dh ob alle Elemente ein reales Gegenstück haben).

Das Thema wurde mit der sogenannten Kopenhagener Interpretation , dem EPR-Paradoxon und schließlich mit den Bellschen Ungleichungen erledigt , die uns alle zusammen sagen, dass die Quantenmechanik etwas seltsam ist. Zum Beispiel sollte man sich die Wellenfunktion nicht als echtes Teilchen vorstellen, es sei denn, es wird derzeit von einem klassischen Messgerät gemessen und solche Dinge stehen im absoluten Widerspruch zu einer vernünftigen bildlichen Erklärung der Quantenmechanik.

Ich fand das alles ein bisschen unbefriedigend und fand einen Fehler in dieser Sichtweise der Quantenmechanik.

Das erste, worüber ich gestolpert bin, war die Böhmische Mechanik , die versucht, das Quantisierungsverfahren damit zu erklären, dass wir tatsächlich die "richtigen" klassischen Gleichungen nicht kannten. Man kann zeigen, dass das Lösen der Schrödinger-Gleichung (zu der man durch kanonische Quantisierung gelangt )

wenn man Wellenfunktionen betrachtet$\Psi = R \cdot \exp \left(i\frac{S}{\hbar}\right)$was keine Einschränkung der Allgemeinheit darstellt. Gleichung (2) ist die Kontinuitätsgleichung für eine Ladungsdichte$\rho = R^2$was zufällig die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist$\varrho = |\Psi|^2 = R^2$in der Quantenmechanik. Die erste Gleichung (1) ist nur übliche klassische Mechanik, erweitert um ein zusätzliches Potential$Q = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\Delta R}{R}$das sogenannte Quantenpotential . Diese Interpretation hat jedoch einige Probleme. In erster Linie kann es nicht erklären (nur axiomisieren), warum eine echte Ladungsverteilung vorliegt$R^2$bestimmt das gesamte statistische Verhalten eines Systems unabhängig von den anderen wirkenden Kräften$\vec{F}$.

Der Schlüssel zum Verständnis der Quantenmechanik ist das Verständnis ihrer statistischen Natur. Könnte es also sein, dass die Quantenmechanik eine Art übliche klassische statistische Mechanik ist (da beide anscheinend von denselben Lagrange-/Hamilton-Operatoren verwandt sind)?

Bell ging dieser Frage anhand seiner berühmten Bellschen Ungleichungen nach und kam zu dem Schluss, dass es in der Quantenmechanik tatsächlich (mit dem Experiment übereinstimmende) Erwartungswerte gibt, die von keiner klassischen statistischen Mechanik (im üblichen Sinne von nicht instantan) reproduziert werden können Aktion, zB relativistische Mechanik). Er wurde für den Nobelpreis nominiert, was die Glaubwürdigkeit erklärt, die Physiker diesen Ungleichheiten beimessen. Folglich sollte es keine Möglichkeit geben, die Quantenmechanik auf der Grundlage der klassischen statistischen Mechanik zu beschreiben.

Soweit meine Analyse geht, gibt es jedoch einen großen Fehler in der Ableitung dieser Ungleichungen, der sie bedeutungslos macht (z. B. können klassische Systeme sie auch verletzen). Ich bin nicht der Erste, der zu diesem Schluss kommt, tatsächlich gibt es eine riesige Liste sogenannter Schlupflöcher in Bells Theorem , die sich größtenteils auf den Messprozess konzentrieren und darauf, ob gefundene Verletzungen entsprechend interpretiert werden können oder nicht Satz von Bell.

Leider ist dieses ganze Forschungsgebiet aufgrund der philosophischen Natur dieser Frage in den Spinnerbereich abgedriftet . Erst in letzter Zeit (in den letzten 10-20 Jahren oder so) wurde es wieder etwas populärer.

Wenn Sie nun meine Aussage akzeptieren , dass Bells Theorem falsch ist , besteht keine Notwendigkeit, die Möglichkeit zu verwerfen, dass die Quantenmechanik eine Art statistische Mechanik ist. Tatsächlich könnte es eine Möglichkeit geben, zu zeigen, dass der Prozess der Quantisierung einer Theorie nur klassische statistische Mechanik mit einigen weiteren Annahmen durchführt.

Dies kann jedoch nicht die Tatsache erklären, dass die übliche klassische statistische Mechanik eine Ensemble-statistische Mechanik ist, während sich die Standard-QM und -Experimente normalerweise auf einzelne Teilchen beziehen. In der Ensemblemechanik berechnet man Erwartungswerte auf der Grundlage vieler ähnlicher und unabhängiger Teilchen, die unterschiedliche Anfangswerte (zB Ort und Impuls) haben. In einem Experiment jedoch scheint ein einzelnes Teilchen mystisch zu wissen, wie es sich entsprechend unterschiedlichen und nicht vorhandenen Ensemble-Teilchen verhalten soll. Dieses Problem kann durch das sogenannte Prinzip der Ergodizität gelöst werden , das besagt, dass für einige Systeme der zeitliche Mittelwert gleich dem Gesamtmittelwert ist. Normalerweise gilt dies nur für chaotische Systeme, für die wir eindeutig Gegenbeispiele haben (nicht jedes System, das wir beobachten, verhält sich chaotisch).

Der aktuelle Höhepunkt der Quantenmechanik QFT löst sich von der Beschreibung der Natur auf der Basis von Teilchen. Alles wird zu einem Feld, das ein Objekt mit unendlich vielen Freiheitsgraden ist . So gibt es zB ein Elektronenfeld sowie ein Photonenfeld. Erst später führt man Zustände ein, die in enger Beziehung zu Teilchen stehen, wie wir sie kennen. Im Zusammenhang mit der klassischen statistischen Interpretation bedeutet dies, dass Teilchen nur statistische Artefakte der Theorie sind, dh die Felder können sich in Zuständen befinden, die das Verhalten von Teilchen "simulieren". Aufgrund der unendlichen Freiheitsgrade eines solchen Feldes ist es durchaus möglich, dass das Prinzip der Ergodizität gilt, so dass eine Messung innerhalb eines bestimmten endlichen Zeitintervalls erfolgt$\Delta t$spiegelt tatsächlich den Ensemblemittelwert des Feldes wider!

Als Ergebnis haben wir die folgende bildliche Darstellung der Quantenmechanik wiedererlangt :

Nehmen wir zum Beispiel das Wasserstoffatom. Es besteht aus einem Elektronenfeld, einem Photonenfeld und einem Protonenfeld (bzw. Quark- und Gluonenfeldern, die das Proton bilden). Diese Felder verhalten sich entsprechend den nicht quantisiertenGleichungen von QFT-Lagrangeoperatoren. Aufgrund der unendlichen Freiheitsgrade ist das Verhalten sehr chaotisch. Uns interessiert also nur das mittlere Verhalten eines solchen Systems. Man würde dann versuchen, das zeitliche Mittel desjenigen Systems zu berechnen, das (aufgrund des Prinzips der Ergodizität) gleich dem Ensemblemittel ist. Der Prozess der kanonischen Quantisierung ist jetzt nur noch die Verwendung der üblichen statistischen Ensemble-Mechanik. Wir wissen, dass es statistische Zustände gibt, die unserer bildlichen Betrachtung einzelner Teilchen entsprechen, und können damit erklären, warum Experimente zeigen, dass das Wasserstoffatom aus Teilchen besteht, die sich anders verhalten als freie Teilchen. Das Elektron zB strahlt keine Bremsstrahlung aus und hat aufgrund gebundener (statistischer) Teilchenzustände ein quantisiertes mittleres Energieniveauunterscheiden sich letztlich von denen, die durch nicht wechselwirkende Felder gebildet werden ( freie statistische Teilchenzustände ).

Um auf Ihre Frage zurückzukommen: "Warum ist kein zusätzliches Wissen erforderlich, um von der klassischen zur Quantenbeschreibung eines Systems zu gelangen?"

Antwort : Wir machen einfach statistische Mechanik basierend auf den klassischen Gleichungen.

Dies ist ein höchst hypothetischer Standpunkt, aber er repräsentiert meine aktuellen Ansichten über den Quantisierungsprozess und die Quantenmechanik. Alles fällt und steht mit der Annahme:$\textrm{quantization} \leftrightarrow \textrm{statistical mechanics}$. Zu diesem Thema gibt es einige Arbeiten, zB in Form der klassischen Koopman-von-Neumann-Mechanik , die zeigt, dass die statistische Mechanik in eine Form von Operatoren auf Hilbert-Räumen gebracht werden kann. Kürzlich habe ich auch einen Weg gefunden, die Quantisierungsregel abzuleiten$\vec{p} \rightarrow -i\hbar \vec{\nabla}$basierend auf einem klassischen statistisch-mechanischen Erwartungswert, aber noch nicht in publizierbarer Form. Nehmen Sie das alles also mit Vorsicht.