Warum bringt die normale Beschleunigung keine Geschwindigkeitsänderung?

Warum bringt die normale Beschleunigung keine Geschwindigkeitsänderung?

Meiner Ansicht nach ist es fruchtbarer zu fragen: "Was ist der Beschleunigungsvektor eines Objekts mit einer gleichmäßigen (konstanten) Kreisbewegung?"

Ein solches Objekt, das sich in der xy-Ebene bewegt, hat Koordinaten:

$$x(t) = R\cos(\omega t + \phi)$$

$$y(t) = R\sin(\omega t + \phi)$$

Wo$R$(der Radius der Kreisbahn) und$\omega$(die Winkelgeschwindigkeit des Objekts) sind Konstanten. Der Geschwindigkeitsvektor des Objekts ist dann

$$\mathbf{v}(t) = -\omega R\sin(\omega t + \phi)\mathbf{\hat{x}} + \omega R\cos(\omega t + \phi)\mathbf{\hat{y}}$$

Offensichtlich ist die Geschwindigkeit (Betrag des Geschwindigkeitsvektors) konstant und gleich$|\mathbf{v}| = \omega R$.

Berechnen Sie nun den Beschleunigungsvektor (machen Sie dies selbst) und stellen Sie fest, dass (1) er nicht Null und konstant in der Größe ist und (2) er immer senkrecht (normal) zur Geschwindigkeit ist .

Lassen Sie mich versuchen, Ihre Fragen unten separat zu beantworten.

Dann$|v| = \sqrt{v_{0}^2+\frac{(At)^2}{1}}$

Die Beschleunigung, die Sie in diese Formel einsetzen, wirkt nicht in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit in der Formel.

Diese Formel sieht aus wie eine der vier grundlegenden kinematischen Gleichungen. Sie funktionieren nur entlang eines Pfades (entlang einer Dimension), da es sich um Skalargleichungen und nicht um Vektorgleichungen handelt . Vermische keine Dimensionen. (Mit anderen Worten, die Beschleunigung (die ein Geschwindigkeitsgewinn ist) muss ein Geschwindigkeitsgewinn sein wie$v$repräsentiert - und skalarweise unterschiedliche Richtungen/Dimensionen haben unterschiedliche Geschwindigkeiten).

Aus einem Kommentar:

Die Anfangsgeschwindigkeit v und die neue Geschwindigkeit V aufgrund der Zentripetalbeschleunigung sind beide senkrecht zueinander stehende Vektoren, also sollte ihre Addition einen neuen Geschwindigkeitsvektor mit der oben angegebenen Größe erzeugen, nicht wahr?

Die senkrechte Beschleunigung erzeugt eine senkrechte Geschwindigkeit. Wir haben jetzt die ursprüngliche Geschwindigkeit und diese neue Seitwärtsgeschwindigkeit. Zusammen erzeugen sie eine neue Nettogeschwindigkeit, die ein klein wenig nach innen geneigt ist. Ein klein wenig gedreht .

Wenn die Seitwärtskomponente vernachlässigbar ist (was der Fall ist, da die Beschleunigung nur für eine vernachlässigbar kurze Zeit so zieht), dann ist die Größenänderung vernachlässigbar. Also keine Größenänderung.

Die Drehung ist winzig, aber im nächsten Moment passiert das Gleiche wieder, weil die Beschleunigung mit der Geschwindigkeit dreht. Wenn Sie das viele Male tun, sehen Sie eine kombinierte große Drehung, aber keine Änderung in der Größe.

Zweitens, warum ist die Geschwindigkeit immer tangential zum Kreis, aber wie können wir das mathematisch zeigen?

Mathematisch würde ich den Geschwindigkeitsvektor als Richtungsvektor bezeichnen ( ich bin mir jedoch nicht sicher, ob dies ein korrekter englischer Begriff ist. Dies ist eine direkte Übersetzung aus meiner Muttersprache). Es ist der Richtungsvektor, weil er genau dort, wo er steht, immer in die Richtung der Veränderung zeigt.

Die Geschwindigkeit ist die Positionsänderung in Metern pro Sekunde. Egal in welche Richtung es also zeigt, es ist die Art und Weise, wie die Position Meter hinzugefügt wird, also bewegt sich das Partikel so. Der Geschwindigkeitsvektor wird also immer tangential zu einer Kreisbahn sein, da dies die Bahn ist, die das Objekt zurücklegt – die Position wird in jedem Moment zum nächsten Punkt auf dieser Bahn geändert.

Intuitiv für mich, wenn es eine konstante Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt gibt, sollte der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt "schlaffen" und in Richtung der Beschleunigung fallen

Sicher, und das würde es definitiv auch. Aber die Beschleunigung dreht sich zusammen mit der Richtungsdrehung. Mit anderen Worten, Ihre Intuition ist richtig, aber nur für einen Moment. Dann haben Sie eine neue Situation und eine neue Fallrichtung für Ihr Objekt.

Stellen Sie sich einen Satelliten vor, der den Planeten umkreist. Es wird durch die Schwerkraft in der Umlaufbahn gehalten, die eine solche Beschleunigung ist, die immer nach innen zeigt.

• Wenn der Satellit von einer Raumstation nur in einiger Entfernung von der Erde platziert würde, würde er direkt nach unten fallen und abstürzen.
• Wenn es seitwärts geworfen würde, würde es immer noch herunterfallen und abstürzen, aber es würde mit einer Kurve fallen, weil es jetzt auch seitliche Geschwindigkeit hätte.
• Stellen Sie sich jetzt vor, Sie werfen es so hart, dass es die Erde verfehlt! Es fällt und fällt und fällt, aber die seitliche Geschwindigkeit ist groß genug, um neben der Erde zu fallen, anstatt abzustürzen.

Dies ist im Wesentlichen das, was bei Kreisbewegungen passiert: Das Objekt (Satellit) fällt auf das Zentrum (Erde) zu, verfehlt es aber ständig.

Wir können die Geschwindigkeitsänderungsraten und die Bewegungsrichtung mathematisch auf folgende Weise erhalten. Dazu muss sich das Objekt nicht einmal im Kreis bewegen; es ist völlig allgemein.

Wie sich die Geschwindigkeit des Teilchens ändert, ist gegeben durch

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.$$ Unter Verwendung einiger Standard-Differenzierungsregeln erhalten wir, dass diese Größe gleich der Komponente der Beschleunigung entlang der Bewegungsrichtung ist: $$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}}\frac{d}{dt}\vec{v}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2v}\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\right) = \frac{1}{2v}\left(\vec{a}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{a}\right) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = \vec{a}\cdot\hat{v},$$ Wo$\hat{v}$der Einheitsvektor in Richtung von ist$\vec{v}$. Diese Komponente könnte man nennen$a_t = \vec{a}\cdot\hat{v}$($t$für tangential).

Die Richtung von$\vec{v}$ist nur$\hat{v}$, und so

$$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{1}{v}\frac{d\vec{v}}{dt} - \vec{v}\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt},$$ Wenn wir das obige Ergebnis neu anordnen und verwenden, können wir dies umschreiben als $$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{1}{v}\left(\vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}\right).$$ Die Menge in Klammern ist genau die Komponente von$\vec{a}$ senkrecht zur Geschwindigkeit. (Sie können die Orthogonalität überprüfen, indem Sie das Skalarprodukt dieses Vektors mit nehmen$\vec{v}$und feststellen, dass es Null ist.) Die Richtungsänderung $d\hat{v}/dt$hängt also nur von dieser senkrechten Komponente ab, die du genannt hast$A$.