Angenommen, es gibt einen Vektor v⃗ v→\vec v, der eine Funktion der Zeit ist, dann gilt ddt|v⃗ |ddt|v→|\dfrac{d}{dt}|\vec v| eine Vektorgröße oder eine skalare Größe sein?

Die sorgfältige Mathematik geht so:

Die Änderungsrate der Geschwindigkeit des Teilchens ist gegeben durch

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.$$ Unter Verwendung der Ketten- und Produktregeln der Differentiation erhalten wir $$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}}\frac{d}{dt}\vec{v}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2v}\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\right) = \frac{1}{2v}\left(\vec{a}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{a}\right) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = \vec{a}\cdot\hat{v},$$ Wo$\hat{v}$der Einheitsvektor in Richtung von ist$\vec{v}$, So$\hat{v}$es ist die Richtung von$\vec{v}$. Daraus können wir sehen, dass wir die Komponente von erhalten, da wir die Beschleunigung in die Geschwindigkeit punktieren$\vec{a}$entlang$\hat{v}$das führt zu Geschwindigkeitsänderungen. Diese Komponente würden Sie nennen$a_t = \vec{a}\cdot\hat{v}$, und wegen des Skalarprodukts ist es offensichtlich keine Vektorgröße .

Als nächstes schauen wir uns an, wie die Richtung von$\vec{v}$verändert sich. Da die Richtung von$\vec{v}$ist nur$\hat{v}$, wollen wir die Ableitung von berechnen$\hat{v}$:

$$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{1}{v}\frac{d\vec{v}}{dt} - \vec{v}\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt},$$ wobei wir wieder (zuerst) die Produktregel und dann die Kettenregel verwendet haben. Wir ordnen diese Gleichung sorgfältig um und setzen für ein$dv/dt$aus unserer vorherigen Berechnung, was zu $$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{1}{v}\left(\vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}\right).$$ Die Menge in Klammern ist genau die Komponente von$\vec{a}$ senkrecht zur Geschwindigkeit. (Sie können die Orthogonalität überprüfen, indem Sie das Skalarprodukt dieses Vektors mit nehmen$\vec{v}$und feststellen, dass es Null ist.) Die Richtungsänderung $d\hat{v}/dt$hängt also nur von dieser senkrechten Komponente ab, die wir nennen könnten$\vec{a}_r = \vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}$.

$a_t=d|v_{t}|/dt$

Dies gibt nur die Größe der Tangentialbeschleunigung an, die gesamte Tangentialbeschleunigung ist eine Vektorgröße.

$|\vec{v}|$ist die Norm des Vektors$\vec{v}$, und ist ein Skalarwert. Wenn$\vec{v}$ist Geschwindigkeit,$|\vec{v}|$ist Geschwindigkeit.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{v} = \vec{a}$, der Beschleunigungsvektor.

Wenn wir "tangentiale Beschleunigung" sagen, ist die Richtung "die tangentiale Richtung".

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} |\vec{v}_t| = |\vec{a}_t|$ist die Größe der Tangentialbeschleunigung.

Die zeitliche Ableitung von$\lvert \vec v \rvert$ist die tangentiale Komponente der Beschleunigung, die eine skalare Größe ist, und nicht die tangentiale Projektion , die ein Vektor ist.

Abgesehen von der Physik, bei jedem Vektor$\vec u$und jedem Nicht-Null-Vektor$\vec v$, können Sie die Komponente von definieren$\vec u$in der Richtung von$\vec v$als skalare Größe:$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u = \vec u \cdot \vec v / \lvert \vec v \rvert$. Sie können auch die Projektion von definieren$\vec u$entlang der Richtung von$\vec v$als Vektorgröße:$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u = ( \vec u \cdot \vec v / \lvert \vec v \rvert ^ 2 ) \, \vec v$. Diese sind verwandt, wie$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u = ( \operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u ) \, \vec v / \lvert \vec v \rvert$, Und$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u = \pm \lvert \operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u \rvert$(mit plus wenn$\vec u \cdot \vec v$ist positiv, minus wenn$\vec u \cdot \vec v$negativ ist, und sowohl wenn$\vec u \cdot \vec v$Null ist, weil dann beide Größen Null sind).

Wenn$\vec v$ist ein Standardbasisvektor ($\hat \imath$oder$\hat \jmath$in 2 Dimensionen), dann sind dies die gewöhnlichen Komponenten; das ist,$\operatorname { comp } _ { \hat \imath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = a$, Und$\operatorname { comp } _ { \hat \jmath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = b$. Im Gegensatz dazu$\operatorname { proj } _ { \hat \imath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = a \hat \imath$, Und$\operatorname { proj } _ { \hat \jmath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = b \hat \jmath$. Sie können auch schreiben$\vec u = ( \operatorname { comp } _ { \hat \imath } \vec u ) \hat \imath + ( \operatorname { comp } _ { \hat \jmath } \vec u ) \hat \jmath$Und$\vec u = \operatorname { proj } _ { \hat \imath } \vec u + \operatorname { proj } _ { \hat \jmath } \vec u$. (Und das funktioniert für jede orthonormale Basis, nicht nur für die Standardbasis$\{ \hat \imath , \hat \jmath \}$.) Deshalb verwenden wir auch im allgemeinen Fall das Wort „Komponente“. (Aus dem Grund, warum wir „Projektion“ sagen, stellen Sie sich vor, Sie würden ein Licht anzünden$\vec u$aus einer Richtung senkrecht zu$\vec v$und Beobachten seines Schattens auf der Linie durch$\vec v$.)

Jetzt, wenn$\vec v$ist der Geschwindigkeitsvektor eines Objekts in Bewegung, dann die Richtung von$\vec v$(vorausgesetzt, dass$\vec v$ungleich Null ist, so dass dies sinnvoll ist) ist immer tangential zur Bewegungskurve, also$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u$kann die Tangentialkomponente von genannt werden$\vec u$, Und$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u$ist die Tangentialprojektion von$\vec u$. Wenn$\vec u$ist die Beschleunigung$\mathrm d \vec v / \mathrm d t$(Wo$t$Zeit ist), dann durch Differenzieren$\lvert \vec v \rvert ^ 2 = \vec v \cdot \vec v$, wir bekommen$2 \lvert \vec v \rvert \, \mathrm d \lvert \vec v \rvert = 2 \vec v \cdot \mathrm d \vec v$, So$\mathrm d \lvert v \rvert / \mathrm d t = \vec v \cdot \vec u / \lvert \vec v \rvert = \operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u$. Somit ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit die tangentiale Komponente der Beschleunigung.

Sie hören also „tangentiale Beschleunigung“ und interpretieren dies als tangentiale Projektion, was Sie verwirrt, da es sich um einen Vektor handelt. Aber was wirklich gemeint ist (und gesagt werden sollte) ist die tangentiale Komponente der Beschleunigung, und das ist ein Skalar.