Warum erhöhen und verringern wir Indizes von Tensoren verschiedener Gruppen mit den Invarianten dieser Gruppe?

Lassen Sie uns das in Teile aufschlüsseln. Das ist mit ziemlicher Sicherheit übertrieben, aber hoffentlich wird es klar sein, und Sie können die Bits überspringen, die Sie nicht benötigen.

Ein Rang-(0,2)-Tensor$\mathbf{T}$ist eine multilineare Abbildung, die zwei Vektoren nimmt und eine reelle (oder komplexe) Zahl zurückgibt. Wenn wir es komponentenweise aufschreiben, schreiben wir seine Indizes auf.

Wenn unser Vektorraum mit einem symmetrischen, nicht entarteten metrischen Rang-(0,2)-Tensor ausgestattet ist$\mathbf{g}$, dann können wir ein inneres Produkt zwischen zwei Vektoren definieren$\mathbf{X}$Und$\mathbf{Y}$folgendermaßen:

$$\langle \mathbf{X},\mathbf{Y}\rangle = \mathbf{g}(\mathbf{X,Y})=\mathbf{g}(X^\alpha e_\alpha ,Y^\beta e_\beta) =X^\alpha Y^\beta \mathbf{g}(e_\alpha,e_\beta) \equiv X^\alpha Y^\beta g_{\alpha \beta}$$

(so extrahieren wir die Komponenten eines Tensors - indem wir ihn auf der Grundlage des Vektorraums arbeiten lassen)

Ausgehend von einem Vektorraum können wir einen dualen Vektorraum derselben Dimension definieren, dessen Elemente duale Vektoren oder Kovektoren genannt werden. Wenn die Basis des Vektorraums gegeben ist durch$\{e_\alpha \}$, dann ist die kanonische Basis des Kovektorraums gegeben durch$\{\epsilon^\alpha\}$und ist dadurch definiert, dass die Covektorbasen auf der Vektorbasis wie folgt wirken:

$$\epsilon^\alpha (e_{\beta}) =\delta^\alpha_\beta \equiv \cases{1 & $\alpha = \beta$ \\ 0 & $\alpha \neq \beta$}$$

Also ein Covektor$\mathbf{\omega}$kann auf einen Vektor wirken$\mathbf{X}$so was:

$$\mathbf{\omega(X)} = \omega_\alpha \epsilon^\alpha\left(X^\beta e_\beta\right)= \omega_\alpha X^\beta \epsilon^\alpha(e_\beta) = \omega_\alpha X^\beta \delta^\alpha_\beta = \omega_\alpha X^\alpha$$

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Mit der Metrik können wir einen Isomorphismus zwischen einem Vektorraum und dem Covektorraum definieren, der einen Vektor abbildet$\mathbf{X}$zu einem Covektor$\mathbf{\tilde X}$die auf einen Vektor wirkt$\mathbf{Y}$auf die folgende Weise:

$$\mathbf{\tilde X(Y)} = \mathbf{g}\left(\mathbf{X,Y}\right)$$ oder in Komponentenform, $$\mathbf{\tilde X(Y)} = \tilde X_\alpha \epsilon^\alpha (Y^\beta e_\beta) = \tilde X_\alpha Y^\alpha = g_{\alpha \beta} X^\beta Y^\alpha$$ So $$\tilde X_\alpha = g_{\alpha \beta} X^\beta$$

Offensichtlich$\mathbf{\tilde X}$Und$\mathbf{X}$sind völlig unterschiedliche Objekte und bewohnen völlig unterschiedliche Räume, aber sie stehen in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung, und daher neigen die Leute dazu, sie locker als verschiedene "Versionen" derselben Sache zu betrachten. In diesem Sinne sprechen wir von „Erhöhen“ und „Senken“ der Indizes.

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Der oben erwähnte Isomorphismus kann auch auf Tensoren angewendet werden. Wir können zuerst eine "inverse Metrik" definieren$\mathbf{\tilde g}$Dies ist ein symmetrischer Rang-(2,0) -Tensor und wirkt auf duale Vektoren unter Berücksichtigung des Isomorphismus auf folgende Weise:

$$\mathbf{\tilde g(\tilde X,\tilde Y)} = \mathbf{g(X,Y)}$$

Es ist nicht schwer zu sehen, wie dies komponentenweise definiert ist:

$$\mathbf{\tilde g}(\tilde X_\alpha \epsilon^\alpha,\tilde Y_\beta \epsilon^\beta) = \tilde X_\alpha \tilde Y_\beta \tilde g^{\alpha \beta} = g_{\alpha \rho} X^\rho g_{\beta \sigma} Y^\sigma \tilde g^{\alpha \beta} = X^\rho Y^\sigma g_{\rho \sigma}$$ So $$\tilde g^{\alpha \beta} g_{\alpha \rho} g_{\beta \sigma} = g_{\rho \sigma}$$ was das impliziert $$\tilde g^{\alpha \beta} g_{\alpha \rho} = \delta^{\beta}_\rho$$

Von dort aus können wir einen allgemeinen Isomorphismus zwischen Tensoren wie folgt definieren:

$$\mathbf{\tilde T(\tilde X,\tilde Y)}= \mathbf{\tilde T}(\tilde X_\alpha \epsilon^\alpha,\tilde Y_\beta \epsilon^\beta)=\tilde X_\alpha \tilde Y_\beta \tilde T^{\alpha \beta}$$ denen wir gleich sein wollen $$\mathbf{T(X,Y)} = \mathbf{T}(X^\alpha e_\alpha,Y^\beta e_\beta) = X^\alpha Y^\beta T_{\alpha \beta}$$

Vergleicht man die beiden, ist das klar

$$\tilde T^{\alpha \beta} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} T_{\rho \sigma}$$

Nochmal,$\mathbf{\tilde T}$Und$\mathbf{T}$sind unterschiedliche Objekte, die unterschiedliche Räume bewohnen , aber sie stehen in Eins-zu-Eins-Entsprechung und ihre Komponenten stehen wie oben in Beziehung.

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Okay. Nun fragen wir also, was es bedeutet, wenn sich ein Tensor nach einer bestimmten Transformationsregel transformiert. Lassen$\mathbf{R}$ein linearer Endomorphismus auf dem Vektorraum sein, der einen Vektor abbildet$\mathbf{X}$zu einem anderen Vektor$\mathbf{X'=R(X)}$:

$$\mathbf{X'}=X'^\alpha e_\alpha = \mathbf{R}(X^\beta e_\beta)= \left(R^\alpha_{\ \ \beta} X^\beta\right) e_\alpha$$

und so

$$X'^\alpha = R^\alpha_{\ \ \beta} X^\beta$$

Eine orthogonale Transformation ist eine, die das innere Produkt respektiert:

$$\mathbf{g(X',Y')}=\mathbf{g}(R^\alpha_{\ \ \rho} X^\rho e_\alpha,R^\beta_{\ \ \sigma} Y^\sigma e_\beta)= R^\alpha_{\ \ \rho} R^\beta_{\ \ \sigma} X^\rho Y^\sigma \mathbf{g}(e_\alpha,e_\beta)$$ $$= R^\alpha_{\ \ \rho} R^\beta_{\ \ \sigma} X^\rho Y^\sigma g_{\alpha \beta}$$ $$= \mathbf{g(X,Y)}= g_{\rho \sigma} X^\rho Y^\sigma$$ So $$R^\alpha_{\ \ \rho} R^\beta_{\ \ \sigma} g_{\alpha \beta} = g_{\rho \sigma}$$

Wenn wir das in Matrixform schreiben, dann$R^\alpha_{\ \ \rho} = (R^T)^{\ \ \alpha}_\rho$und das wird

$$\mathbf{R^T \circ g \circ R = g}$$ Entsprechend können wir die umgekehrte Metrik anwenden, die ergibt $$\mathbf{\tilde g \circ R^T \circ g \circ R = \tilde g \circ g} = \mathbb{1}$$ was das impliziert $$\mathbf{\tilde g \circ R^T \circ g} = \mathbf{R^{-1}} \iff \mathbf{R^T} = \mathbf{ g \circ R^{-1} \circ \tilde g} \iff \mathbf{R}=\mathbf{\tilde g \circ \left(R^{-1}\right)^T \circ g}$$ und deshalb das $$\mathbf{R^{-1}= R^T}$$ wo wir das verwendet haben$\mathbf{g}$ist symmetrisch.

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Was passiert, wenn wir eine einheitliche Transformation verwenden?$\mathbf{U}$eher als ein orthogonales? Nun, es ändert sich nicht viel, aber jetzt respektiert die Transformation das sesquilineare innere Produkt

$$\langle\mathbf{X,Y}\rangle = \mathbf{g(\bar{X},Y)}$$ Wo$\mathbf{\bar X} = \bar X^\alpha e_\alpha$Und$\bar X^\alpha$ist das komplexe Konjugat von$X^\alpha$. Wenn wir den gleichen Prozess durchlaufen, finden wir das

$$\bar U^\alpha_{\ \ \rho} U^\beta_{\ \ \sigma} g_{\alpha \beta} = g_{\rho \sigma}$$ oder in Matrixform (wobei$\dagger$bezeichnet die konjugierte Transponierte), $$\mathbf{U^\dagger \circ g \circ U} = \mathbf{g}$$ und so $$\mathbf{\tilde g \circ U^\dagger \circ g} = \mathbf{U^{-1}} \iff \mathbf{U^\dagger} = \mathbf{g \circ U^{-1} \circ \tilde g} \iff \mathbf{U} = \mathbf{\tilde g \circ \left(U^{-1}\right)^\dagger \circ g}$$ und deshalb das $$\mathbf{U^{-1} = U^\dagger}$$

wo wir das verwendet haben$\mathbf{g}$symmetrisch ist und dass seine Komponenten reell sind.

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Wir können auch fragen, wie ein allgemeiner Tensor$\mathbf{T}\rightarrow \mathbf{T'}$muss sich unter einer Gruppenaktion umwandeln$\mathbf{Q}$wenn wir gehen sollen$\mathbf{T(X,Y)}$unveränderlich. Wir machen im Grunde dasselbe wie vorher (ohne zu fordern, dass die$\mathbf{T'=T}$), und wir kommen zu

$$Q^\alpha_{\ \ \rho} Q^\beta_{\ \ \sigma} T'_{\alpha \beta} = T_{\rho \sigma}$$ Da die Gruppenaktion umkehrbar ist, können wir schreiben $$T'_{\alpha \beta} = \left(Q^{-1}\right)^\rho_{\ \ \alpha} \left(Q^{-1}\right)^\sigma_{ \ \ \beta}T_{\rho \sigma}$$ oder in Matrixform

$$\mathbf{T'} = \left(\mathbf{Q^{-1}}\right)^T \circ \mathbf{T} \circ \mathbf{Q^{-1}}$$

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Nun zum letzten Stück. Wie transformieren sich die dualen Tensoren angesichts all der Maschinen, die wir konstruiert haben ? Also,

$$\tilde T^{\alpha \beta} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma}T_{\rho \sigma}$$

also (unter einer linearen Transformation$\mathbf Q$)

$$\tilde T'^{\alpha \beta} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} T'_{\rho \sigma} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} \left(Q^{-1}\right)^\mu_{\ \ \rho} \left(Q^{-1}\right)^\nu_{ \ \ \sigma}T_{\mu \nu}$$

$$=\tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} \left(Q^{-1}\right)^\mu_{\ \ \rho} \left(Q^{-1}\right)^\nu_{ \ \ \sigma}g_{\mu \eta} g_{\nu \tau} \tilde T_{\eta \tau}$$

Mit ein wenig Ellenbogenfett kann dies in Matrixform gebracht werden:

$$\mathbf{\tilde T'} = \left[\mathbf{\tilde g} \circ \left(\mathbf{Q^{-1}}\right)^T \circ \mathbf{g}\right] \circ \mathbf{\tilde T} \circ \left[\mathbf{g} \circ \mathbf{Q^{-1}} \circ \mathbf{\tilde g}\right]$$

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Ein bisschen eklig, aber meh. Was passiert, wenn diese Transformation orthogonal ist ? Wir können sofort antworten, basierend auf unserer harten Arbeit von früher. Wir haben das gefunden

$$\mathbf{\tilde g} \circ \left(\mathbf{R^{-1}}\right)^T \circ \mathbf{g} = \mathbf{R}$$

und das

$$\mathbf{g} \circ \mathbf{R^{-1}} \circ \mathbf{\tilde g} = \mathbf{R^T}$$

also in Matrixform,

$$\mathbf{\tilde T'} = \mathbf{R \circ \tilde T \circ R^T}$$ wohingegen $$\mathbf{T'} = \mathbf{\left(R^{-1}\right)^T \circ T \circ R^{-1}}$$ weil orthogonale Transformationen so sind$\mathbf{R^T=R^{-1}}$, der Tensor$\mathbf{T}$und sein Dual$\mathbf{\tilde T}$genau so umwandeln.

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Was ist andererseits, wenn die Transformation einheitlich ist ? Der Tensor$\mathbf{T}$transformiert sich wie zuvor:

$$\mathbf{T'} =\mathbf{U \circ T \circ U^T}$$ aber jetzt sind die Umkehrung und die Transponierung nicht dasselbe, und so transformiert sich der Duell-Tensor wie folgt $$\mathbf{\tilde T'} = \mathbf{\bar U \circ \tilde T \circ \bar U^T}$$ Wo$\mathbf{\bar U}$ist das komplexe Konjugat von$\mathbf{U}$.