Warum fliegen Segelflugzeuge mit Ballast schneller?

Fakt ist: Segelflugzeuge haben Ballasttanks, die mit Wasser befüllt werden können. Das Hinzufügen von Ballast erhöht das Gewicht, und dies ermöglicht dem Segelflugzeug, mit höheren Fluggeschwindigkeiten zu fliegen, während das gleiche Gleitverhältnis beibehalten wird. Dies bedeutet, dass, wenn zwei Segelflugzeuge P1 und P2, die beide vom gleichen Modell sind, an einem Punkt A starten und P2 mehr wiegt als P1, beide an Punkt B enden, aber P2 vor P1 ankommt. Die Bewegung ist geradlinig, und während des Fluges ist jedes Flugzeug in der Lage, eine konstante Fluggeschwindigkeit und vertikale Geschwindigkeit aufrechtzuerhalten, wobei die Geschwindigkeit von P2 größer ist als die von P1. Der Anstellwinkel kann auch anders sein. Dies ist ein kleines Diagramm, das ich gemacht habe:

Um die Dinge zu vereinfachen, nehmen wir an, die Bewegung erfolgt in gleichmäßiger Luft, ohne Dichtevariation mit der Höhe, und Winde sind ruhig. Ich habe einige Luftfahrthandbücher gelesen, und die häufigste Erklärung ist, dass das Segelflugzeug das gleiche Verhältnis von Auftrieb zu Widerstand (L / D) beibehält, aber nirgendwo in den Büchern, die ich bisher gelesen habe, ist der Beweis enthalten. Ich versuche mit meinen sehr begrenzten Fähigkeiten, einen Ausdruck zu erreichen, der Geschwindigkeit mit Gewicht in Verbindung bringt, verliere mich dabei aber fast immer.

Dieses zweite Diagramm, das ich erstellt habe, zeigt die verschiedenen beteiligten Kräfte. Da Segelflugzeuge (normalerweise) keinen Motor haben, gibt es keinen Schub und die einzigen vorhandenen Kräfte sind Auftrieb (L), Widerstand (D) und Gewicht (W). (Entschuldigung, Pfeillängen sind nicht proportional zu Vektorgrößen):

Da die Bewegung gleichförmig ist, ist die Beschleunigung null. Dann sagt uns das zweite Newtonsche Gesetz:

${\vec F = m·\vec a}$

Da die Masse nicht null sein kann, sollte die resultierende Kraft F null sein. Also haben wir:

${\vec F = \vec F_x + \vec F_y}$
${\vec F_x = \vec L_x + \vec D_x = \vec 0}$
${\vec F_y = \vec L_y + \vec D_y + \vec W_y= \vec 0}$

Die Auftriebsformel lautet:

${L = \frac{C_L(\alpha)V^2 \rho S}{2} }$

Wo:

• ${C_L(\alpha)}$Ist der Auftriebskoeffizient, der proportional zum Anstellwinkel unterhalb des Strömungsabrisses ist.
• ${V}$ist die Geschwindigkeit. Schade für das FAA-Handbuch, dass es nicht genau angegeben hat, welche Geschwindigkeit es war. Laut Wikipedia ist es IAS (Indicated Airspeed) in Bewegungsrichtung, was sinnvoll ist.
• ${\rho}$Ist die Luftdichte
• S ist die Flügeloberfläche.

Drag-Formel ist:

${D = C_D(\alpha) q S }$

Wo:

• ${C_D(\alpha)}$Ist der Luftwiderstandsbeiwert, der eine Funktion des Anstellwinkels ist, ungefähr quadratisch.
• ${q}$ist der dynamische Druck (???).
• S ist die Flügeloberfläche.

Nochmals Entschuldigung für die fehlenden Einheiten. Ich fuhr fort, die Ausdrücke umzuwandeln, konnte aber keine klare W/V-Gleichung erhalten, stattdessen endete ich mit einem chaotischen trigonometrischen Ausdruck. Es könnte einen einfacheren Weg geben, vielleicht einige Koeffizienten anzunähern? Trotzdem meine Fragen:

1. Sind alle oben genannten Annahmen richtig?
2. In der Realität mag die Fluggeschwindigkeit konstant sein, aber die Bodengeschwindigkeit ist eine andere Sache. Ist die Bewegung wirklich gleichmäßig?

(Entschuldigung für mein schreckliches Englisch, es ist nicht meine Muttersprache)

Vielen Dank im Voraus.

EDIT:
Hier ist mein Versuch, die Geschwindigkeit als Funktion der Masse auszudrücken:

${\vec F_y = \vec L_y + \vec D_y + \vec W_y= \vec 0}$

${|\vec L|\cos(\varphi) = -|\vec D|\sin(\varphi) -gm}$

${\frac{C_L(\alpha)V^2 \rho S}{2}\cos(\varphi) = -C_D(\alpha) q S \sin(\varphi) -gm}$

Da die Auftriebs- und Luftwiderstandsbeiwerte für einen bestimmten Anstellwinkel konstant sind,${\rho}$und q Konstanten sind, weil die Luft gleichmäßig ist, und S konstant ist, weil das Segelflugzeug fliegt, ohne die Flügelfläche zu verändern (keine Klappen hinzugefügt), können wir die Konstanten gruppieren und das ist, was wir bekommen:

${k V^2 = -g m + k'}$