Warum gibt es eine Fluchtgeschwindigkeit?

Ich weiß nicht, ob es dir hilft, aber was dir fehlt, ist die grundlegende Einsicht in die Analysis, wenn du willst. Dieser Mangel an Verständnis erzeugte seit der Zeit der Griechen Paradoxien. Siehe „Achilles und die Schildkröte“ auf Wikipedia.

Der grundlegende Punkt ist, dass Sie eine unendliche Anzahl von "Intervallen" (reelle Zahlen) summieren und ein endliches Ergebnis erhalten können. Zum Beispiel, wenn Sie summieren$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$Sie erhalten 1 (vollkommen endlich). Die Idee ist die gleiche mit der Verzögerung. Verzögerung verringert die Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitintervall etwas, als Sie weiter weg sind, Verzögerung wird kleiner und verringert die Geschwindigkeit wieder, aber etwas weniger als zuvor usw. Der Punkt ist die Summe aller kleinen Geschwindigkeitsreduzierungen endlich , und wenn diese Summe kleiner als die Anfangsgeschwindigkeit ist, wird die Geschwindigkeit niemals Null erreichen und die Teekanne wird immer weiter wegfliegen und niemals zurückkommen.

Zum Beispiel, wenn die Anfangsgeschwindigkeit 2 ist und die Verzögerung die Geschwindigkeit in solchen kleinen Schritten reduziert$2 -\frac{1}{2} -\frac{1}{4} -\frac{1}{8} -\frac{1}{16}\cdots$die Endgeschwindigkeit ist$2-1=1$, immer noch positiv! Wenn es mit einer Geschwindigkeit von weniger als gestartet wurde$1$, würde die Geschwindigkeit negativ werden und die Teekanne würde auf den Planeten zurückfallen. Ich hoffe, es hilft Ihrer Intuition, aber studieren Sie Kalkül, es ist nützlich;)

5 folgt nicht aus 4. Ich werde nur die Zeitableitung verwenden, um dies zu zeigen. Betrachten Sie als einfaches Gegenbeispiel zu 5 eine exponentiell abfallende Geschwindigkeit:

$v = V_0e^{-\alpha t}$

Offensichtlich nähert sich die Geschwindigkeit asymptotisch Null. Was ist die Beschleunigung?

$a = -\alpha V_0e^{-\alpha t}$

Obwohl also immer eine Verzögerung ungleich Null auftritt, dh das Objekt für immer verzögert wird, erreicht die Geschwindigkeit niemals Null.

Betrachten Sie nun ein Objekt mit folgender Geschwindigkeit:

$v = V_\infty + V_0e^{-\alpha t}$

Wieder wird das Objekt für immer abgebremst und dennoch nähert sich die Geschwindigkeit einem konstanten Wert ungleich Null.

Hier ist eine schöne mathematische Erklärung : Das Problem der Fluchtgeschwindigkeit [1]

Kurz gesagt, die Höhe, bei der die Geschwindigkeit der Teekanne Null wird, ist sehr sehr groß (~ unendlich). Daher kehren die Körper, die die Erde mit Fluchtgeschwindigkeit verlassen, nicht zurück, obwohl die Schwerkraft noch auf sie wirken könnte.

[1] Calculus: An Intuitive and Physical Approach (Zweite Auflage) von Morris Kline

Geschwindigkeitsgleichung eines Körpers, der direkt von der Erdoberfläche nach oben geschleudert wird:

$v^2(h)=(v_o^2 – v_e^2)+v_e^2\frac{R}{h}$

wo
$v_o$- Anfangsgeschwindigkeit,$v_e$- Fluchtgeschwindigkeit,$R$- Erdradius,$h$- Entfernung vom Erdmittelpunkt$(h>R)$

1) Wenn$v_o<v_e$dann ist da$h$bei welchem$v=0$:

$\large {h_{max}=R\frac{v_e^2}{v_e^2-v_o^2}}$

2) Wenn$v_o=v_e$dann$v>0$bei jedem$h$:

$v^2(h)=v_e^2\frac{R}{h}$

3) Wenn$v_o=2v_e$dann$v$weniger kann es dann nicht sein$\sqrt3\;v_e$:

$v^2(h)=3v_e^2+v_e^2\frac{R}{h}$

PS Anfangsgeschwindigkeitsgleichung kann leicht aus der Energieerhaltungsgleichung abgeleitet werden

$\large {\frac{mv_o^2}{2}-\frac{GMm}{R}=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{h}}$

und Formel der Fluchtgeschwindigkeit:

$\large {v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$

Ich gehe nur davon aus, dass Sie die Energieeinsparung und insbesondere die Formel für die Energie der Teekanne kennen

Wir wissen, dass dies konstant ist. Betrachten Sie eine beliebig große Entfernung$r$; wenn wir lösen können$v$, dh wenn$v^2>0$Angesichts der Energie und der Massen kann die Teekanne diese Entfernung erreichen und wird, wenn nichts sie aufhält, immer größere Entfernungen erreichen. Seit$\frac{ G M m}{r}$tendiert gegen Null als$r$ungebunden steigt Bedingung ist, dass$E>0$damit die Teekanne entkommt. Festsetzung$r=R_{earth}$und Einstellung$E=0$---da dies die Fluchtschwelle ist --- ermöglicht es uns, nach der Fluchtgeschwindigkeit an der Erdoberfläche zu lösen.

Durch diese Argumentation können Sie sich vorstellen$E$als „kinetische Energie im Unendlichen“: Wenn die Teekanne noch etwas übrig hat, kann sie es tatsächlich erreichen.

Jedes Feld hat eine Randbedingung, in der es gültig ist. Der Bereich des Feldes dort ist immer Energie gespeichert. Um diese Energie zu überwinden, brauchen wir etwas externe Energie (kann mechanisch sein). Dies kann also nur geschehen, wenn eine äußere Kraft auf den Körper einwirkt, die den KE des Körpers verändert, dem Körper hilft, aus dem Feld herauszukommen, und daher eine gewisse Geschwindigkeit vorhanden ist, die als Fluchtgeschwindigkeit bekannt ist.