Warum haben hohe Gebäude niedrige Resonanzfrequenzen?

Wir können das Gebäude als einheitlichen Dichtequader modellieren$\rho$die Region besetzen

mit seiner Masse gegeben durch

Das Gebäude ist fest mit dem Boden verbunden ($xy$-Ebene).

Betrachten Sie unter Vernachlässigung der Schwerkraft und der Druckspannung nur die Auswirkungen der auf das Gebäude wirkenden Schubspannung.

Lassen Sie die Verschiebung des Gebäudes positiv sein$x$Richtung durch eine gleichmäßige Schubspannung.

Die Scherbeanspruchung,$\theta$, hängt mit der Schubspannung zusammen,$\frac{ F_{//} }{A}$, gemäß der Gleichung

Wo$S$ist der Schubmodul und ist eine Konstante für klein$\theta$.

Eine Rückstellkraft, die direkt proportional zu ihrer Verschiebung ist, deutet auf eine einfache harmonische Bewegung (SHM) hin.

Die Position eines Punktes auf dem Gebäude (durch Geometrie) ist

Da die Verschiebung als klein angenommen wird, können wir die Näherung erster Ordnung für verwenden$\tan \theta$.

Um die entsprechende Geschwindigkeit zu erhalten, leiten Sie die Position nach der Zeit ab.

Als nächstes versuchen wir, die kinetische Energie des Gebäudes zu berechnen. Für ein kleines Massenelement mit neutraler Lage bei$(x_0,y_0,z_0)$ein Volumen von einnehmen$dV$, seine kinetische Energie ist gegeben durch

Für ein Blatt Massenelement in der Höhe$z$, und besetzen eine Dicke von$dz$, seine kinetische Energie ist

Die gesamte kinetische Energie des Gebäudes ist gegeben durch

Als nächstes berechnen wir die potentielle Energie, die durch die konservative Scherkraft beschrieben wird

Da die Energie erhalten bleibt, sei die Gesamtenergie$E$

Dies ist eine SHM-Differentialgleichung und ihre natürliche (Winkel-)Frequenz ist gegeben durch

$f_0$Und$L_z$sind umgekehrt proportional zueinander. Daher wird ein hohes Gebäude eine niedrige Resonanzfrequenz haben.

Um eine Resonanz in etwas anzuregen, müssen Sie Schwingungen erzeugen, die sich kohärent oder in Phase addieren. Dies bedeutet, dass Sie, wenn Sie auf einem Objekt vibrieren, möchten, dass die Reflexionen der Vibration mit den neu eingehenden Vibrationen addiert werden. Diese Reflexionen benötigen angesichts der endlichen Schallgeschwindigkeit Zeit, um von einem Ende des Objekts zum anderen zu gelangen . Je höher das Gebäude ist, desto länger dauert es, bis die Vibrationen von unten nach oben im Gebäude gelangen. Daher ist eine niedrigere Frequenzwelle erforderlich, um die Resonanz anzuregen.

Im Allgemeinen klingen mechanische Strukturen, wenn sie überhaupt „klingeln“, mit Frequenzen, die durch die Eigenschaften von Steifigkeit (Elastizität) und Masse bestimmt werden. Die Frequenz steigt in den meisten Fällen mit zunehmender Steifigkeit, nimmt aber mit zunehmender Masse ab.

Gebäude haben eine beträchtliche Steifigkeit, sind aber angesichts der relativen Masse nicht unbedingt so groß. Es ist also im Grunde die relative Steifigkeit zur Masse, die die niedrigen Frequenzen bestimmt, die man in Gebäuden beobachtet.

Oben wurden hervorragende Antworten gegeben, daher kann es zu erheblichen Überschneidungen mit meinen kommen.

Betrachten Sie eine Masse$m$am Ende einer Feder mit Federkonstante$k$. Zugegeben, das ist ein sehr grobes Modell, aber Physiker haben eine Möglichkeit, einfache Modelle zu erstellen. Nennen wir es ein konzentriertes 1D-Modell eines Gebäudes. Die Resonanzfrequenz ist$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$. Für ein höheres Gebäude die Federkonstante$k$geht runter wie$1/h$. Gleichzeitig die Masse$m$steigt mit$h$. In diesem sehr einfachen Modell skaliert also die Frequenz mit$1/h$.

Die Verwendung eines Dämpfers mit abgestimmter Masse ist eine Möglichkeit, damit umzugehen.

Echte Pendel sind Pendel mit nicht punktförmiger Massenverteilung. Für diese, um die Zeitdauer als Funktion der Länge zu berechnen, können wir die reguläre Formel für harmonische Bewegung anwenden, nachdem wir die Länge des Oszillators als den Abstand zwischen dem Drehpunkt und dem Massenmittelpunkt betrachtet haben. Ein hohes Gebäude hätte offensichtlich einen ziemlich hohen Schwerpunkt, daher hat es eine sehr niedrige Frequenz. Es ist, als würde man ein wirklich langes einfaches Pendel betrachten, obwohl die Gleichungen etwas anders sind.

Genauer gesagt können wir das Gebäude als stehende Welle mit einem offenen Ende modellieren. Die Gleichung für die Position in einer stehenden Welle lautet

Offensichtlich gibt es ein umgekehrtes Verhältnis zwischen Frequenz und Länge, sodass ein hohes Gebäude eine niedrige Frequenz hat.