Warum haben in einer passiven Schaltung mit sinusförmigem Eingang alle Spannungen und Ströme das gleiche sinusförmige Verhalten wie der Eingang?

Ich habe mir den Kopf zerbrochen und schließlich einen netten mathematischen Ansatz gefunden, um dies zu beweisen, und beschlossen, meine eigene Frage zu beantworten. Lösen Sie in einer solchen Schaltung nach jeder Spannung / jedem Strom über / durch eine beliebige Komponente (ich nenne das$f$) würde Sie immer dazu führen, eine Differentialgleichung zu konstruieren, die immer linear ist, mit konstanten Koeffizienten (aufgrund linearer Eigenschaften passiver Komponenten) und inhomogener (aufgrund des sinusförmigen Eingangs). Eine solche Differentialgleichung wird immer diese Form annehmen:

$$a\frac{d^nf}{dt^n}+b\frac{d^{n-1}f}{dt^{n-1}}+...+j\frac{df}{dt}+kf=C\sin{(\omega t+\theta)}$$ wo $a...k$sind Konstanten (Kombinationen aus Induktivität, Widerstand etc.), $n$ist die Ordnung der Differentialgleichung (die die Anzahl der Energiespeicherelemente in der Schaltung widerspiegelt) und $C\sin{(\omega t+\theta)}$ist eine verallgemeinerte Sinusfunktion, die den Eingang beschreibt. Eine allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung nimmt immer diese Form an: $$f=\text{(general homogeneous solution)}+\text{(particular solution)}$$ wo die jeweilige Lösung $=A\sin{(\omega t+\theta)}+B\cos{(\omega t+\theta)}$das ist eine Sinusfunktion der gleichen Frequenz! Bei der Analyse von Wechselstromkreisen betrachten wir den Stromkreis immer im stationären Zustand, wenn sich die homogene Lösung Null nähert (was aufgrund von Widerständen im Stromkreis unvermeidlich geschieht).

Dies gilt nur für LTI-Schaltungen (Linear Time-Invariant). Wenn Sie eine nicht ideale Komponente haben (und das sind alle bis zu einem gewissen Grad), sehen Sie Harmonische der Eingangsfrequenz im Ausgang. Induktivitäten sind in der Regel die schlechtesten von allen, aber alle passiven Teile haben ein solches Verhalten. Beispielsweise können Kondensatoren einen starken Spannungskoeffizienten aufweisen und sind aufgrund der dielektrischen Absorption nicht zeitinvariant.

Für einen einfachen mathematischen Beweis (vorausgesetzt ungefähr 2. Jahr an Universitätskenntnissen in Mathematik) können Sie diese Notizen zum Berkeley-Kurs (EECS20N: Signale und Systeme) lesen. Den gesamten Text können Sie hier herunterladen .

Dies geschieht, weil eine Sinuswelle nur eine Linie im Frequenzspektrum ist und egal, was Sie mit einem linearen Filter oder Verstärker damit machen, alles, was passiert, ist, dass sich die Phase oder Amplitude verschiebt.

Wenn es sich um eine Rechteckwelle (unendliche Harmonische) handeln würde, würde die Anwendung eines Filters einige Frequenzen stärker dämpfen oder akzentuieren als andere, und die Rechteckwelle würde ihre erkennbare Rechteckform verlieren.

Rechteckwellenharmonische: -

Gif-Quelle

Der Hauptgrund ist, dass die konstituierenden Gleichungen der idealen R-, L- und C-Komponenten lineare, zeitinvariante Gleichungen sind, die nur Ableitungen und Integrale beinhalten (beides lineare Operationen) und dass sich Sinus und Kosinus in andere Sinus- und Kosinuswerte ändern, wenn auf solche linearen Operatoren eingewirkt wird.

Die Ableitung und das Integral einer Sinusfunktion ist eine andere Sinusfunktion derselben Frequenz (sie kann sich nur in Amplitude und Phase ändern). KCL und KVL können nur zu algebraischen Summen solcher Sinusfunktionen führen, und diese Operation kann nur eine andere Sinusfunktion erzeugen. Wenn Sie also R, L und C in einem Netzwerk verbinden, führt ein sinusförmiger Eingang immer zu einem sinusförmigen Ausgang.

Siehe meine andere Antwort hier .

All dies ist eine direkte Folge der Selbstähnlichkeit der Exponentialfunktion (bezogen auf Sinus und Cosinus durch Eulers Gleichung). Vielleicht möchten Sie das erste Kapitel in Giorgi, The Physics of Waves lesen , um eine vollständige Erklärung dafür zu erhalten.

(Beachten Sie, dass diese Eigenschaft der Umwandlung in eine skalierte und zeitverschobene Kopie von sich selbst in einem Intervall von$t=-\infty$zu$t=+\infty$Es ist einzigartig für verallgemeinerte Sinusfunktionen - alle anderen Funktionen werden am Ende durch die lineare zeitinvariante Schaltung "verformt". Lösungen eines linearen Systems, die skalierte Kopien ihrer selbst sind, wie in$A \ x = \lambda \ x$(wo$\lambda$ist ein komplexer Skalar, der Informationen über Dämpfung und Phasenverschiebung trägt) werden als charakteristische oder eigentliche oder Eigenlösungen der Systeme bezeichnet. Sie können verwendet werden, um eine orthogonale Basis mit der Eigenschaft aufzubauen, dass jede andere (gut erzogene) Funktion als verallgemeinerte Summe solcher elementarer Bausteine ​​zerlegt werden kann - und dies führt Sie direkt in das Gebiet der Fourier-Reihe, aber das ist eine andere Geschichte).

Eine kurze Erklärung finden Sie in der ersten Antwort auf diese Frage zu Math SE: Warum verwenden wir trigonometrische Funktionen in Fourier-Transformationen und keine anderen periodischen Funktionen?

Die Fourier-Basisfunktionen$e^{iωx}$sind Eigenfunktionen des Verschiebungsoperators$S_h$das eine Funktion abbildet$f(x)$zur Funktion$f(x−h)$:$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$für alle$x∈R$.

Dies gilt nur, wenn passive Elemente auf R, L, C und möglicherweise richtig angesteuerte Kristalle beschränkt werden - und selbst dann gibt es zwei Ausnahmen, siehe unten. Beabsichtigte und unbeabsichtigte Dioden, Varistoren, Thermistoren mit thermischer Masse und andere nichtlineare Elemente können schnell zu Verzerrungen bei reinen Sinuseingängen führen. Auch übersteuerte Quarze oder Keramikfilter können sich eher nichtlinear verhalten. Wenn zweipolige Elemente mit negativem Widerstand (Gasentladungsröhren, Tunneldioden) in die passive Kategorie aufgenommen werden, bestehen sogar noch mehr Möglichkeiten.

Die Ausnahmen:

Reale Teile neigen dazu, Unvollkommenheiten zu haben, die dazu führen, dass sie sich ein bisschen wie einige nichtlineare Elemente verhalten. Widerstände können "Thermistor mit thermischer Masse" und sogar "Varistor"-Verhalten haben. Kondensatoren können aufgrund von piezoelektrischen Effekten, elektrischen Feldern, die mechanische Kraft erzeugen, chemischen Effekten (in der Elektrolyse) eine Spannungsabhängigkeit in ihrem Wert aufweisen. Auch scheinen einige Elektret-ähnliche Effekte für Kondensatoren dokumentiert zu sein. Metall-Metall-Verbindungen können ein diodenähnliches Verhalten entwickeln. Induktivitäten können durch Kernsättigung, Wechselwirkung des Magnetfelds mit Metallobjekten in der Nähe usw. nichtlinear werden.

Alle ohmschen Komponenten, die einen Strom führen, zeigen ein gewisses rauscherzeugendes Verhalten, dessen untere Grenzen durch harte Physik definiert sind.

Denken Sie daran, dass alle scheinbar nicht sinusförmigen, sich wiederholenden Signale des wirklichen Lebens perfekt als Summe von Sinuswellen mit unterschiedlichen Frequenzen und Phasen beschrieben werden können.

Wenn Sie nach der Verbindung zur Natur suchen, drehen Sie sich im Kreis: Sinuswellen sind laut Mathematikfreaks die Hauptzutat bei der Herstellung von Kreisen, Ovalen und runden Dingen (wenn Sie einen Kreis auf einem Computer zeichnen möchten, verwenden Sie normalerweise entweder Sinus /cosine-Funktionen oder verwenden Sie den Satz von Pythagoras direkt auf irgendeine Weise ...) . Die Natur macht viele runde Dinge (Haare, Pflanzenstiele, Kirschen, Kirschflecken, Tornados usw.) und hält für diesen Zweck reichlich Sinuswellen bereit.

Eine „Schaltung“ wird normalerweise als ein Netzwerk von Komponenten betrachtet, mit einem „Eingabe“- und einem „Ausgabe“-Anschluss. Mit der Netzwerktheorie, wie dem Ohmschen Gesetz, können Sie eine Gleichung ableiten, die „Übertragungsfunktion“, die den Ausgang in Bezug auf den Eingang beschreibt. Bei „linearen“ Komponenten finden Sie immer eine „lineare“ Übertragungsfunktion.

Lassen Sie uns einige lineare Komponenten mit Funktionen wie output = F(input), output2 = G(input2)usw. beschreiben. Dann führt die Kombination solcher Komponenten zu einer kombinierten Funktion wie output2 = G(F(input1)). Da beide Funktionen linear sind, also von der Form y = a * x + b, sind auch diese Kombinationen linear.

Beim Anlegen eines sinusförmigen Eingangssignals an das lineare Netzwerk kann das Ausgangssignal um den Faktor a verstärkt und um die Spannung b verschoben werden. Mit komplexer Mathematik oder Differentialgleichungen können Sie sogar eine "Phasenverschiebung" erhalten, aber keine andere Frequenz, da die Ableitung eines Sinus dieselbe Frequenz hat.

Wollen Sie es noch förmlicher?

Entweder ist Ihre Prämisse falsch oder Sie haben die Randbedingungen nicht richtig artikuliert.

Stellen Sie sich ein einfaches passives Gerät wie eine Diode vor. Es weist eine nichtlineare Übertragungscharakteristik auf, was zu einem nicht sinusförmigen Ausgang für einen gegebenen Wert führt

Betrachten Sie auch einen idealen Resonanzkreis (LC) mit einer Übertragungsfunktion, die zu einem Nullausgang führt - also nicht sinusförmig.

Die Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme (und passive Netzwerke sind im Allgemeinen von dieser Art) sind komplexe Exponentialfunktionen, und ihre realen Überlagerungen sind Sinuskurven beliebiger Phase.

Eine Eigenfunktion ist eine Funktion, die sich nur um einen konstanten (in diesem Fall komplexen) Faktor ändert, wenn sie durch ein System geführt wird. Lineare Systeme sind solche, bei denen die Ausgabe, die der Summe mehrerer Eingaben entspricht, der Summe der Ausgabe der einzelnen Eingaben entspricht, sodass Sie sie immer analysieren können, indem Sie ihre Eingabe als bequeme Summe ausdrücken. Wenn diese Summe eine Summe sein kann, die in einer orthogonalen Eigenfunktionsbasis ausgedrückt wird, werden die Dinge so viel einfacher.

Hallo Fourieranalyse.