Warum haben Massen, die über eine Schnur verbunden sind, die gleiche Beschleunigung?

Wir wissen, dass die Spannung im Frühjahr$2$wird durch seine Ausdehnung bestimmt, die sich unmittelbar nach dem Frühling nicht ändert$1$ist geschnitten. Also die Spannung im Frühjahr$2$unmittelbar nach dem Frühling$1$geschnitten ist$Mg$- was auch bedeutet, dass die Momentanbeschleunigung der unteren Masse Null ist.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Spannung in der Saite ist$T$dann ist die Nettokraft nach unten auf die zentrale Masse$Mg + 2Mg - T$also haben wir

$3Mg - T = 2Ma_2$

Wo$a_2$ist die Abwärtsbeschleunigung der zentralen Masse. Ebenso haben wir für die obere Masse

$T + Mg = Ma_1$

Wo$a_1$ist die Abwärtsbeschleunigung der zentralen Masse.

Eliminieren$T$aus diesen beiden Gleichungen gibt uns

$4Mg = Ma_2 + 2Ma_2 \\ \Rightarrow a_1 + 2a_2 = 4g$

Aber wenn die Saite locker wäre, hätten wir es getan$a_1=g$, So$a_2=\frac 3 2 g$und so$a_2 > a_1$- was unmöglich ist, wenn die Saite schlaff ist. Wir können also davon ausgehen, dass die Saite nicht durchhängt, was das bedeutet

$\displaystyle a_1=a_2= \frac 4 3 g$

Beachten Sie, dass die Beschleunigung des Massenschwerpunkts aller drei Massen die gewichtete Summe ihrer individuellen Beschleunigungen ist, dh

$\displaystyle \frac 1 {4M} \left( M \frac {4g} 3 + 2M \frac {4g} 3 + M.0 \right) = g$

wie wir erwarten.

Bevor die obere Feder geschnitten wird, sind die Spannungen in der unteren Feder und der Saite$Mg$Und$3Mg$bzw. Wir können dies zeigen, indem wir das Gleichgewicht der unteren beiden Massen betrachten.

Wenn es darum geht, Beschleunigungen zu berücksichtigen, wenn die obere Feder geschnitten wird, fand ich es aufschlussreich, darüber nachzudenken, was passieren würde, wenn die Saite tatsächlich eine andere Feder wäre. Dies würde die Spannungen nicht ändern, bevor die obere Feder geschnitten wurde. Unmittelbar nach dem Schneiden würden sich die Spannungen nicht ändern, da sich die mittlere Feder (die die Saite ersetzt) ​​um einen endlichen Betrag zusammenziehen müsste, um ihre Spannung zu ändern, und dies ohne die beiden oberen Massen nicht möglich wäre ihre relative Position ändern – was sie nicht sofort tun können. Somit wäre die Beschleunigung der Obermasse unmittelbar nach dem Durchtrennen der Oberfeder$4g$und die der mittleren Masse wäre Null.

Ein alternativer Ansatz (um nicht durch die Schwerkraft verwirrt zu werden) besteht darin, das Prinzip der Äquivalenz der Relativität zu verwenden und anzunehmen, dass sich unmittelbar nach dem Schnitt alles ohne Schwerkraft im Weltraum befindet.

Die untere Masse steht unter einer Aufwärtskraft von$mg$aufgrund der Durchbiegung der Feder und einer Beschleunigung$\frac{mg}{m} = g$.

Die gleiche Kraft wird von der Feder auf die Mittelmasse ausgeübt.

Jetzt gibt es eine Verzweigung:

1. Nehmen wir die Saite nur als Verbindung, ohne jegliche elastische Eigenschaft, so kann nur eine Bewegung der mittleren Masse die obere bewegen. Sie bilden eine einzigartige Masse$3m$zusammen. Beide haben also eine Abwärtsbeschleunigung: $$a = \frac{mg}{3m} = \frac{g}{3}$$

Wenn wir nun auf die Gravitationsumgebung zurückkommen, muss hinzugefügt werden$g$nach unten auf beide Beschleunigungen.

Bodenmasse:$a_b = 0$Mittel- und Obermasse:$a_m = a_u = \frac{4g}{3}$

2. Wenn es sich um eine echte Saite handelt, ist sie unmittelbar nach dem Schnitt immer noch elastisch verformt (egal wie gering die Verformung ist), und es gibt eine Nettokraft nach unten$F = 3mg$in der Obermasse und eine Beschleunigung$a_u = \frac{3mg}{m} = 3g$

Die mittlere Masse hat eine Nettokraft nach oben$3mg - mg = 2mg$und Beschleunigung$a_m = \frac{2mg}{2m} = g$

Die untere Masse hat eine Nettokraft nach oben$mg$und und Beschleunigung$a_b = \frac{mg}{m} = g$

Kehren wir zum Gravitationsfeld zurück und addieren$g$nach unten:

$a_u = 4g$
$a_m = 0$
$a_b = 0$

Ich glaube, dass der einzige Grund, den Namen String anstelle von Spring zu verwenden, darin besteht, ihn nur als Verbindungswerkzeug zu verwenden$(1)$scheint die richtige Antwort zu sein.