Warum haben periodische Signale nur ganzzahlige Frequenzen, nicht periodische jedoch nicht?

Warum hat ein periodisches Signal nur ganzzahlige Frequenzwerte, während ein nicht periodisches Signal alle reellen Zahlen als Frequenzwerte hat?

Die Frequenz ist nur die Anzahl der Male, die ein vollständiger Zyklus in einer einzigen Sekunde passiert ist. Warum können dann bei einem periodischen Signal nicht beispielsweise 5,3 oder 2,486 Zyklen in einer Sekunde auftreten? Und bei nicht periodischen kommt das gesamte Signal durcheinander (nicht in richtiger Sinuswellenform). Es gibt keinen zu berücksichtigenden Standardzyklus. Wie könnte die Frequenz dann überhaupt berechnet werden?

das hört sich nach vielen Dingen an, die ich gehört habe, als jemand, der Signale nicht versteht, jemandem beibringt, wenn er versucht, Signale zu unterrichten. Es tut mir leid, sagen zu müssen, dass der einfachste Weg, den ich kenne, um dieses Problem zu beheben, darin besteht, ein Whiteboard herauszuholen und die Natur dessen zu diskutieren, was Frequenz ist.
Das wurde mir während der Vorlesung gesagt, aber ich verstehe nicht, wie das so ist.
xEnOn, ich hasse es, das zu hören. Ich hoffe, dass die Leute eine ausgezeichnete Antwort auspressen und es klären.
Zwei periodische Signale, deren Frequenzen rationale Vielfache voneinander sind (z. B. 222,2 Hz und 333,3 Hz, da 222,2 2/3*333,3 und 333,3 3/2*222,2 ist), werden summiert, um ein weiteres periodisches Signal zu erzeugen, dessen Frequenz beide unterteilt (z 111,1 Hz). Zwei periodische Signale, deren Frequenzen keine rationalen Vielfachen voneinander sind, summieren sich zu einem nicht periodischen Signal. Einige, wenn auch nicht alle, nicht periodischen Signale können als Summe einer endlichen Anzahl periodischer Signale ausgedrückt werden, einige als Summe einer zählbar unendlichen Anzahl solcher Signale, und einige können nicht als eine solche Summe ausgedrückt werden alle.

Antworten (2)

Angenommen, Sie haben eine Grundfrequenz von 100 Hz . Das heißt es wiederholt sich alle 10ms die blaue Kurve im Graphen.

Harmonische

Dieses Signal kann eine 3. Harmonische (violette Kurve) haben, die also bei 300 Hz liegt und sich daher alle 3,3 ms wiederholt. Sie muss ein exaktes Vielfaches der Grundfrequenz sein, damit sie auch dann einen neuen Zyklus beginnt, wenn die Grundwelle einen neuen Zyklus beginnt, nämlich nach 10ms. In diesem Moment ist 1 Zyklus der Grundwelle und 3 der 3. Harmonischen vergangen. Dasselbe gilt für die fünfte Harmonische (braune Kurve): Nach 10 ms sind fünf Zyklen davon vergangen und es beginnt ein neuer Zyklus zur gleichen Zeit, zu der die anderen Harmonischen einen neuen Zyklus beginnen. Die Situation nach 10 ms ist also für alle Harmonischen genau dieselbe wie zum Zeitpunkt 0. Und das ist die Frequenz, dass sich alles nach einer bestimmten Zeit wiederholt.

Angenommen, ich habe eine Grundfrequenz von 200 Hz (blaue Kurve unten), sodass Sie alle 5 ms dieselbe Welle erneut sehen. Und dass Sie eine zweite Komponente bei 500 Hz (pink) haben, das ist also kein genaues Vielfaches von 200 Hz. Was geschieht? Die 200-Hz-Komponente beginnt einen neuen Zyklus bei 0 ms, 5 ms, 10 ms, 15 ms, 20 ms usw. Die 500-Hz-Komponente beginnt einen neuen Zyklus bei 0 ms, 2 ms, 4 ms, 6 ms, 8 ms, 10 ms, 12 ms usw. Bei 5 ms beginnt die erste einen neuen Zyklus, aber der zweite nicht, daher sehen wir an diesem Punkt keine Wiederholung der 0ms. Das machen wir bei 10ms, denn dann starten beide Komponenten einen neuen Zyklus. Und das werden sie auch bei 20ms, nicht früher.

Oberschwingungsdiagramm

Wir sehen, dass die Grundfrequenz 100 Hz beträgt (braune Kurve), auch wenn es bei dieser Frequenz keine Welle gibt! Aber das ist die höchste Frequenz, die 200 Hz und 500 Hz als genaue Vielfache hat.

Brauchen wir dann nicht diese Grundfrequenz? Es scheint, dass wir das manchmal nicht tun. Unser Gehirn kann das fehlende Grundtonsignal rekonstruieren. Nehmen Sie ein Audiosystem, bei dem die Lautsprecher beispielsweise 50 Hz nicht wiedergeben können, weil sie zu niedrig sind. Wenn Ihr Signal aus einer 50-Hz-, einer 100-Hz- und einer 150-Hz-Welle besteht, werden nur die 100-Hz- und 150-Hz-Wellen reproduziert. Wir nehmen dies jedoch als 50Hz-Signal wahr!

Die Grundfrequenz ist der größte gemeinsame Teiler (GCD) aller ihrer Komponenten. Je mehr Frequenzen vorhanden sind, die keine einfachen Verhältnisse haben, desto niedriger wird diese Grundfrequenz, bis Sie zu einem Rauschen kommen, das theoretisch alle Frequenzen enthält und eine Grundfrequenz von Null hat, dh dass es sich überhaupt nicht wiederholt !
Digitale Rauschgeneratoren versuchen, ein qualitativ hochwertiges Rauschen zu erzeugen, indem sie die Grundfrequenz so niedrig wie möglich machen, z. B. 0,001 Hz, was bedeutet, dass sich dieselbe Sequenz alle 18 Minuten einmal wiederholt.

@stephenvh - Schöne Antwort. @ all - In Bezug auf Audiowahrnehmungen fand ich diesen Link sehr interessant: en.wikipedia.org/wiki/Binaural_beats
Danke, dass du so eine klare Erklärung hast. Ist der Grund, warum periodische Signale nur ganzzahlige Frequenzwerte haben, der, dass es definitiv einen ganzzahligen Wert für ihre Harmonischen geben wird? Wie 3f, 5f sind alle ganze Zahlen. Dürfen die Frequenzharmonischen in Dezimalzahlen wie 2,5f vorliegen?
@xEnOn - es müssen ganze Zahlen sein. Wenn Sie 2,5 f hätten, wäre die Grundwelle tatsächlich 0,5 f. Andernfalls sieht der erste "Punkt" anders aus als der zweite.
@xEnOn: Die Harmonischen sind ganzzahlige Vielfache der Grundwelle. Der Grundton (oder die Harmonischen, was das betrifft) muss KEIN ganzzahliger Wert sein ... wer auch immer das gesagt hat, liegt falsch. Eine Sekunde ist im Grunde eine zusammengesetzte Einheit. Wenn wir eine neue Zeiteinheit namens Wibble definieren, mit einem Umwandlungsverhältnis von 2,333_ Sekunden zu einem Wibble, und diese verwenden, um die Frequenz anzugeben, dann ändert sich, was eine ganzzahlige Frequenz ist und was nicht. Die Welle selbst hat sich nicht geändert, und ihre Eigenschaft, periodisch zu sein, hat sich auch nicht geändert. Periodisch ist so einfach wie "wiederholt es sich?".
@stevenvh: Ja, wenn ich 2,5f hätte, muss sich auch die Grundfrequenz ändern. Aber ob bei 2.5f oder 5f, die Kurven würden gleich aussehen, ist das richtig? Ist die braune Kurve im Diagramm das zusammengesetzte Signal der anderen? Wie wurde die zusammengesetzte Signalkurve aus den harmonischen Kurven abgeleitet?
@darron: hmm .. ich bin etwas verwirrt. Was ich also im Titel dieser Frage geschrieben habe, dass "ein periodisches Signal nur ganzzahlige Frequenzwerte hat, während ein nicht periodisches Signal alle reellen Zahlen als Frequenzwerte hat", ist falsch? Beziehen sich die "ganzzahligen Frequenzwerte" und die "reellen Frequenzwerte" auf die 5f, 10f usw. dieser Harmonischen?
Ja, es ist falsch. Ich bin überrascht, dass niemand explizit darauf hingewiesen hat. Kortuk kommentierte, sagte aber nicht ausdrücklich, was er daran deprimierend fand. Wenn periodisch das bedeutet, was Sie sagen, wäre dies eine im Allgemeinen nutzlose Unterscheidung, die die Menschen nur verwirren könnte. Ein 0,9-Hz-Signal wiederholt sich alle 0,9 Sekunden, ist also periodisch. Die dritte Harmonische von 0,9 wäre 2,7 Hz, ebenfalls periodisch. Vielleicht haben Sie sich verhört oder gibt es einen anderen seltsamen Zusammenhang?
@xEnOn - Ja, die braune Kurve ist die Summe der anderen beiden. Wählen Sie eine beliebige Stelle in der Grafik und messen Sie die Höhe von Blau und Rosa. Sie werden sehen, dass das Braun die Summe ist, wenn Sie die Zeichen berücksichtigen. Ich wollte zeigen, dass die blaue Kurve nicht die Grundwelle sein kann, da die rosa Kurve kein exaktes Duplikat ist, und siehe da, die Grundwelle (braun) hat tatsächlich eine niedrigere Frequenz, von der die anderen tatsächlich exakte Duplikate sind.

Es können 5,3 oder 2,486 Zyklen pro Sekunde sein. Dies wären 5,3 Hz oder 2,483 Hz. Es muss keine ganzzahlige Anzahl von Zyklen in einer Sekunde geben.

Bei nicht periodischen Signalen gibt es keine Grundfrequenz , die ihnen zugeordnet ist, kein sich wiederholendes Muster – sie können vielleicht als periodische Funktion mit unendlicher Periode betrachtet werden. Jedes Signal (einschließlich periodischer) kann jedoch mehrere Frequenzkomponenten haben, und wir können eine Spektrumanalyse eines solchen Signals betrachten, um Frequenzkomponenten zu bestimmen. Bei einer nicht periodischen Wellenform können die Komponenten kontinuierlich sein, eine periodische Wellenform bleibt (idealerweise) statisch mit harmonisch verwandten Komponenten.

Zum Beispiel hat eine Rechteckwelle Leistung bei ungeraden Harmonischen der Grundwelle - also hätte eine Rechteckwelle von 1 Hz eine Frequenz von 1/3 der Amplitude bei 3 Hz und eine weitere 1/5 der Amplitude bei 5 Hz und so weiter bis unendlich (in der Praxis unendlich wird nie erreicht, da sich Signale in der realen Welt nicht sofort ändern können) Diese sind statisch, solange sich die Frequenz oder Amplitude der Rechteckwelle nicht ändert. Siehe hier:

Wiki-Seite zu Rechteckwellen

Zur weiteren Lektüre möchten Sie vielleicht einen Blick auf Fourier- und Laplace-Transformationen werfen. Die meisten guten Bücher über Signalverarbeitung enthalten viele gute Informationen darüber und noch viel mehr.

Warum haben periodische Signale nur ganzzahlige Frequenzen, nicht periodische jedoch nicht?
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