Harry selbst fragte, ob er mitkommen könne

„Und wenn ja“, sagte Harry schnell, „kann ich mitkommen und helfen, es loszuwerden?“

Dumbledore sah Harry einen Moment lang sehr aufmerksam an, bevor er sagte: „Ja, ich denke schon.“

"Ich kann?" sagte Harry völlig überrascht.

„Oh ja“, sagte Dumbledore mit einem leichten Lächeln. „Ich denke, Sie haben sich dieses Recht verdient.“

_{Harry Potter und der Halbblutprinz}

Aus diesem Austausch können wir sehen, dass Dumbledore zugestimmt hat, ihn in die Höhle zu bringen, weil Harry darum gebeten hat, mitzukommen. Harry war nicht anwesend, als Dumbledore losging, um Marvolos Ring zu finden, und hatte daher keine Gelegenheit, ihn vorher zu fragen.

In demselben Kapitel, in dem Dumbledore seine Zustimmung gibt, hat Harry Dumbledore Slughorns wahres Gedächtnis gezeigt und Dumbledore erlaubt, die Anzahl der Horkruxe zu bestätigen, die Voldemort hat. Alles dank Harry. Er hatte sich dieses zusätzliche Recht verdient, mit Dumbledore Horkruxe zu jagen.

Dumbledore könnte Harrys Nützlichkeit vorausgesehen haben

Dumebledore unterrichtete Tom Riddle. Er „kannte seinen Stil“ und vermutlich auch seine Brutalität. Er wusste, dass Voldemort Fallen aufgestellt hätte, um zu verhindern, dass eine einzelne Person, die alleine handelt, den Horkrux erreicht.

"Das ist nur das Vorzimmer, die Eingangshalle", sagte Dumbledore nach ein oder zwei Momenten. „Wir müssen ins Innere vordringen. Jetzt sind es eher die Hindernisse von Lord Voldemort, die uns im Weg stehen, als die, die die Natur gemacht hat.“

[...]

„Magie hinterlässt immer Spuren“, sagte Dumbledore, als das Boot mit einem sanften Stoß auf das Ufer aufschlug, „manchmal sehr deutliche Spuren. Ich habe Tom Riddle beigebracht. Ich kenne seinen Stil.“

_{Harry Potter und der Halbblutprinz}

Also hätte er die Methoden, die Voldemort angewendet hätte, um Menschen daran zu hindern, seinen Horkrux zu erreichen, intelligent erraten. In diesem Fall wäre es:

• Die „Boot“-Falle:

  Voldemort unterschätzte die Jugend – er hätte sich nicht um das Gewicht gekümmert, sondern um die Menge an magischer Kraft, die seinen See durchquerte . Harry, der mitgekommen wäre, hätte die Bootsfalle überhaupt nicht ausgelöst.

• Die "Trank"-Falle:

  War er deshalb eingeladen worden – damit er Dumbledore einen Trank zwangsernähren konnte, der ihm unerträgliche Schmerzen bereiten könnte? _{Harry Potter und der Halbblutprinz}

Dumbledore wollte Harry mehr "Erfahrung" im Umgang mit Horkruxen geben

Bis dahin hatte Harry nur Erfahrung mit einem anderen Horkrux: dem Tagebuch. Durch das Abrufen (und möglicherweise Zerstören) eines anderen würde Harry sich sicherer fühlen, dass er in der Lage sein würde, Voldemorts andere Horkruxe zu finden. Wir sehen, dass Harry begeistert ist, das Medaillon Horcrux zu holen:

„Wir haben es geschafft, Professor!“ flüsterte Harry mit Mühe; Plötzlich bemerkte er, dass er einen brennenden Stich in seiner Brust hatte. "Wir haben es geschafft! Wir haben den Horkrux!“

_{Harry Potter und der Halbblutprinz}

(Leider hielt dieses Hochgefühl nicht lange an, aber es gab Harry das Vertrauen, dass Voldemort nicht unaufhaltsam war).

Die Antwort von Olorin ist ganz gut, beantwortet aber nicht wirklich die Frage „warum die Höhle“.

Ja, es stimmt, dass Dumbledore Harry mitgenommen hat, weil er darum gebeten hat. Aber er brachte ihn in die Höhle , weil er sich fast sicher war, dass in dieser Höhle ein Horkrux war:

Und dann erinnerte sich Harry daran, warum er überhaupt so begierig gewesen war, zu Dumbledores Büro zu kommen.
„Du hast einen gefunden? Du hast einen Horkrux gefunden?'
'Ich glaube schon.'
Wut und Groll bekämpften Schock und Aufregung: Harry konnte mehrere Augenblicke lang nicht sprechen.
»Es ist natürlich, Angst zu haben«, sagte Dumbledore.
'Ich habe keine Angst!' sagte Harry sofort, und es war vollkommen wahr; Angst war eine Emotion, die er überhaupt nicht fühlte. „Welcher Horkrux ist das? Wo ist es?'
„Ich bin mir nicht sicher, was es ist – obwohl ich denke, dass wir die Schlange ausschließen können – aber ich glaube, dass sie in einer Höhle versteckt istan der Küste, viele Meilen von hier entfernt, eine Höhle, die ich schon sehr lange zu finden versuche: die Höhle, in der Tom Riddle einst zwei Kinder aus seinem Waisenhaus auf ihrer jährlichen Reise terrorisierte; du erinnerst dich?'
_{Harry Potter und der Halbblutprinz, Kapitel 25 – Der Seher belauscht}

Um deine andere Frage zu beantworten: Ich glaube nicht, dass er erwartet hatte, Harry zu brauchen. Weiter im nächsten Kapitel sagt er etwas, was mich glauben lässt, dass er nicht erwartet hatte, Harry wirklich zu brauchen:

»Der Schutz war … immerhin … gut konstruiert«, sagte Dumbledore schwach. „Einer allein hätte es nicht geschafft … du hast es gut, sehr gut gemacht, Harry …“
_{Harry Potter und der Halbblutprinz, Kapitel 25 – Die Höhle}

Ich denke, Dumbledore wusste, dass er Harry wegen seiner Verbindung zu Voldemort brauchen würde. Harry selbst war ein Horkrux! Magie hat Stile und Dumbledore hat immer gesagt, dass es eine besonders magische Art gibt, Dinge zu tun, die nicht wirklich vollständig beschreibbar sind, wie als Harry es für richtig hielt, dass Ron das Medaillon in Buch sieben zerstören sollte, weil er die größten Probleme hatte, mit der negativen Energie umzugehen des Medaillons! Dinge auf subtile, sinnvolle Art und Weise in magischen Angelegenheiten zu tun! Dumbledore wusste, dass es eine subtile magische Bedeutung haben würde, Harry (Voldemorts gegenüber) zu bringen, und es hat für sie perfekt geklappt ... bis zur Turmszene nach der Höhle ist Dumbledore der Einstein der magischen Welt