Warum ist BB\mathbf{B} ein Pseudovektor?

Es ist ein Pseudovektor, weil es die Kräuselung eines Vektorpotentials ist oder weil seine Kräuselung ein Vektor ist ($\displaystyle{\vec{J}}$,$\displaystyle{\frac{d\vec{E}}{dt}}$).

Oder: Betrachten Sie das Biot-Savart-Gesetz, das es als Integral über das Kreuzprodukt (Pseudo-Vektor) von 2 Vektoren ausdrückt.

Man kann sich auch das Lorentzgesetz anschauen:

$$\vec{F}= q\left(\vec{E} + \vec{v}\times \vec{B}\right)$$

$\vec{B}$muss ein Pseudovektor sein, damit sein Kreuzprodukt mit einem Vektor ein Vektor (Kraft) ist. Eine weitere Betrachtung dieses Gesetzes als das Einzige, was in Bezug auf die Kovarianz in der Speziellen Relativitätstheorie sinnvoll ist, kann ein tieferes Verständnis liefern.

Wie viele Pseudovektoren$\mathbf{B}$wird richtiger (oder vollständiger) als eine Zwei-Form betrachtet. Es ist unten rechts$3\times 3$, schiefsymmetrischer Block (der räumliche Teil) des Faraday-Tensors, stellt also tatsächlich eine gerichtete Ebene dar. Alternativ ist es als äußere Ableitung der Eins-Form des Vektorpotentials eine Zwei-Form. In 3 Dimensionen können wir eine gerichtete Ebene mit einem Vektor gleichsetzen, indem wir letzteren als die Einheit nehmen, die senkrecht zur Ebene steht, mit angemessener, konsistenter Ausrichtung. Die Operation, die diesen "Cheat" (der nur in drei Dimensionen funktioniert) für uns erledigt und uns an Flugzeuge denken lässt, die durch Vektoren definiert sind, ist das Hodge-Dual, das die Multiplikation mit dem Levi-Civita-Tensor beinhaltet$\epsilon$. Es ist das$\epsilon$, und sein Verhalten unter einer Paritätstransformation, die die "Pseudoheiten" von hervorruft$\mathbf{B}$.

Vollständiger ausgeschrieben, die Zuordnung von Vektorpotential zu$\mathbf{B}$Ist$\mathbf{B}=\mathrm{curl}\mathbf{A} = (\star(\mathrm{d}\mathbf{A}_\flat))^\sharp$und ist die Gibbs-Heaviside-Minestrone, die die beiden Operationen mit äußerer Ableitung mischt, gefolgt von Hodge-Dual mit Anheben und Absenken von Indizes, die hineingeworfen werden, um Vektoren in Eins-Formen und wieder zurück zu verschieben, was zeigt, wie$\mathbf{A}\mapsto\nabla\times\mathbf{A}$wartet mit einer getarnten Zweierform auf.$\star$ist hier der "Pseudo"-Täter!

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Wenn Sie eine physische Visualisierung wünschen, warum die$\mathbf{B}$Vektor seinen anomalen Vorzeichenwechsel bei einer falschen Isometrie aufnimmt, kann man es nicht wirklich besser machen als das folgende Diagramm, das dem Wikipedia-Pseudovektor-Artikel entnommen ist .

Überprüfen Sie die Richtung der$\mathbf{B}$Feld von einer Stromschleife, wenn die Schleife einer Reflexion unterzogen wird. Das sieht man also leicht$\mathbf{B}$auf ein Vektorfeld mit entgegengesetzter Richtung zum Spiegelbild-Vektorfeld abbildet.

Tatsächlich ist dieses kleine Bild viel allgemeiner als Magnetfelder und Strom, denn es ist nichts anderes als eine Visualisierung der äußeren Ableitung einer Zweierform; Wir können uns die äußere Ableitung intuitiv als das Integral über eine Differentialform über die Grenze eines infinitesimalen Raumelements vorstellen, dividiert durch die vorzeichenbehaftete Größe der Volumenform für diesen Raum. Wenn dies kompliziert klingt, ist es in zwei Dimensionen nichts anderes, als die Kräuselung eines Vektorfelds als die Zirkulation um eine Schleife geteilt durch die vorzeichenbehaftete Fläche der Schleife zu visualisieren - das Vorzeichen der letzteren dreht sich um, wenn wir eine falsche Isometrie erstellen. Dies ist ein elegantes Beispiel im Einklang mit einer Herangehensweise an die externe Infinitesimalrechnung, die hilfreich sein kann:

Peter Schröder und Keenan Krane, „Discrete Differential Geometry: A Quick and Dirty Introduction to the Geometry of Surfaces“

Im Allgemeinen ist jeder Vektor, den Sie durch ein Kreuzprodukt erhalten, ein Pseudovektor. Denn beim Definieren eines Koordinatensystems haben Sie zwei Möglichkeiten: Sie können ein rechtshändiges oder ein linkshändiges Koordinatensystem definieren. Bei einem rechtshändigen System zeigt der Zeigefinger in die$x$Richtung zeigt der Mittelfinger in die$y$Richtung und der Daumen zeigt in die$z$Richtung.

Dasselbe gilt auch für ein linkshändiges System, aber Sie verwenden stattdessen Ihre linke Hand. Die Definition des Kreuzprodukts lautet:

$$\begin{cases} \mathbf{\hat x} \times \mathbf{\hat y} = \mathbf{\hat z}, \\ \mathbf{\hat y} \times \mathbf{\hat z} = \mathbf{\hat x}, \\ \mathbf{\hat z} \times \mathbf{\hat x} = \mathbf{\hat y}. \end{cases}$$ Wenn Sie nur die erste Zeile alleine betrachten, ist ein Kreuzprodukt von etwas in der$x$Richtung mit etwas in der$y$Richtung wird immer etwas in der ergeben$z$Richtung, egal ob unser System rechts- oder linkshändig ist. Somit,$\mathbf{\hat x} \times \mathbf{\hat y}$in einem rechtshändigen System würde in die entgegengesetzte Richtung zeigen$\mathbf{\hat x} \times \mathbf{\hat y}$in einem linkshändigen System! Aber unsere Wahl des Systems ist völlig willkürlich, und unsere Präferenz für rechtshändige Systeme ist nur darauf zurückzuführen, dass die meisten von uns Rechtshänder sind.

In der Physik hängen einige Vektoren wie Impuls, Beschleunigung usw. nicht von dieser willkürlichen Wahl ab, aber da das Magnetfeld das Ergebnis eines Kreuzprodukts zwischen dem Stromfluss und dem Positionsvektor ist, ist dies offensichtlich der Fall. In diesem Sinne ist er weniger "real" als diese anderen Vektoren, daher der Name "Pseudovektor". Wir hätten stattdessen sicherlich ein linkshändiges System verwenden können, und das Magnetfeld würde die Richtung umkehren, aber das spielt keine Rolle; Wir beobachten keine Magnetfelder, wir beobachten ihre Auswirkungen auf sich bewegende geladene Teilchen. Und da dieser Effekt auch durch ein Kreuzprodukt gegeben ist,

$$\mathbf F = q \mathbf v \times \mathbf B,$$ Solange wir mit unserer Anwendung der Rechts-Links-Hand-Regel konsistent sind, erhalten wir die gleiche Richtung für die Kraft, unabhängig von unserer Wahl der Händigkeit. In diesem Sinne ist die Kraft ein "realerer" Vektor als das Magnetfeld. (Wenn Sie sich mit Rotationsmechanik beschäftigt haben, sind andere Beispiele für Pseudovektoren Drehimpuls und Drehmoment, die beide übrigens aus Kreuzprodukten resultieren.)

Vielleicht ist der beste Weg, darüber nachzudenken$\vec{B}$im Sinne des Biot-Savart-Gesetzes .

Stellen Sie sich eine stromdurchflossene Schleife vor$I$in einer Ebene, die senkrecht zu einem Spiegel steht. Das Biot-Savart-Gesetz besagt, dass das B-Feld an Position ist$\vec{r}$wird von gegeben

$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\, \oint \frac{I\, d\vec{l} \times \vec{r'}}{|\vec{r'}|^2}\ dl,$$ Wo$\vec{r'} = \vec{r}-\vec{l}$ist die Verschiebung von einem Element auf der Schleife zu dem Ort, an dem das Feld berechnet wird.

Dies ist ein axialer Vektor, denn wenn wir uns diese Situation in einem Spiegel ansehen, scheint der Strom in der entgegengesetzten Richtung zu fließen,$\vec{l}$umgekehrt ist und die$\vec{B}$Feld sollte eigentlich in entgegengesetzter Richtung zu seinem Spiegelbild sein. Das heißt, ein tatsächliches Spiegelbild würde so aussehen, als würde es einer Regel für die linke Hand gehorchen, anstatt einer Regel für die rechte Hand.

Dies ist eigentlich genau das Beispiel, das auf der Wikipedia-Seite zu Pseudovektoren verwendet wird, was ein anderer Name für einen axialen Vektor ist.

In diesem Beispiel beides$\vec{l}$Und$\vec{r}$sind Verschiebungen und wahre Vektoren. Ihr Vektorprodukt muss ein axialer Vektor sein.

Sie fragen nach einer Paritätstransformation, aber soweit mir bekannt ist$\vec{B}$durch eine Paritätsinversion unverändert bleibt. Axiale Vektoren ändern ihr Vorzeichen nicht unter Paritätsinversionen. Der Drehimpuls ist ein weiteres Beispiel für einen axialen Vektor, der sich unter einer Paritätsinversion nicht ändert.$\vec{A}$andererseits ist ein echter Vektor und hat sein Vorzeichen durch eine Paritätsinversion umgedreht. Die Kräuselung eines wahren Vektors ist ein axialer Vektor und die Kräuselung eines axialen Vektors ist ein wahrer Vektor. So$\nabla$verhält sich diesbezüglich wie ein echter Vektor$\nabla \rightarrow -\nabla$ist ungerade unter einer Paritätsinversion (weil$\partial/\partial x \rightarrow -\partial/\partial x$usw.)

NB: Aus der älteren direkten Duplikatfrage kopiert, die anscheinend weniger Aufmerksamkeit erhalten hat.