Warum ist der Grundzustand des ferromagnetischen Tetraeders dreifach entartet?

Was man hier beachten muss, sind die diskreten Rotationssymmetrien des Tetraeders. Schreiben wir zum Beispiel den Zustand des Tetraeders als$\mid i_1, i_2, i_3, i_4\rangle$Wo$i_k$ist die Drehung auf der$k^{\textrm{th}}$Scheitel. Der Zustand in der Abbildung, die Sie oben zeigen, kann dann geschrieben werden als$\mid o,i,i,o \rangle$(mit$o$Und$i$was "nach außen zeigend" bzw. "nach innen zeigend" bedeutet).

In Abwesenheit von Anisotropien, die die Rotationssymmetrie brechen, ist der Zustand$\mid i_3, i_1, i_2, i_4\rangle$können vom Staat bezogen werden$\mid i_1, i_2, i_3, i_4\rangle$durch Drehung des Tetraeders um$2\pi/3$um die Achse, die durch den 4. Scheitelpunkt geht ($v_4$) und der Mittelpunkt des Dreiecks$\Delta_{123}$, dh:

$$\mid i,o,i,o \rangle = \hat R_4(2\pi/3) \mid o,i,i,o \rangle$$

Wo$\hat R_i (\theta)$ist der Operator für Drehungen um$\theta$um die$i^\textrm{th}$Achse.

alternativ können Sie auch erhalten$\mid i,o,i,o \rangle$B. durch eine Spiegelung an der durchgehenden Achse$v_3$und die Kante halbieren ($e_{12}$) zwischen$v_1$Und$v_2$:

$$\mid i,o,i,o \rangle = \hat S_{123} \mid o,i,i,o \rangle$$

Wo$\hat S_{ijk}$ist der Erzeuger von Reflexionen durch die durchgehende Achse$v_k$und die Kante halbieren ($e_{ij}$). Ebenso haben wir:

$$\mid i,i,o,o \rangle = \hat R_4(4\pi/3) \mid o,i,i,o \rangle$$

Bezüglich dieser diskreten Symmetrien sind die von Ihnen erwähnten sechs Zustände also nicht unabhängig. Wir müssen geeignete lineare Kombinationen dieser Zustände nehmen, um einen Satz unabhängiger Basisvektoren zu erhalten, die unter der Wirkung dieser Symmetrien unveränderlich sind. Wenn Sie dies richtig machen, reduzieren sich die sechs Zustände auf drei Zustände:

$$\mid \Psi_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\mid v_1, v_2, v_3, v_4\rangle + \mid v_3, v_1, v_2, v_4\rangle + \mid v_2, v_3, v_1, v_4\rangle \right)$$

und ebenso für$\mid \Psi_3 \rangle$Und$\mid \Psi_2 \rangle$. Es gibt nur drei solcher Zustände und nicht vier (wir haben vier Dreiecke), weil der vierte Zustand (in diesem Fall$\mid \Psi_1 \rangle$) kann als lineare Summe der anderen drei geschrieben werden!

                        Cheers,

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Bearbeiten : Nach einem Vorschlag von @bruce möchte ich das nur jeweils klarstellen$\mid \Psi_i \rangle$ist nur unter der Wirkung der Permutationsgruppe auf das Dreieck dual (entgegengesetzt) ​​zum Scheitelpunkt invariant$v_i$. Dies ist eine Untergruppe der vollen Symmetriegruppe des Tetraeders.

Es nervt mich auch, dass die Beschreibung des Dreiecksgitters in der geometrischen Frustration

Der dritte Spin kann seine Wechselwirkungen mit den beiden anderen nicht gleichzeitig minimieren. Der Grundzustand ist also zweifach entartet.

Innerhalb aller acht Zustände, mit Ausnahme von allen oben und allen unten, sollte der Grundzustand sechsfach entartet sein, anstatt zweifach. Ich vermute, dass hier etwas nicht stimmt.

Im Allgemeinen ist es ungewöhnlich, die Rotationssymmetrie eines Gitters zu berücksichtigen, da die Zählung nicht groß skaliert werden kann$N$. Ich denke also, dass sie die folgende Symmetrie berücksichtigen können:

$$s_i \rightarrow -s_i$$

Wenn Sie den Hamilton-Operator eines antiferromagnetischen Ising-Modells oder Heisenberg-Modells betrachten:

$$H=J\sum_{i,j}\mathbf{s}_{i}\cdot\mathbf{s}_{j}$$ Dieser Hamiltonoperator ist unter obiger Symmetrie invariant, also jeder Zustand $\{s_i\}$hat den entsprechenden Zustand $\{-s_i\}$. Diese Symmetrie sollte der entsprechen $i\leftrightarrow o$Umkehrung in Ihrer Zählung.

Hier ist ein Grund, warum die obige Symmetrie berücksichtigt wird. Betrachtet man die Magnetisierung eines Systems:

$$M=\sum_i s_i$$ Aufgrund der obigen Symmetrie ist der Ensemblemittelwert dieses Werts jedoch immer 0 für alle Spinmodelle ohne externes Magnetfeld. Eine Abhilfe für diese Situation besteht darin, ein kleines externes Magnetfeld hinzuzufügen, um die Symmetrie zu brechen. Ein anderer betrachtet möglicherweise nur die Hälfte des Ensembles unter der Symmetrie ...