Warum muss das elektrische Dipolmoment (EDM) des Elektrons immer auf den Spin ausgerichtet sein?

Wie in den Kommentaren erläutert, liegt dies am Wigner-Eckart-Theorem . Das ist ein bisschen schwer zu verstehen, aber was es wirklich sagt, ist, dass, wenn Sie ein quantenmechanisches System mit wohldefinierten Richtungseigenschaften haben (in dem Sinne, dass es sich in einem Zustand mit einem wohldefinierten Drehimpuls befindet ) und Sie untersuchen die Eigenschaften eines Observablen, das eine Art Richtungsabhängigkeit aufweist (wie beispielsweise ein vektorwertiger Operator wie das elektrische Dipolmoment), dann gibt es einige strenge Einschränkungen hinsichtlich der Ausrichtung des Observablen und des Ausrichtung des Staates interagieren können.

Das ist ungefähr das Beste, was ich zusammenfassen kann, ohne sofort technischer zu werden. Nachdem ich also ein bisschen mit der Hand gewunken habe und das Einzige, was ich tun kann, technisch zu werden, werde ich das wohl tun.

Genauer gesagt, um das Wigner-Eckart-Theorem zu verwenden, benötigen Sie:

• ein System im Drehimpulszustand$|\ell m\rangle$, Und
• eine Observable, die sich "wie ein Kugeltensor transformiert", dh eine Menge von$2k+1$beobachtbar$T_{-k}^{(k)}$,$T_{-k+1}^{(k)}$,$\ldots$,$T_{k-1}^{(k)}$,$T_{k}^{(k)}$, deren Menge linearer Transformationen unter räumlichen Rotationen abgeschlossen ist und die unter Rotation denselben Regeln folgen wie die sphärischen Harmonischen$Y_{kq}$.
  • Ein explizites Beispiel hilft: Vektoroperatoren passen zu dieser Rechnung, mit$k=1$, indem man es einstellt$T_{0}^{(1)}=v_z$Und$T_{\pm1}^{(1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(v_x\pm i v_y)$(bis zu einem Schild).

Sobald Sie das haben, schreibt das Theorem vor, dass der erwartete Wert Ihres Operators in diesem Zustand

$$\langle \ell m'|T_{q}^{(k)}|\ell m\rangle,$$ (möglicherweise einschließlich eines Übergangs zu einer anderen Ausrichtung$m'$), wird aufgeteilt in

• ein "bedeutungsvoller" Teil, bezeichnet mit$\langle \ell ||T^{(k)} ||\ell \rangle$, die davon abhängt, in welcher Repräsentation der Zustand und das Beobachtbare leben, also auf$\ell$Und$k$, nicht aber auf die konkrete "Orientierung", also auf das konkrete Bauteil$q$des Observable, nach dem Sie fragen, oder der Orientierung$m$des Zustands, und der alle wahren dynamischen Informationen über den Erwartungswert trägt; Und
• ein Faktor, der die gesamte Abhängigkeit von der Orientierung kodiert$m$Und$m'$und auf der Wahl der Komponente des Observablen$q$, bekannt als Clebsch-Gordan-Koeffizient und bezeichnet$\langle \ell m' kq|\ell m\rangle$, aber ohne zu wissen was$T$eigentlich ist.

Wenn Sie das alles für Ihren Betreiber zusammenfassen$T_{q}^{(k)}$, es liest sich wie die Gleichung

$$\langle \ell m'|T_{q}^{(k)}|\ell m\rangle = \langle \ell m' kq|\ell m\rangle \: \langle \ell ||T^{(k)} ||\ell \rangle .$$ Spezialisieren wir das also auf einen Vektoroperator$v$, wie ein elektrisches Dipolmoment, für ein Spin-1/2-Teilchen, gebend $$\langle \tfrac12 m'|v_q|\tfrac12 m\rangle = \langle \tfrac12 m' 1q|\tfrac12 m\rangle \: \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle ,$$ und vergleichen wir das damit, wie sich der Drehimpuls in diesem Zusammenhang verhält: $$\langle \tfrac12 m'|S_q|\tfrac12 m\rangle = \langle \tfrac12 m' 1q|\tfrac12 m\rangle \: \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle ,$$ Wo$\langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle$ist eine numerische Konstante.

Damit haben wir jetzt genug Werkzeuge, um die Behauptung so anzugehen, wie Sie sie aufgestellt haben:

das elektronenelektrische Dipolmoment (EDM) muss kollinear mit dem Spin sein.

Was das wirklich bedeutet, ist, dass unser Vektoroperator in Bezug auf die Orientierung so gut wie nicht vom Spin zu unterscheiden ist, dh

$$\langle \tfrac12 m'|v_q|\tfrac12 m\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle } \langle \tfrac12 m'|S_q|\tfrac12 m\rangle .$$ Oder Multiplizieren mit den Basisvektoren$\hat{\mathbf e}_q$und summieren$q$, können wir den Vektorcharakter unserer Gleichung wiederherstellen: $$\langle \tfrac12 m'|\mathbf v|\tfrac12 m\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 ||v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 ||S||\tfrac12 \rangle } \langle \tfrac12 m'|\mathbf S|\tfrac12 m\rangle ,$$ was vereinfacht zu $$\mathbf v = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \mathbf S$$ als Operatorgleichheit, da die betrachteten Matrixelemente eine Basis für den Raum aufspannen. Und das bringt in einen gewissen Kontext, was mit der Behauptung gemeint ist: Formal gesehen sind sie nicht "parallel" als solche, aber für alle messbaren Matrixelemente, auf die es ankommt, und für alle möglichen Komponenten (oder linearen Kombinationen von Komponenten), die beiden Operatoren ergeben das gleiche Ergebnis modulo einer multiplikativen Konstante. Da dies eine ungefähr so ​​starke Aussage zur Parallelität ist, wie Sie sie in der Quantenmechanik über zwei Vektoroperatoren machen können (die im Allgemeinen nicht einmal kommutieren), nehmen wir das einfach so, wie es ist, und behalten die Behauptung in ihrer vereinfachten Form bei. was leichter zu merken ist.

---

Abgesehen davon gibt es jedoch noch mehr zu sagen, ohne allzu technisch zu werden, zumindest im üblichen Fall von Spin-$1/2$Systeme, und zwar ohne das Wigner-Eckart-Theorem überhaupt zu zitieren. Betrachten Sie insbesondere die folgende Beobachtung:

Für eine Spritz-$1/2$System in einem beliebigen reinen Zustand$|\psi\rangle$, es gibt immer eine Richtung$\hat{\mathbf n} \propto \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$so dass der Staat$|\psi\rangle$ein Eigenzustand der Spinkomponente ist$S_{\hat{\mathbf n}}={\mathbf S}\cdot\hat{\mathbf n}$entlang dieser Richtung, mit Eigenwert$+1/2$.

Dies lässt sich relativ einfach über eine Vielzahl von Routen zeigen, aber der wichtigste Teil ist, dass es für jeden höheren Spin falsch ist. (Als Beispiel die$m=0$von einem Spin-$1$System wird nie ein sein$m=+1$Eigenzustand einer beliebigen anderen Achsenorientierung und eines beliebigen Zustands$a|m=1\rangle+b|m=-1\rangle$mit ungleichen Gewichten ungleich Null$|a|\neq |b|\neq 0$ist ausgeschlossen, ein Eigenzustand irgendeiner Komponente des Spins des Systems zu sein.)

Darüber hinaus hat diese Beobachtung einige direkte Konsequenzen:

• Der Staat$|\psi\rangle$ist also rotationsinvariant um die Achse$\hat{\mathbf n}$.
• Das bedeutet, dass die beiden Komponenten von${\mathbf S}$orthogonal zu$\hat{\mathbf n}$müssen verschwindende Erwartungswerte haben, sonst würden sie die Rotationsinvarianz brechen.
• Dasselbe gilt für jeden Vektoroperator$\mathbf v$.

Mit anderen Worten, das reicht aus, um darauf zu schließen

$$\langle\psi| \mathbf v |\psi\rangle \propto \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$$ für alle Staaten$|\psi\rangle$, und tatsächlich können wir weiter gehen und schlussfolgern, dass die Proportionalität konstant ist$K$in dieser Beziehung muss unabhängig sein$|\psi\rangle$, weil alle Zustände (in spin$1/2$) sind durch eine Drehung der Koordinatenachsen unitär äquivalent. Wenn wir eine bequeme Notation für diese Proportionalitätskonstante eingeben, erhalten wir das $$\langle\psi| \mathbf v |\psi\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \langle\psi| \mathbf S |\psi\rangle$$ für alle Staaten$|\psi\rangle$.

Nun, das reicht nicht ganz aus, um darauf zu schließen$\mathbf v\propto \mathbf S$als Operatoren, wie wir im rigorosen Wigner-Eckart-Abschnitt oben festgestellt haben, aber die vollständige Operatoridentifikation ist nicht so weit entfernt: Um sie zu erhalten, müssen Sie einfach so vorgehen wie mit den Polarisationsidentitäten und die mehreren Gleichungen berücksichtigen, die Sie erhalten, wenn Sie ersetzen$|\psi\rangle$mit einem anderen willkürlichen Zustand$|\phi\rangle$sowie mit den verschiedenen Überlagerungen$|\psi\rangle \pm |\phi\rangle$Und$|\psi\rangle \pm i|\phi\rangle$, und Sie werden genug Gleichungen erhalten, um darauf zu schließen

$$\langle\phi| \mathbf v |\psi\rangle = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \langle\phi| \mathbf S |\psi\rangle$$ für alle Staaten$|\psi\rangle$Und$|\phi\rangle$, und damit das $$\mathbf v = \frac{ \langle \tfrac12 || v ||\tfrac12 \rangle }{ \langle \tfrac12 || S ||\tfrac12 \rangle } \mathbf S$$ als Operatoren auf diesem Spin-$1/2$Leerzeichen, wodurch diese zweite Version des Beweises vervollständigt wird.

Also: Ist dieser Beweis besser? Es ist sicherlich so rigoros wie das von Wigner-Eckart (oder es kann so gemacht werden), aber es schreibt sich nicht wirklich in einen größeren Rahmen ein und deutet darauf hin, dass das Ergebnis auf den Spin beschränkt ist$1/2$wenn das Wigner-Eckart-Argument viel allgemeiner ist. Es gibt also ein gewisses Spiel auf beiden Seiten, und beide Argumente sind es wert, verstanden und untersucht zu werden.