Warum ist die Definition der Trägheitsmasse kreisförmig? [Duplikat]

Verlässt man sich auf Newtons zweites Gesetz, stellt sich die Definition der Masse als zirkulär bzw. sehr kompliziert heraus, da darin auch der Begriff der (undefinierten) Kraft auftaucht. Ein besserer Ansatz besteht darin, von der experimentellen Tatsache auszugehen , dass der Impuls erhalten bleibt . In einem sehr theoretischen Bild kann man sich wie folgt verhalten. Sie haben eine Reihe von Körpern und wissen bereits, dass es einen Referenzrahmen gibt$I$so dass

alle diese Körper bewegen sich gleichzeitig mit konstanter Geschwindigkeit darin, wenn sie genügend weit voneinander entfernt sind (und genügend weit von den anderen Körpern im Universum entfernt sind).

Dieses Bezugssystem wird Inertial genannt . Seine Existenz ist das erste Postulat von Newtons Mechanik, das hier in einer moderneren Sicht neu formuliert wird.

In Ruhe bleiben$I$, eine weitere physikalische Tatsache ist die folgende. Es ist möglich, jedem Körper eine strikt positive reelle Zahl zuzuordnen$m$so dass, wenn zwei Körper nahe genug beieinander liegen, ihre Bewegung eine Beschleunigung zeigt$I$, es stellt sich heraus, dass

$$m_1 \mathbf{v}_1(t) + m_2 \mathbf{v}_2(t) = \mathbf{\textrm{constant}} \tag{1}\:.$$

für jeden$t\in \mathbb R$und für jeden Wert von$\mathbf{v}_j(t)$-- die nicht konstant sind -- die erreichten Geschwindigkeiten in$I$während der Interaktion von Körpern.

Es stellt sich auch heraus, dass (in der klassischen Physik)

(A)$m_i$hängt nur von der ab$i$-ten Körper und nicht auf dem anderen Körper, sagen die$j$-ten, der mit dem ersteren interagiert.

(b) Wenn eine Anzahl von Körpern mit Massen$m_1,\ldots, m_N$bilden einen einzigartigen größeren Körper mit Masse$M$, Dann$M= m_1+\ldots + m_N$.

Es ist erwähnenswert, dass (1) theoretisch ausgenutzt werden kann, um den Wert von Massen in Bezug auf die Masse eines gegebenen Referenzkörpers zu messen, der als Einheit verwendet wird$m_1=1$. Wir messen die Geschwindigkeiten dieses Bezugskörpers und des anderen Körpers zu zwei verschiedenen Zeitpunkten

$$\mathbf{v}_1(t) + m_2 \mathbf{v}_2(t) = \mathbf{v}_1(t') + m_2 \mathbf{v}_2(t') \tag{2}$$ und somit $$\mathbf{v}_1(t) - \mathbf{v}_1(t') = m_2 (\mathbf{v}_2(t') - \mathbf{v}_2(t)) \:.$$ als $\mathbf{v}_2(t') - \mathbf{v}_2(t) \neq \mathbf{0}$für eine Auswahl an $t$Und $t'$(weil die Körper durch Hypothesen beschleunigen) gibt es höchstens eine Konstante $m_2$befriedigend (2). Die Tatsache, dass es existiert, ist eigentlich sehr überraschend!

Ich denke jedoch, dass diese beiden Antworten kreisförmig sind, da Newton keine Masse abgeleitet hat$m$in Sachen Kraft$F$, leitete er ab$F$bezüglich$m$.

Newtons 2. Gesetz lässt sich nicht „ableiten$F$bezüglich$m$“; es gibt an, ob eine Kraft auf den Körper einwirkt$\mathbf F$, Masse des Körpers$m$und Beschleunigung des Körpers$\mathbf a$unabhängig bestimmt werden , gehorchen sie immer der Relation

$$\mathbf F=km\mathbf a.$$

Wo$k$ist eine Zahl, die von der Wahl der Einheiten abhängt, aber ansonsten in allen Situationen konstant ist. Später wurde die Einheit der Kraft – Newton – definiert, um dies zu vereinfachen

$$\mathbf F=m\mathbf a.$$

Keine der drei Größen ist durch den 2. Hauptsatz definiert, denn das würde bedeuten, dass es kein Gesetz gibt, sondern nur eine Definition.

Die träge Masse$m_{inertial}$wird jedoch durch die Gleichung definiert

$$\mathbf F = m_{inertial} \mathbf a.$$

$m_{inertial}$ist nach dieser Definition nicht unbedingt konstant; es ist möglich, dass sich die Werte abhängig von ändern$\mathbf F,\mathbf a$oder andere Dinge. Für ausreichend niedrige Geschwindigkeiten$m_{inertial}$ist proportional zu$m$.

Aber jetzt, wenn ich wieder daran denke, frage ich mich, wie er "Masse" berechnet hat. Um experimentell festzustellen, dass der Impuls erhalten bleibt, muss er die Werte der Masse kennen$m$. Und selbst wenn er eine Waage oder eine Waage benutzte, wie konnte er rechnen$m$aus$F$, sogar wenn$F$ist noch nicht definiert?

Um die Masse zu bestimmen, muss man weder die Definition noch den Wert der Kraft kennen. Es ist möglich, die Masse eines Körpers als die Zahl zu bestimmen, die die Menge an Materie im Körper in Bezug auf eine Standardmenge an Materie quantifiziert. Zum Beispiel hat ein Körper aus 2 Sandtaschen die Masse 2 in Einheiten von Sandtaschen. Oder man kann die Masse basierend auf der Verformung einer Wiegefeder messen.

Meine Antwort lehnt sich an die von Jan Lalinsky an. Es ist nicht wirklich klar, was der historische Status der Gewalt in Bezug auf die Masse ist$m$eines Objekts im zweiten Hauptsatz. Einige sagen, es sei tautologisch und andere, es sei kontingent.

Glücklicherweise brauchen wir diese Frage hier nicht zu beantworten, um einen Einblick zu bekommen, was Newton möglicherweise im Sinn hatte, als er über Massen sprach.

Zunächst müssen wir anerkennen, dass Newton große Anstrengungen unternommen hat, um seine 3 grundlegenden Axiome (jetzt als Newtonsche Gesetze bezeichnet) konsistent und geschlossen zu machen.

Es ist auch wichtig zu verstehen, wie ich zu zeigen versuchen werde, dass Newtons Synthese Erkenntnisse sowohl aus dynamischen Beobachtungen (z. B. von Galileo und Descartes) als auch aus statischen Beobachtungen zusammenstellte, die tatsächlich seit Ewigkeiten nur zum Zwecke des Handels durchgeführt wurden von Waren, Architektur etc...

Wenn Sie das zweite Gesetz aus der englischen Übersetzung seiner Principia lesen , heißt es im Wesentlichen:

Gesetz 2: Die Veränderung der Bewegung ist immer proportional zu der eingeprägten Bewegungskraft; und wird in Richtung der rechten Linie gemacht, in die diese Kraft eingeprägt wird

dh in einem Trägheitsbezugssystem (das einzige System, in dem der Begriff "aufgeprägte Antriebskraft" nach Newton Sinn macht) haben wir$a \propto F$. Zu diesem Zeitpunkt natürlich auch nicht$F$noch der Proportionalitätsfaktor bekannt sind; aber wenn eines bekannt wird, folgt das andere.

Ich denke, nichts in den 3 Newtonschen Gesetzen zwingt den Proportionalitätsfaktor wirklich dazu, genau die Masse zu sein, wie wir sie kennen. Tatsächlich müssen wir, wie Jan Lalinsky feststellte, den Vorfaktor nur "träge Masse" nennen.$m_I$und die Kombination der 3 Newtonschen Gesetze ergibt, dass der Bewegungszustand des (Trägheits-)Massenmittelpunkts jedes Punktesystems ohne äußere Kräfte einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit folgt (was der Erhaltung der Gesamtheit entspricht). linearer Impuls ... und dies gilt unabhängig von den Abständen zwischen den Punkten im System).

Einen solchen Vorschlag hatte beispielsweise schon Descartes gemacht, aber er hatte postuliert, dass die träge Masse dem Volumen des Körpers entsprechen würde, da die Naturgesetze nur mit Raum und Zeit erklärbar sein sollten. Dies stellte sich als falsch heraus und ein neues Grundkonzept musste ins Spiel kommen.

Um dies zu sehen, können wir einfach anerkennen, dass die Erde über eine nach unten gerichtete Antriebskraft namens Gewicht und mit einem Symbol an einem Objekt zieht$W$.

Unter der Annahme, dass der terrestrische Rahmen träge ist, können wir darauf schließen$m_I a = W$.

Nun können wir wie Newton Galileos Beobachtung anwenden

Sofern die Luftreibung vernachlässigt werden kann, werden alle Körper von einem terrestrischen Bezug aus betrachtet$T$fallen mit der gleichen konstanten Beschleunigung der Größenordnung$g$Richtung Boden

Die einzig mögliche Schlussfolgerung ist die$W = m_I g$, Wo$g$ist für alle Körper gleich.

Es besteht also ein direkter Zusammenhang zwischen dem Gewicht eines Objekts und seiner trägen Masse. Dies ermöglicht es, relative Massen über Statikexperimente unter Berufung auf das 2. Newtonsche Gesetz zu messen, und so werden Massen auch heute noch gemessen.

Mir scheint es unmöglich, im Newtonschen Kontext über Massen zu sprechen, ohne Statik und Gravitation zu zitieren. Man kann es tun, wie ich es oben getan habe, indem man sich auf die praktische Beobachtung von Galilei stützt oder indem man ein zusätzliches universelles Gesetz postuliert; Genau das tat Newton mit seinem universellen Gravitationsgesetz.

Das ist wichtig, weil die Synthese des großen Newton praktisch nur Sinn macht, wenn seine drei Gesetze mit seinem universellen Gravitationsgesetz kombiniert werden. Tatsächlich versuchte er versuchsweise zu zeigen, dass, wenn die schwere Masse eines Objekts nicht proportional zu seiner trägen Masse wäre, die Selbstkonsistenz seiner Theorie verloren gehen würde.