Warum ist die Gruppengeschwindigkeit einer Plasma-EM-Welle hier nicht gleich der Phasengeschwindigkeit?

Für Plasma-EM-Wellen haben wir die Dispersionsbeziehung

$$\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2$$ wo die Plasmafrequenz $$\omega_p^2=\frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e}$$ Das kann man zeigen $v_p v_g=c^2$, dh das Produkt aus Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten ist die Lichtgeschwindigkeit im Quadrat (siehe Bearbeitung unten).

Die kritische Dichte ist wann

$$\omega^2=\frac{n_{crit} e^2}{\epsilon_0 m_e}$$ $$\Rightarrow \frac{\omega_p}{\omega}=\sqrt{\frac{n_e}{n_{crit}}}$$ Dann Eintauchen in die Dispersionsrelation $$\omega^2=\frac{n_e}{n_{crit}}\omega^2+c^2k^2$$ $$\Rightarrow \omega^2(1-\frac{n_e}{n_{crit}})=c^2k^2$$ $$\Rightarrow v_p=\frac{\omega}{k}=c \left(1-\frac{n_e}{n_{crit}}\right)^{-1/2}$$ ist die Phasengeschwindigkeit. Die Gruppengeschwindigkeit ist $\frac{d\omega}{dk}$, so könnte man erwarten $v_g=v_p$hier als $\omega$scheint linear zu sein $k$. Aber mit $v_g=c^2/v_p$, wir bekommen $$v_g=c\left(1-\frac{n_e}{n_{crit}}\right)^{1/2}$$ stattdessen. Warum ist also die Gruppengeschwindigkeit nicht gleich der Phasengeschwindigkeit?

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Nur um das zu zeigen$v_p v_g=c^2$

$$\omega=\left(\omega_p^2+c^2 k^2\right)^{1/2}$$ $$\Rightarrow \frac{\omega}{k}=\left(\frac{\omega_p^2}{k^2}+c^2\right)^{1/2}$$ $$\frac{d\omega}{dk}=\frac{1}{2}\left(\omega_p^2+c^2 k^2\right)^{-1/2}2c^2 k$$ $$=c^2\left(\frac{\omega_p^2}{k^2}+c^2\right)^{-1/2}$$ Daher $\frac{\omega}{k}\frac{d\omega}{dk}=c^2$