Warum müssen wir zwei Kugeln mit entgegengesetzter Ladung betrachten?

Um den Widerstand zu berechnen, müssen wir den Strom zwischen den Kugeln kennen, wenn sie eine bestimmte Spannung haben. Aber wenn wir den beiden Kugeln genau die gleiche Ladung geben würden, wären die Spannungsdifferenz und der Strom aus Symmetriegründen beide Null, also hilft das nicht.

Nehmen wir nun an, die Kugeln haben Ladung$q_1$Und$q_2$. Da der Elektromagnetismus linear ist, können wir dieselbe Ladung hinzufügen$-(q_1+q_2)/2$zu beiden Kugeln, ohne den Strom oder die Spannung zu beeinflussen. Dann haben die Kugeln gleiche und entgegengesetzte Ladungen.

Kurz gesagt, es ist keine Voraussetzung, aber jede Abweichung von gleichen und entgegengesetzten Ladungen trägt nichts zu dem Problem bei. Wir können die Ladungen immer genau gleich und entgegengesetzt machen, ohne die Situation zu ändern, und wir tun dies, weil die Symmetrie die Mathematik ein wenig einfacher macht.

Ich gehe davon aus, dass das leitende Medium den gesamten Raum ausfüllt (und eine vernachlässigbare elektrische Suszeptibilität aufweist). Das Problem mit unausgeglichenen Ladungen besteht in diesem Fall darin, dass dies zu einem Nettostromfluss ins Unendliche führen würde. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass das elektrische Feld jeder Ladungskonfiguration in eine Potenzreihe geschrieben werden kann$1/r$als

$$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{Q_\text{tot}}{r^2} \hat{r} + \frac{1}{r^3} \left( 3 \vec{p} \cdot \hat{r} - \vec{p} \right) + \dots \right],$$ Wo $Q_\text{tot}$ist die Gesamtgebühr der Konfiguration, und $\vec{p}$ist sein Dipolmoment. (Die Terme höherer Ordnung entsprechen den Feldern des Quadrupols, Oktupols usw.) Wenn der gesamte Raum mit einem ohmschen Medium gefüllt ist, dann ist die resultierende Stromdichte im Raum gegeben durch $\vec{J} = \vec{E}/\rho$, und der Strom, der durch eine große Kugel mit Radius fließt $R$wird sein $$\begin{multline} I_R = \oint \vec{J} \cdot d \vec{a} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \rho} \iint \left[ \frac{Q_\text{tot}}{R^2} \hat{r} + \frac{1}{R^3} \left( 3 \vec{p} \cdot \hat{r} - \vec{p} \right) + \dots \right] \cdot (R^2 \, d \Omega \hat{r}) \\ = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \rho} \iint \left[ Q_\text{tot} + \frac{2}{R} \vec{p} \cdot \hat{r} + \dots \right] \, d \Omega \end{multline}$$ In der Grenze als $R \to \infty$, verschwindet jeder Term außer dem ersten. Eine Nettoladung in der Ladungskonfiguration führt jedoch zu einem endlichen "Leck" der Ladung ins Unendliche mit einer Größenordnung von $I_\infty = Q/\epsilon_0 \rho$.

Die kurze Antwort auf "Warum müssen wir bei diesem Problem von gleicher und entgegengesetzter Ladung ausgehen" lautet also, dass wir uns für den Stromfluss zwischen den Kugeln interessieren, da dies den zwischen ihnen gemessenen Widerstand bestimmt. Wenn wir verlangen, dass es keine Nettoladung auf den Kugeln gibt, dann erhalten wir keinen Nettostromabfluss von den Kugeln; Insbesondere bedeutet dies, dass "Strom in" zu einer der Sphären dasselbe ist wie "Strom aus" in die andere, und dass diese beiden Zahlen gleich sind, ist in jeder vernünftigen Definition von Widerstand implizit enthalten.