Warum sind Asteroiden mit einer Bahnneigung von Null selten?

Kurze Antwort: Die Knappheit von Asteroiden mit einer Neigung nahe Null ist eher ein erwartetes Ergebnis normalverteilter Neigungen in 3 Dimensionen um den Normalenvektor zur Referenzebene als eine Selektionsverzerrung oder eine "Räumung" der Umlaufbahn um eine Neigung von Null Grad.

Lange Antwort: Die Orbitalneigung wird typischerweise als der Winkel zwischen einer Referenzebene und der Orbitalebene definiert:

Eine äquivalente Definition ist der Winkel zwischen einer Bezugsebenennormalen und der Rotationsachse des hier eingeblendeten umlaufenden Körpers:

Beachten Sie, dass die Rotationsachse einem Punkt auf der Himmelskugel zugeordnet werden kann. Mit der von-Mises-Fischer-Verteilung können wir eine Gaußsche Verteilung von Punkten auf der Einheitskugel erzeugen, die mit dem Mittelwert an der Bezugsnormalen zentriert ist . Der spezifische Algorithmus zum Generieren von Abtastpunkten ist auf Stack Overflow angegeben .

Hier ist eine Gruppe von 20 Schnittpunkten der Rotationsachse mit ihren entsprechenden Kreisbahnen:

Wir können tausend Punkte auf einer Einheitskugel erzeugen und darstellen (die ich drehe, um die Struktur zu zeigen):

Beachten Sie, dass nur die obersten Punkte dieser Verteilung Neigungswinkeln von nahezu null entsprechen. Mit zunehmender Neigung werden die Punkte weniger dicht, aber die Flächen auf der Einheitskugel werden größer. Das untere Diagramm blickt von oberhalb des Nordpols nach unten, wobei die Umlaufbahnen mit einer Neigung von weniger als 2 Grad rot und die Umlaufbahnen mit Neigungen zwischen 2 und 4 Grad grün gefärbt sind. Beachten Sie, dass, obwohl die Punkte am Pol am dichtesten sind, die abgedeckte Fläche am kleinsten ist, also sind 13 Punkte rot, während 50 Punkte grün sind. Dies ist die Erklärung dafür, warum wir nur sehr wenige Asteroidenumlaufbahnen mit Neigungen von weniger als 1/2 Grad von der ursprünglichen Frage sehen.

Unten ist ein Diagramm mit der y-Achse als Neigung und der x-Achse als Länge im Vergleich zum Post des OP. Ich habe eine viel zu große Standardabweichung gewählt, aber der 1000-Punkte-Monte-Carlo zeigt den gleichen statistischen Effekt, nach dem das OP gefragt hat.

Anmerkungen:

1. Das obige Beispiel gilt aus Gründen der Bequemlichkeit für kreisförmige Ellipsen, die alle dieselbe SMA haben, aber ich glaube nicht, dass wir an Allgemeingültigkeit verlieren.

2. Ich gehe davon aus, dass die Referenzebene in dem vom OP verwendeten Bild die Ekliptik der Erde ist, aber die obige Antwort funktioniert für die Äquatorialebene der Sonne oder die Orbitalebene von Jupiter oder jede andere enge Referenzebene. Wir können davon ausgehen, dass der 2D-Mittelwert der Neigungsverteilung des Asteroiden tatsächlich ein wenig von der Normalen der Bezugsebene versetzt sein wird.

3. Die Orbitalmechanik kann sehr unintuitiv sein. Die Neigung ist ein 1D-Wert, aber ihre repräsentative zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich am besten auf einer 2D-Kugeloberfläche in 3D modellieren.

4. Es ist etwas ironisch, dass ich behaupte, dass dies ein rein mathematisches Problem ist, aber der obige Beitrag enthält keine Gleichungen. Die Stärke des Monte-Carlo-Ansatzes liegt in seiner Einfachheit und dem daraus resultierenden Appell an die mathematische Intuition.

5. Statistiker/Probabilisten sollten die Verteilung der Bahnneigungen sofort als Variante der Rayleigh-Verteilung erkennen , was einen Hinweis darauf geben sollte, dass eine Kompression von 2D-Variablen auf 1D-Größen stattgefunden hat.

6. Mein Matlab-Code ist auf Anfrage erhältlich.

Bei sphärischen Polarkoordinaten ist eine der verwendeten Koordinaten ein Winkel zwischen der Richtung zu einem Punkt im Raum und einem "Pol". Dieser „Pol“ sei der Nordpol der Ekliptik und der Winkel Neigung$i$(dh die Neigung ist der Winkel zwischen der Richtung, in die die Orbitalachse zeigt, und dem Nordpol der Ekliptik).

Wenn viele Asteroidenbahnen zufällig im Raum orientiert wären, dann wäre die Anzahl der Bahnen in einem bestimmten Intervall Neigungswinkel$di$, wäre proportional zu der Fläche auf einer Kugel, die von diesem Bereich von Neigungswinkeln abgedeckt wird. Dieser Bereich$dA$wird von gegeben

Die Tatsache, dass die meisten Asteroiden haben$i<16^\circ$sagt Ihnen, dass sie sehr stark auf Umlaufbahnen in der Ekliptikebene konzentriert sind, aber das Fehlen von Objekten mit$i<0.5^\circ$ist denke ich nur auf den oben diskutierten Faktor zurückzuführen. Tatsächlich ist es leicht zu zeigen , dass nur 0,002 % eines gleichmäßig verteilten Satzes von Bahnneigungen hätte$0 < i < 0.5^\circ$. Auch wenn wir stattdessen (und vielleicht realistischer) alle Asteroiden einschränken müssten$0< i <16^{\circ}$, dann hätten davon nur 0,09 %$0<i<0.5^\circ$.

Sicherlich sollte man planen$1 - \cos i$auf der y-Achse, denn wenn die Umlaufbahnen von Asteroiden gleichmäßig verteilt wären, würde die Verwendung dieser Koordinate gleiche Zahlen für gleiche Intervalle auf der y-Achse ergeben. Damit ließen sich echte physikalische Effekte leicht von rein mathematischen Konsequenzen des gewählten Koordinatensystems unterscheiden.

Ich werde vorschlagen, dass es trivial verstanden werden kann.

Was wäre die Neigungsverteilung von zufällig in drei Dimensionen verteilten Kreisen um einen bestimmten Punkt? Wir könnten sie erzeugen, indem wir die Normalen zu ihren Umlaufebenen gleichmäßig auf einer Einheitskugel verteilen und die Mittelebene oder die durch definierte Ebene nennen$\theta=\pi/2$die Ekliptik. Bahnen mit Neigung$i=0$werden ihre Normalen nach "oben" zeigen ($\theta=0$) und jene, die den "falschen Weg" mit umkreisen$i=\pi$wird ebenfalls haben ($\theta=\pi$).

Dann haben wir$dn/d\theta = \sin(\theta)$die für Bahnen nahe der Ekliptik Null ist und zunächst linear ansteigt.

Der Abfall bei 10-15 Grad liegt daran, dass das Sonnensystem nicht zufällig ist, sondern sowohl eine Kreatur als auch eine Erzeugung von Drehimpuls ist.

Wenn Sie diese Daten nehmen und alles zurück auf die Neigungsachse projizieren, sage ich voraus, dass Sie einen ungefähr linearen Anstieg von Null sehen werden. Wenn es eine Totzone sehr nahe bei Null gibt, liegt das daran, dass die Planeten um einige Grad geneigt sind und dazu neigen, Dinge durcheinander zu bringen.