Warum sind Bündel in der Physik intuitiv so wichtig?

Die gesamte Physik hat zwei Aspekte: einen lokalen oder sogar unendlich kleinen Aspekt und einen globalen Aspekt. Ein Großteil der Standardlehre befasst sich nur mit den lokalen und infinitesimalen Aspekten – die störenden Aspekte_ und Faserbündel spielen dort nur eine geringe Rolle. Aber sie sind die überaus wichtige Struktur, die den globalen – den nicht störenden – Aspekt bestimmt. Bündel sind die globale Struktur physikalischer Felder und sie sind nur für die grobe lokale und störende Beschreibung der Realität irrelevant.

Zum Beispiel sind die Eichfelder in der Yang-Mills-Theorie, also in EM, in QED und in QCD, also im Standardmodell des bekannten Universums, nicht wirklich nur die lokalen 1-Formen$A_\mu^a$aus so vielen Lehrbüchern bekannt, aber es handelt sich tatsächlich um globale Verbindungen zu Hauptbündeln (oder ihren zugehörigen Bündeln), und dies ist äußerst wichtig, sobald man zur nicht-perturbativen Yang-Mills-Theorie übergeht, also zur vollständigen Geschichte, anstatt zu ihrer infinitesimalen oder lokalen Annäherung.

Insbesondere das, was im Allgemeinen als Yang-Mills-Instanton und insbesondere als QCD-Instanton bezeichnet wird, ist nichts anderes als die zugrunde liegende nichttriviale Klasse des Hauptbündels, das dem Yang-Mills- Eichfeld zugrunde liegt . Genauer gesagt, wofür Physiker die Instanton-Zahl nennen$SU(2)$- Eichtheorie in 4 Dimensionen ist genau das, was mathematisch die zweite Chern-Klasse genannt wird, eine " charakteristische Klasse " dieser Eichbündel_

• YM Instanton = Klasse des Hauptbündels, das dem nicht-perturbativen Eichfeld zugrunde liegt

Um die größte Relevanz davon zu würdigen, beachten Sie, dass das störungsfreie Vakuum der beobachtbaren Welt ein "Meer von Instantonen" mit etwa einem YM-Instanton pro Femtometer zum 4. ist. Siehe zum Beispiel die ersten Abschnitte von

• T. Schaefer, E. Shuryak, Instantons in QCD , Rev.Mod.Phys.70:323-426, 1998 ( arXiv:hep-ph/9610451 )

für eine Überprüfung dieser Tatsache. Die Substanz der physischen Welt, das Vakuum, in dem wir leben, wird also vollständig von nicht trivialen Faserbündeln kontrolliert und ist ohne diese unerklärlich.

In ähnlicher Weise kontrollieren Faserbündel alle anderen topologisch nicht trivialen Aspekte der Physik. Zum Beispiel sind die meisten Quantenanomalien die Aussage, dass das, was wie eine Wirkungsfunktion aussieht , die in das Pfadintegral eingespeist wird, global gesehen wirklich der Abschnitt eines nicht-trivialen Bündels ist – insbesondere eines Pfaffschen Linienbündels , das aus den fermionischen Pfadintegralen resultiert . Außerdem sind alle klassischen Anomalien Aussagen über die Nichttrivialisierbarkeit bestimmter Faserbündel.

Wie die Diskussion dort zeigt, dreht sich bei der Quantisierung als solcher, wenn sie nicht störungsfrei durchgeführt wird, alles darum, Differenzformdaten in Linienbündeldaten zu heben. Dies wird als Präquanten-Linienbündel bezeichnet , das über jedem global quantisierbaren Phasenraum existiert und alle davon kontrolliert Quantentheorie. Sie spiegelt sich in vielen zentralen Erweiterungen wider , die die Quantenphysik beherrschen, wie die zentrale Erweiterung der Heisenberg-Gruppe der Hamiltonschen Übersetzung und allgemein und entscheidend die Quantomorphismus-Gruppezentrale Erweiterung der Hamiltonschen Diffeomorphismen des Phasenraums. Alle diese zentralen Erweiterungen sind nicht-triviale Faserbündel, und das „Quantum“ in „Quantisierung“ ist weitgehend ein Hinweis auf die diskreten (quantisierten) Eigenschaftsklassen dieser Bündel. Man kann Quantisierung tatsächlich als solche verstehen als die Erhebung infinitesimaler klassischer Differentialformdaten zu globalen Bündeldaten. Dies wird ausführlich unter Quantisierung – Motivation aus klassischer Mechanik und Lie-Theorie beschrieben .

Aber eigentlich reicht die Rolle der Faserbündel noch ein gutes Stück tiefer. Die Quantisierung ist nur ein gewisser Erweiterungsschritt in der allgemeinen Geschichte, aber bereits die klassische Feldtheorie kann ohne den Begriff des Bündels nicht global verstanden werden. Insbesondere die Formalisierung dessen, was ein klassisches Feld wirklich ist, sagt: ein Abschnitt eines Feldbündels . Die globale Natur von Spinoren, also Spinstrukturen und ihre subtile Wirkung auf die Fermionenphysik, werden alle durch die entsprechenden Spinorbündel verdeutlicht .

Tatsächlich kommen in der Theorie der Eichfelder zwei Aspekte von Bündeln in der Physik zusammen und verbinden sich zu höheren Faserbündeln : Wir haben nämlich oben gesehen, dass ein Eichfeld selbst schon ein Bündel (mit einer Verbindung) ist, und daher das Bündel, von dem a Spurweite ist ein Abschnitt muss ein "Bündel zweiter Ordnung" sein. Dies wird Gerbe oder 2-Bündel genannt : Die einzige Möglichkeit, das Yang-Mühlen-Feld sowohl lokal als auch global genau zu erkennen, besteht darin, es als Abschnitt eines Bündels zu betrachten, dessen typische Faser ist$\mathbf{B}G$, der Modulstapel von$G$- Hauptpakete. Mehr dazu im nLab unter Die traditionelle Vorstellung von Feldbündeln und ihre Probleme .

All dies wird noch deutlicher, wenn man tiefer in die lokale Quantenfeldtheorie eintaucht, wobei die Lokalität wie im Kobordismus-Theorem formalisiert wird, das lokale topologische Feldtheorien klassifiziert. Dann sind bereits die Lagrange-Operatoren und lokalen Aktionsfunktionale selbst höhere Verbindungen auf höheren Bündeln über den höheren Moduli-Stapel von Feldern. Zum Beispiel zeigt die vollständig lokale Formulierung der Chern-Simons-Theorie das Chern-Simons-Wirkungsfunktional – mit all seiner korrekt realisierten globalen Eichinvarianz – als ein universelles Chern-Simons-Kreis-3-Bündel . Dies ist so, dass es durch Überschreiten zu einer niedrigeren Kodimension die gesamte globale Eichstruktur dieser Feldtheorie reproduziert, wie etwa in Kodimension 2 dieWZW-Gerbe (selbst ein Faser-2-Bündel: das Untergrund-Eichfeld des WZW-Modells!), in Kodimension 1 das Präquantenlinienbündel auf dem Modulraum von Verbindungen, dessen Abschnitte wiederum das Hitchin-Bündel konformer Blöcke auf dem Modulraum von ergeben konforme Kurven.

Und so weiter und so fort. Kurz gesagt: Alle globale Struktur in der Feldtheorie wird von Faserbündeln gesteuert, und umso mehr ist die Feldtheorie Quanten- und Eich-. Der einzige Grund, warum dies bis zu einem gewissen Grad ignoriert werden kann, liegt darin, dass die Feldtheorie ein komplexes Thema ist und vielleicht die Mehrheit der Diskussionen darüber wirklich nur einen kleinen, kleinen störenden lokalen Aspekt davon betrifft. Aber das ist nicht die Realität. Das QCD-Vakuum, das wir bewohnen, ist mit einem Meer nichttrivialer Bündel gefüllt, und die gesamte Quantenstruktur der Naturgesetze ist im Kern bündeltheoretisch. Siehe auch unter geometrische Quantisierung .

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Eine erweiterte Version dieses Textes mit weiteren Hinweisen finden Sie im nLab unter Faserbündel in der Physik .

Lassen Sie mich zunächst Ihre zweite Frage zur physikalischen Intuition hinter Faserbündeln beantworten: Faserbündel (mit kompakten Strukturgruppen) beschreiben innere Freiheitsgrade wie Spin und Isospin, ebenso wie Mannigfaltigkeiten translatorische Freiheitsgrade beschreiben. Zum Beispiel (ein nicht triviales Faserbündel wird benötigt, um die Rotation eines neutralen rotierenden Teilchens in einem Magnetfeld zu beschreiben).

Der (historische) Hauptgrund dafür, dass Faserbündel in der Physik als unverzichtbar angesehen werden, ist, dass sie globale Eigenschaften von Eichfeldern beschreiben. Solitonenlösungen wie Instantonen und Monopole werden nach charakteristischen Klassen von Faserbündeln klassifiziert. Diese Lösungen sind nicht nur in der klassischen Feldtheorie wichtig, sondern wegen der Dominanz der klassischen Lösungen im Pfadintegral auch in der Quantenfeldtheorie. Bitte beachten Sie zum Beispiel die folgende Übersicht von L. Boi (insbesondere Tabelle 10.1, das sogenannte Wu-Yang-Wörterbuch, das die Terminologie zwischen Eichfeld und Faserbündel erklärt).

Ein Eichfeld, das eine Verbindung auf einem Faserbündel ist, wird nur lokal als Lie-Algebra-bewertete Eins-Form beschrieben. Obwohl diese Darstellung in der Formulierung der verschiedenen Aktionsfunktionale in der Quantenfeldtheorie verwendet wird, muss man immer bedenken, dass diese Formulierung nur lokal ist. Dies ist eine Art Kurzschreibweise, ähnlich der Verwendung von Koordinaten bei der Beschreibung von Teilchenaktionen auf Mannigfaltigkeiten, wobei man weiß, dass diese Beschreibung nur lokal auf einer Karte ist und man immer bedenken muss, dass diese Beschreibung nur lokal ist.

Nun, diese topologisch nicht trivialen Lösungen werden im Standardmodell der Teilchenphysik (noch?) nicht beobachtet, jedoch, wie einer der Begründer der Quantentheorie der Eichfelder (Roman Jackiw) feststellt , diese Effekte und ihre Folgen wie Spinfraktionierung bereits im Labor in kondensierten Materiesystemen beobachtet.

Dies ist jedoch nicht die ganze Geschichte, denn die Theorie der Faserbündel hat über die Yang-Mills-Theorie hinaus eine Vielzahl von Anwendungen in der Physik gefunden:

Erstens tauchen sie in geometrischen Gravitationstheorien auf (Rahmenbündel, Spinverbindungen). Tatsächlich kann ein Dirac-Feld ohne die Einführung von Faserbündeln nicht an die Schwerkraft gekoppelt werden.

Bei der geometrischen Quantisierung sind die physikalischen Zustände Abschnitte von Linienbündeln.

Anomalien können als Behinderungen der Existenz globaler Abschnitte in Determinantenbündeln (bezogen auf WZW-Begriffe) formuliert werden.

Fermionen auf gekrümmten Räumen werden durch Abschnitte von Spinorbündeln beschrieben.

Modulräume flacher Verbindungen definieren quantisierbare Mannigfaltigkeiten mit einer sehr interessanten Quantentheorie. Diese flachen Verbindungen sind die klassischen Lösungen der Chern-Simons-Theorien.

Beerenphasen beschreiben Holonomien von Verbindungen auf Faserbündeln.

Higgs-Felder werden durch Abschnitte von Vektorbündeln beschrieben.

Faserbündel sind in der Beschreibung klassischer flexibler Systeme notwendig, dies ist bekannt aus "The gauge theory of the fallend cat" von Richard Montgomery .

Die Geometrie der Raumzeit (Hintergrund) enthält viele Informationen über ein bestimmtes System, aber nicht alle Informationen. Die darin nicht enthaltenen Informationen sind die „internen“ Informationen. Symmetrien sind Transformationen, die keine neuen Informationen über das System liefern, daher sind sie die Transformationen, die die Gleichungen invariant lassen

Die Physik wird in Form von Feldern über einen gewissen Domänenraum beschrieben. Der Domänenraum ist normalerweise etwas sehr Geometrisches. Die externen Symmetrien sind Symmetrien im Domänenraum, der für eine relativistische Theorie die Minkowski-Raumzeit ist.

Eine Symmetrie des Systems wird in Bezug auf Variationen dieser Felder untersucht. Lassen$\mathcal{F}(M,\mathcal{A})=\{\Phi^\alpha\}_{\alpha\in I}$sei der Satz von Feldern aus dem Domänenraum$M$und Reichweite$\mathcal{A}$. Bei Quantenfeldern der Reichweitenraum$\mathcal{A}$ist der Raum aller Operatoren über einem relevanten Hilbert-Raum. Eine externe Variation ist eine Variation in der Domäne$M$des Feldes. Wenn$\Phi\in \mathcal{F}$ist ein Feld. Eine externe Variation des Feldes$\Phi$ist von der Form,

$$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\textbf{x}+\delta \textbf{x})$$ Lassen $\Gamma$sei eine Lie-Gruppe externer Symmetrien. Seine Aktion auf den Feldern wird durch die Vertretung der Gruppe vorgegeben $\Gamma$auf einem relevanten Hilbertraum. Wenn $\textbf{x}\to\Lambda \textbf{x}$eine Symmetrietransformation des Domänenraums ist, dann ist die Wirkung der entsprechenden Transformation auf die Felder gegeben durch $$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\Lambda \textbf{x})$$ Wenn die Verwandlung $\Lambda$hängt von der Domäne ab, dann wird es als lokale Transformation bezeichnet, da die Variation von der Lokalität abhängt. Wenn es nicht von der Lokalität abhängt, wird die Transformation als globale Transformation bezeichnet. Transformationen des Feldes, die das Feld variieren und den Domänenraum unverändert lassen, sind die internen Variationen. Eine interne Variation ist eine Variation im Bereichsraum $\mathcal{A}$. Für ein Feld $\Phi\in F$eine interne Variation ist von der Form, $$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\textbf{x})+(\delta\Phi)(\textbf{x})$$ Vermuten $\mathcal{G}$ist die Lie-Gruppe der internen Symmetrien mit ihrer Wirkung auf den Bereichsraum $\mathcal{A}$gegeben von $r\to U\cdot r$. Dann durch Vermietung $r=\Phi(\textbf{x})\in \mathcal{A}$die entsprechende Aktion der Gruppe $\mathcal{G}$auf den Feldern ist gegeben durch, $$\Phi(\textbf{x})\mapsto U \cdot\Phi(\textbf{x})$$ Wenn die Gruppe von Transformationen von $\mathcal{F}$nicht von den Punkten in der Domäne abhängt, dann wird die Gruppe die globale Gruppe der zugeordneten internen Symmetrien genannt $\mathcal{G}$. Wenn die Gruppe vom Standort oder den Punkten der Domäne abhängt $M$sie werden eine lokale Gruppe interner Symmetrien genannt.

Der Zweck einer Eichtheorie besteht darin, eine solche Situation zu geometrisieren. Wir müssen die Lie-Gruppe lokaler interner Symmetrien so in die Theorie integrieren, dass man jedem Punkt im Domänenraum ein Element der Lie-Gruppe zuordnet. Um eine Eichsymmetriegruppe mit der Hintergrund-Raumzeit zu integrieren, wird eine größere Elternmannigfaltigkeit eingeführt. Dieser übergeordnete Verteiler enthält Informationen sowohl über die Messgerätegruppe als auch über den Hintergrund. Ein solches geometrisches Konstrukt ist das Hauptbündel. Daher ist die mathematische Eichtheorie das Studium der Hauptbündel.

Ich habe festgestellt, dass Faserbündel eine nützliche Möglichkeit sind, sich jede hintergrundabhängige Theorie der Quantengravitation vorzustellen. Solche Bilder können helfen, ein mathematisches Argument auf seine Essenz zu reduzieren, wenn das Verstehen wirklich beginnt.

ein einfaches Beispiel könnte n = 1 Supersymmetrie sein, hier haben wir die Superspace-Gruppentransformation;

$$G({x^\mu },\xi ,\bar \xi ) = \exp i(\xi Q + \bar \xi \bar Q - {x^\mu }{P_\mu }) % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4raiaacI % cacaWG4bWaaWbaaSqabeaacqaH8oqBaaGccaGGSaGaeqOVdGNaaiil % aiqbe67a4zaaraGaaiykaiabg2da9iGacwgacaGG4bGaaiiCaiaadM % gacaGGOaGaeqOVdGNaamyuaiabgUcaRiqbe67a4zaaraGabmyuayaa % raGaeyOeI0IaamiEamaaCaaaleqabaGaeqiVd0gaaOGaamiuamaaBa % aaleaacqaH8oqBaeqaaOGaaiykaaaa!5307!$$ mit $${x^\mu } % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCa % aaleqabaGaeqiVd0gaaaaa!38D6!$$ ein Punkt in (lokal) flacher Raumzeit. ein bild davon ist ein faserraum von grssmann-variablen wie ein halm, der am raumzeitpunkt wurzelt.