Warum spricht man in der Strömungsmechanik überhaupt nicht vom Drehimpuls?

Wir müssen nicht über den Drehimpuls sprechen, weil das Erhaltungsgesetz durch Vorticity zusammengefasst wird. Betrachten Sie die Vorticity-Gleichung (auch im Zusammenhang mit einem rotierenden Rahmen):

Eine Flüssigkeit wird als Vektorfeld modelliert und daher verwenden wir Vorticity, um ihre Drehbewegung zu beschreiben. Der Drehimpuls wird häufiger für ein einzelnes Objekt oder Teilchen verwendet, aber nicht so oft für ein Vektorfeld (obwohl er im Prinzip immer noch anwendbar ist). Für eine Flüssigkeit im Allgemeinen ist die Vorticity doppelt so groß wie die mittlere Winkelgeschwindigkeit, und diese Tatsache macht sie für mich als Größe bei der Modellierung von Flüssigkeiten weniger nützlich.

Der Gesamtdrehimpuls eines Kontinuums ist die Vektorsumme der Nettodrehimpulse der Teilchen, aus denen es besteht. Der Nettodrehimpuls eines Teilchens erklärt seinen Spin sowie seine Translationsbewegung um den Punkt, um den der Drehimpuls berechnet werden soll (Impulsmoment).

Vorticity ist eine kinematische Größe, die (die Hälfte) der Winkelgeschwindigkeit eines Punktes relativ zu einem anderen Punkt im selben Kontinuum misst. Infolgedessen ist die Vorticity-Gleichung wie eine Aussage über die Erhaltung des Moments des Impulses.

Der Drehimpuls, der dem Spin jedes Teilchens entspricht, wird jedoch in den meisten Fällen der Kontinuumsbehandlung als 0 angenommen. Diese Annahme folgt der zufälligen Verteilung molekularer Drehimpulse (eher aller Vektorgrößen) innerhalb des Kontinuums. Sehr eng verwandt mit der Annahme der kinetischen Gastheorie.

Es gibt einen Aufsatz von Berdahl und Strang, der das heikle (und oft oberflächlich abgetane) Problem der Diffusion des Drehimpulses in der Naiver-Stokes-Gleichung, des Spannungstensors und seiner Symmetrien mit dem Titel: The Behavior of a Vorticity-Influenced Asymmetric Stress diskutiert Tensor im Flüssigkeitsfluss. Hier ist ein Link: http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a181244.pdf .

Stellen Sie sich ein inkompressibles, isotropes, Newtonsches, viskoses Fluid vor, das wirklich kontinuierlich ist (dh es besteht nicht aus diskreten Partikeln mit einer Rotationsträgheit ungleich Null) in einer großen zylindrischen Trommel (mit Randbedingungen mit vollem Schlupf im flüssigen Zustand) und anfänglich fest gefroren. Drehen Sie die Trommel mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit entlang ihrer zentralen z-Achse, dann sprengen Sie den Festkörper zum Zeitpunkt t = 0 mit einem Strahlungsstoß, der ihn sofort in seinen flüssigen Zustand schmilzt und ihn auf eine willkürlich hohe Temperatur erhöht, die räumlich gleichmäßig ist . Die Anfangsbedingung für diese Strömung ist eine Scherdehnungsrate von Null – aber überall eine konstante Wirbelstärke, die der doppelten Rotationsgeschwindigkeit entspricht.

Die Rotationsbewegung stoppt die Diffusion entlang radialer Linien nicht auf magische Weise. Da die Geschwindigkeit in Theta-Richtung bei r + dr größer ist als bei r, wird diese Geschwindigkeit in Theta-Richtung zunächst radial nach innen diffundieren und „das Band bei r + dr“ wird ein viskoses Drehmoment auf „das Band bei r“ ausüben “ und bewirken, dass es eine Winkelbeschleunigung in Theta-Richtung erfährt. Der Drehimpuls bleibt erhalten, da er anfänglich radial nach innen diffundiert – nicht weil der Spannungstensor symmetrisch ist.

Tatsächlich würde ein symmetrischer Spannungstensor bedeuten, dass z. B. bei einer Scherströmung v = (Cz,0,0) nicht nur eine Schubspannung in positiver x-Richtung auf die xy-Ebene ausgeübt würde, sondern auch eine Scherspannung auf der zy-Ebene in positiver z-Richtung - ohne dass dafür ein physikalischer Mechanismus verantwortlich wäre.

Da es sich um eine wirklich kontinuierliche Flüssigkeit handelt, führt die nach innen gerichtete Diffusion des Drehimpulses zu einer unendlichen Winkelgeschwindigkeit bei r = 0 für t > 0. Grob skaliert das viskose Drehmoment auf einem zylindrischen Volumenelement zunächst als r-Quadrat und ist gleich dem Rotationsträgheit des axial zentrierten Fluidelements (das als Dichte mal r hoch 4 skaliert) multipliziert mit der Winkelbeschleunigung, die dann als 1/r-Quadrat explodieren muss. Wenn eine solche Flüssigkeit in der physischen Welt erzeugt werden könnte, würde die Winkelgeschwindigkeit tatsächlich am Ursprung explodieren und dieses Modell wäre dann richtig.

In der realen Welt bestehen Flüssigkeiten jedoch aus Partikeln mit Radien ungleich Null und Rotationsträgheiten ungleich Null, die verhindern, dass viskose Drehmomente unendliche Winkelgeschwindigkeiten erzeugen (es gibt eine zusätzliche Längenskala, die ebenfalls relevant ist – die durchschnittliche Interpartikel Distanz…). Erwägen Sie, die obige Flüssigkeit durch Radonatome zu ersetzen. Derselbe anfängliche Geschwindigkeitsgradient würde bewirken, dass die Radonkugeln einen durchschnittlichen Spin annehmen. Wenn diese Atome kollidieren, würden diese Spins dann auf Null zurückgemittelt und indirekt einen Übergang des Drehimpulses der Flüssigkeit nach innen vermitteln. Wenn die Relaxationsrate (von intrinsischem zu extrinsischem Drehimpuls) ausreichend hoch ist, kann man davonkommen, den extrinsischen Spannungstensor zu symmetrieren, wodurch die lästigen Unendlichkeiten vermieden werden und der intrinsische Spannungstensor die Entwicklung des Flüssigkeitsflusses indirekt approximieren kann.

Die kontinuierliche Relaxation der Spins bei der reinen Scherströmung trägt indirekt auch zur zusätzlichen senkrechten Schubspannung bei – was das oben erwähnte Paradoxon auflöst.

Der Drehimpuls ist ungefähr ein fester Punkt (Sie entscheiden es), der für jeden Flüssigkeitsklumpen in der Domäne gleich ist. Vorticity ist (1/2) der Drehimpuls der Flüssigkeit um den EIGENEN Schwerpunkt JEDES Flüssigkeitsklumpens.

Aus diesem Grund hat ein potentieller Wirbel keine Vorticity (außer am Ursprung). Aber viel Drehimpuls an jedem Punkt in der Strömung (insbesondere um die offensichtliche Achse des Wirbelzentrums, aber auch um jede andere Achse).

Sie sind verwandt, aber definitiv nicht gleich (oder nur um den Faktor 1/2). Vorticity ist nützlicher. In der Physik ist Nützlichkeit immer die letzte Antwort. Ingenieure verwenden Drehimpuls-Steuervolumengleichungen (wenn sie nützlich sind, z. B. bei Turbinenproblemen). Ein Bachelor-Buch über technische Flüssigkeiten (beliebig) wird im Kontrollbandkapitel einen Abschnitt über die Drehimpulsgleichungen haben.