Was passiert mit einem rotierenden Stab, der in zwei Teile zerbricht?

Ich kenne die Näherung für das Trägheitsmoment eines unendlich dünnen Massenstabes$m$und Länge$L$sich um eine Achse senkrecht zu seiner eigenen Achse in seinem Zentrum dreht$\frac{mL^2}{3}$:

Was passiert, wenn dieser Stab sofort in der Mitte gebrochen wird, ohne dass Energie verloren oder gewonnen wird? Anstelle eines externen Ereignisses, das den Bruch auslöst, stellen Sie sich eine Art Riegel vor, der es zuvor zusammengehalten hat und jetzt einfach gelöst wird. Leichter vorzutäuschen als jedenfalls ein unendlich dünner Stab mit Masse.

Ich würde gerne wissen, wie ich die Bewegung (ohne Schwerkraft) der beiden Hälften bestimmen soll. Angenommen, ich betrachte die Szene direkt von oben (in der gleichen Richtung wie die Rotationsachse), die Stange dreht sich aus dieser Perspektive im Uhrzeigersinn (Blick von unten, im Bild oben) und das Ereignis tritt ein, wenn die Stange vertikal ist aus dieser Sicht ausgerichtet. Basierend darauf gehe ich von einem Koordinatensystem aus: Der Stab drehte sich in der xy-Ebene mit seinem Mittelpunkt im Ursprung. Die Rotationsachse ist die positive z-Achse. Meine Kamera zeigt von einer Position aus in die positive z-Achse$(0,0,-z)$.

Die obere Hälfte der Stange bewegt sich nach rechts. Sein Massenmittelpunkt befindet sich in seinem Mittelpunkt, der sich in Position befindet$(0,\frac{L}{4},0)$bei$t=0$. Die untere Hälfte bewegt sich symmetrisch nach links.

Wie groß sind ihre Winkelgeschwindigkeiten? Drehen sie sich schneller oder langsamer oder mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Originalrute?

Die Länge hat sich halbiert, was bedeutet, dass das Trägheitsmoment geviertelt wurde. Aber die Erhaltung des Drehimpulses besagt, dass jeder Stab die Hälfte der Rotationsenergie trägt (ist dies die korrekte Anwendung der Erhaltung des Drehimpulses? Gibt es so etwas wie die Erhaltung der kinetischen Rotationsenergie?) Wird ein Teil der ursprünglichen kinetischen Drehenergie jetzt zwischen der Resultierenden aufgeteilt winklige kinetische Energie und lineare kinetische Energie? Es scheint so, weil die ursprüngliche Stange null lineare kinetische Energie (und Impuls) hatte, aber nach dem Bruch haben die Teile jetzt beide lineare kinetische Energie, da sie auseinander fliegen.

An diesem Punkt bin ich mir fast sicher, dass ich zur Lösung für die Trennung stolpern kann, die genau in der Mitte passiert. Wie könnten sich die Dinge ändern, wenn die Teilung beispielsweise 1/10 des Weges entlang der Rute beträgt? Sicherlich würde das kleine Stück viel schneller abgehen, aber würde es sich auch mit der gleichen Geschwindigkeit drehen?