Warum taucht der Faktor 1/21/21/2 im Majorana-Massen-Lagrange auf?

Der wahre Grund ist im Folgenden. Nehmen wir an, das Majorana-Feld:

$$\Psi_{M} = \Psi_{L} + \hat{C}\bar{\Psi}^{T}_{L}, \quad \hat{C} = i\gamma_{2}\gamma_{0}, \quad \Psi_{L} = \begin{pmatrix} \psi_{L} \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Durch die Verwendung dieser Notation ist es nicht schwer zu erkennen, dass der kinetische Term gleich ist $$\bar{\Psi}_{M}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{M} = 2\bar{\Psi}_{L}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L},$$ während $$\bar{\Psi}_{M}\Psi_{M} = \Psi^{T}_{L}\hat{C}\Psi_{L} + h.c.$$ Also wenn wir anfangen wollen $\Psi_{L}$, nicht von $\Psi_{M}$, müssen wir Lagrange in eine Form schreiben $$L = 2\bar{\Psi}_{L}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} - m (\Psi^{T}_{L}\hat{C}\Psi_{L} + h.c.),$$ oder im Formular $$L = \bar{\Psi}_{L}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} - \frac{m}{2} (\Psi^{T}_{L}\hat{C}\Psi_{L} + h.c.).$$

Die kurze Antwort auf Ihre Frage ist, dass der Gesamtfaktor$\frac{1}{2}$aus dem Lagrange eines Majorana-Feldes (in der 4-Komponenten-Notation)

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi -m\bar{\psi}\psi)$$

im Vergleich zum allgemeinen Dirac-Lagrangian ist für selbstkonjugierte Felder üblich und wird eingeführt, um eine konsistente Normalisierung der Feldoperatoren in der QFT zu gewährleisten.