Neutrinomasse mit Dirac und Majorana

Majorana- und Dirac-Gleichungen werden normalerweise als zwei verschiedene und sich gegenseitig ausschließende Gleichungen betrachtet. Beide können jedoch als Spezialfälle der allgemeineren Gleichung betrachtet werden.

Beginnen wir mit der Dirac-Gleichung, die in Form von "links" ($\xi$) und rechts" ($\dot\eta$) Spinorkomponenten:

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 & {\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ {\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 \end{array} \right]\left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] =-im\left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 & -{\partial{}}_1+i{\partial{}}_2 \\ -{\partial{}}_1-{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] =-im\left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] \end{array} \end{equation}$$

Die Majorana-Gleichung hat die gleiche Form wie die Dirac-Gleichung, jedoch mit zusätzlicher Bedingung (auch als Majorana-Bedingung oder Neutralitätsbedingung bekannt ):

$$\begin{equation} \begin{array}{c} {\eta{}}_{\dot{1}} = \overline{{\xi{}}^2} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} = - \ \overline{{\xi{}}^1} \end{array} \ \ \ \ \begin{array}{c} {\xi{}}^1 = - \ \overline{{\eta{}}_{\dot{2}}}\\ {\xi{}}^2 = \overline{{\eta{}}_{\dot{1}}} \end{array} \end{equation}$$ Wenn wir dies in die Dirac-Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 & {\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ {\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ cc} \overline{{\xi{}}^2} \\ -\overline{{\xi{}}^1} \end{array}\right]=-im\left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] \\\\ \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 & -{\partial{}}_1+i{\partial{}}_2 \\ -{\partial{}}_1-{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right]=-im\left[\begin{array}{cc} \overline{{\xi{}}^2} \\ -\overline{{\xi{}}^1} \end{array}\right] \end{array} \end{equation}$$

Daher macht die Majorana-Bedingung beide Paare der Dirac-Gleichung äquivalent, sodass nur ein unabhängiges Paar übrig bleibt.

Lassen Sie uns nun die allgemeinere Gleichung einführen, indem wir die Massenterme in der Dirac-Gleichung durch die "Massenmatrix" ersetzen.$M$:

$$\begin{equation} M=\ \left[\begin{array}{cc} M_1^1 & M_2^1 \\ M_1^2 & M_2^2 \end{array}\right] \end{equation}$$

und es ist eine komplexe konjugierte Matrix$\dot{M}$

$$\begin{equation} \dot{M}=\ \left[\begin{array}{ cc} \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{1}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{1}} \\ \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{2}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{2}} \end{array}\right] \end{equation}$$ Die modifizierte Gleichung hat die Form:

$$\begin{equation} \begin{array}{c} \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 & {\partial{}}_1-i{\partial{}}_2 \\ {\partial{}}_1+{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 \end{array} \right]\left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ cc} M_1^1 & M_2^1 \\ M_1^2 & M_2^2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{cc} {\partial{}}_0-{\partial{}}_3 & -{\partial{}}_1+i{\partial{}}_2 \\ -{\partial{}}_1-{i\partial{}}_2 & {\partial{}}_0+{\partial{}}_3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\xi{}}^1 \\ {\xi{}}^2 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ cc} \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{1}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{1}} \\ \dot{M}_{\dot{1}}^{\dot{2}} & \dot{M}_{\dot{2}}^{\dot{2}} \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} {\eta{}}_{\dot{1}} \\ {\eta{}}_{\dot{2}} \end{array}\right] \end{array} \end{equation}$$

Wenn wir diesen "linken" Spinor benötigen$\xi$ist ein Eigenvektor der Matrix$M$, und "rechter" Spinor$\dot \eta$ist ein Eigenvektor der Matrix$\dot M$, die beide dem gleichen Eigenwert entsprechen$(-im)$

$$\begin{equation} \begin{array}{c} M\xi = -im\xi \\ \\ \dot M \dot{\eta} = -im \dot{\eta} \end{array} \end{equation}$$

wir reproduzieren wieder die Struktur der Dirac-Gleichung.

Nun hängt die "Art" der Gleichung (dh Dirac, Majorana oder Weyl) nur noch von der speziellen Wahl der Matrix ab$M$.

Zum Beispiel, wenn wir wählen$M$als

$$\begin{equation} M=\left[ \begin{array}{cc} 0 & m \\ -m & 0 \end{array}\right] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dot{M}=\left[ \begin{array}{cc} 0 & m \\ -m & 0 \end{array}\right] \end{equation}$$

die dem Eigenwert entsprechenden Eigenvektoren$(-im)$wird sein:

$$\begin{equation} \begin{array}{cc} \xi_D = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right]\phi(x) & \dot\eta_D = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -i \end{array}\right]\phi(x) & \end{array} \end{equation}$$

wie es bei Dirac-Fermionen sein sollte (siehe zB Peskin & Schroeder, Kapitel 3.3).

Alternativ können wir wählen$M$als

$$\begin{equation} M=\left[ \begin{array}{cc} im & 0 \\ 0 & -im \end{array}\right] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dot{M}=\left[ \begin{array}{cc} -im & 0 \\ 0 & im \end{array}\right] \end{equation}$$

und die dem Eigenwert entsprechenden Eigenvektoren$(-im)$wird sein:

$$\begin{equation} \begin{array}{cc} \xi_M = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right]\phi(x) & \dot\eta_M = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right]\phi(x) & \end{array} \end{equation}$$

Es ist einfach, diese Spinoren zu überprüfen$\xi_M$Und${\dot\eta}_M$ erfüllen automatisch die Majorana-Bedingung.

Die allgemeinste Form der "Massenmatrix"$M$ist wie folgt:

$$\begin{equation} M=\ \left[\begin{array}{ cc} M_1^1 & M_2^1 \\ M_1^2 & {-M}_1^1 \end{array}\right]=\ F^k{\sigma{}}_k=\left[\begin{array}{ cc} F^3 & F^1-iF^2 \\ F^1+iF^2 & -F^3 \end{array}\right], \ \ \ \ k=1,2,3 \end{equation}$$

und seine Eigenwerte sind

$$\begin{equation} {\lambda{}}_{\pm{}}=\ \pm{}\sqrt{{\left(F^1\right)}^2+{\left(F^2\right)}^2+{\left(F^3\right)}^2} \end{equation}$$

Die Matrix$M$gehört zur Lie-Algebra der Gruppe$SL(2,C)$.

Um die Lorentz-Invarianz der Gleichung zu bewahren, werden die Komponenten der Massenmatrix$F^k$sind erforderlich, um wie Vektor zu transformieren$E^k-iB^k$, Wo$E^k$Und$B^k$sind Bestandteile der elektrischen und magnetischen Feldstärken. In diesem Fall die Eigenwerte der Matrix$M$sind invariant bezüglich Lorentz-Transformationen, und die Gleichung selbst ist Lorentz-invariant.

Weitere Verallgemeinerung der Gleichung (durch Zulassen$M$nicht konstante, sondern variable Matrix zu sein) führen zu dem Modell , das den Ursprung von Masse und Ladung in der Elektrodynamik erklärt.