Warum versuchen nichtstarre Körper, ihr Trägheitsmoment zu erhöhen?

Dies geschieht bei einem isolierten rotierenden System, das kein starrer Körper ist.

Innerhalb eines solchen Körpers (z. B. einer Stahlkette im freien Fall) bewegen sich die Teile relativ zueinander und es entsteht eine innere Reibung, die die kinetische Energie des Systems dissipiert, während der Drehimpuls erhalten bleibt. Die Dissipation setzt sich fort, bis die Teile aufhören, sich relativ zueinander zu bewegen, sodass sich der Körper als starrer Körper dreht, auch wenn er nicht starr ist.

Der Rotationszustand des Körpers, der bei gegebenem Drehimpuls die niedrigste kinetische Energie hat, ist derjenige, in dem der Körper das größte Trägheitsmoment (bezogen auf den Massenmittelpunkt) hat. Zum Beispiel dreht und dreht sich eine lange Kette, die in den freien Fall geworfen wird, bis sie ganz gerade ist und sich wie ein starrer Körper dreht.

Dies kann wie folgt gesehen werden. Rotationsenergie eines Systems im Zustand starrer Rotation um eine feste Achse$a$ist allgemein durch die Formel gegeben

Da der Drehimpuls gegeben ist durch

Wir können Energie ausdrücken als

Wenn$L$konstant ist (das Nettodrehmoment der auf das System einwirkenden externen Kräfte ist Null) und die Konstitution und die Anfangsbedingungen dies zulassen, wird die Dissipation des Systems dazu beitragen, die Energie zu verringern, bis sie den minimalen Wert erreicht, was für das Maximum gilt$I_a$möglich.

Das Trägheitsmoment wird gefunden über:

Die Tatsache, dass jedes Teilchen versucht, seinen Abstand zu vergrößern$r$zum Rotationszentrum während der Rotation ist ein anderes Thema - das ist die Zentrifugalwirkung :

Ein Teilchen in Bewegung wird immer versuchen, seine Geschwindigkeit (Geschwindigkeit und Richtung) beizubehalten, weil es Kraft braucht, um das zu ändern. Die natürliche Reaktion eines Teilchens besteht also darin, einen geraden Weg fortzusetzen.

Beim Rotieren ist der gerade Pfad zufällig von der Umlaufbahn entfernt. Es ist nur zufällig in die Richtung, die den Abstand vergrößert.

Es ist also einfach so, dass rotierende Dinge aufgrund der Kinematik und Dynamik der Natur dazu neigen, ihr Trägheitsmoment zu erhöhen.

Das Trägheitsmoment ist als Winkelmasse oder Rotationsträgheit eines starren Körpers bekannt und ein Tensor, der das Drehmoment bestimmt, das für eine gewünschte Winkelbeschleunigung um eine Rotationsachse erforderlich ist.

Wenn ein mechanisches System gezwungen ist, sich parallel zu einer festen Ebene zu bewegen, dann erfolgt die Drehung eines Körpers in dem System um eine Achse k senkrecht zu dieser Ebene. In diesem Fall ist das Trägheitsmoment der Masse in diesem System ein Skalar, der als polares Trägheitsmoment bekannt ist. Die Definition des polaren Trägheitsmoments ergibt sich aus der Betrachtung von Impuls, kinetischer Energie und den Newtonschen Gesetzen für die ebene Bewegung eines starren Teilchensystems.

Wenn ein System aus n Teilchen, Pi, i = 1,...,n, zu einem starren Körper zusammengesetzt wird, dann kann der Impuls des Systems in Bezug auf Positionen relativ zu einem Referenzpunkt R und absolute Geschwindigkeiten vi geschrieben werden .

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a82ae33e8e6d485a106fca031040e1839c1de03 wobei ω die Winkelgeschwindigkeit des Systems und V die Geschwindigkeit von R ist.

Bei planarer Bewegung ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor entlang des Einheitsvektors k gerichtet, der senkrecht zur Bewegungsebene steht. Führen Sie die Einheitsvektoren ei vom Referenzpunkt R zu einem Punkt ri und den Einheitsvektor ein.

ti = k × ei so https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4a46e0a6d0c4eb43981fc94554b8a7426d8522

Dies definiert den relativen Ortsvektor und den Geschwindigkeitsvektor für das starre System der sich in einer Ebene bewegenden Teilchen.

Nicht starre Körper "versuchen" es nicht nur, sie erhöhen ihr Trägheitsmoment! Die logischen Gründe sind folgende:
1. Wir wissen, dass das Trägheitsmoment direkt proportional zum Quadrat des Radius ist,$I = kr^2$.
2. Wenn sich der Gegenstand dreht, bewegen sich die Moleküle vom Rotationszentrum weg (weil der Gegenstand nicht starr ist) und vergrößern dadurch ihren Radius (aufgrund der Zentrifugalkraft).
3. Daher erhöht sich das Trägheitsmoment des Elements, da der Radius zunimmt!