Warum verwenden wir einen Filter 2. Ordnung, um einen Filter höherer Ordnung zu bauen?

(1) Bisher bezogen sich alle Antworten auf eine Filterentwurfsstrategie, die als "Kaskadenentwurf" bezeichnet wird. Dieses Verfahren verwendet Filterdesign-Designtabellen, um Filter höherer Ordnung zu realisieren, indem aktive Stufen 1. und 2. Ordnung kaskadiert werden.

(2) Es gibt jedoch eine andere Strategie, die als "Direktsynthese" bezeichnet wird. Mit diesem Ansatz können Sie ein passives RLC-Referenzleiternetzwerk beliebiger Ordnung in eine aktive Schaltung überführen (aktive L-Simulation, FDNR-Technik). Für die passive Referenzstruktur sind tabellarische Teilewerte verfügbar.

(3) Ein weiteres Verfahren der direkten Filtersynthese basiert auf Multi-Feedback-Topologien für grundlegende aktive Stufen wie Integratoren (Leapfrog-Struktur, Follow-the-Leader FLF, Primary Resonator Block PRB).

Kommentar 1: Es wurde gezeigt, dass alle auf diesen "direkten Methoden" basierenden Realisierungen viel bessere passive Empfindlichkeitswerte aufweisen als die "Kaskadenfilter" (passive Empfindlichkeit ist die Empfindlichkeit der gesamten Filterschaltung bei Toleranzen der passiven Teile R und C)

Kommentar 2: Zur Oszillation: Nein, es gibt kein spezifisches Problem für Filter höherer Ordnung. Dies gilt sowohl für den Kaskadenansatz als auch für die direkte Filtersynthese.

Die Schwingungsneigung hängt nicht von der Ordnung des Filters ab, sondern nur von der Pollage. Für High-Q-Filter müssen die Pole ziemlich nahe an der Im-Achse der s-Ebene platziert werden. In diesem Fall könnte es ein Problem geben, wenn durch ungewollte Einflüsse (Bauteiltoleranzen) eines der Polpaare in Richtung der Im-Achse verschoben wird.

Es ist jedoch zu beachten, dass die Pollage der verschiedenen Blöcke 2. Ordnung auch von der Filterordnung abhängt. Beispielsweise ist für einen Chebyshev-Tiefpass 10. Ordnung (Welligkeit 1 dB) das maximale Pol-Q Q = 22,3. Dies entspricht einem Winkel Alpha = 88,7 Grad (die Bildachse liegt bei 90 Grad). Der Winkel Alpha liegt zwischen der reellen Achse und dem Vektor zum Polort im linken Teil der s-Ebene.

Mit einer Sallen-Taste haben Sie einen höheren Rolloff als mit einem normalen 1-Pol-Filter. Manchmal liegen das Signal im Bandpass und das Rauschen zu nahe beieinander und Sie benötigen eine hohe Rolloff-Rate, um sie zu isolieren. (Wenn Sie beispielsweise ein 100-Hz-Signal hätten und 60 Hz aus Ihren Daten begraben möchten, benötigen Sie einen wirklich hohen Filter, um es von Ihrem 100-Hz-Signal zu isolieren, da sie bei einem 60-Hz-Rauschen von 40 dB nahe beieinander liegen). Da es zwei Pole gibt, können Sie auch Bandpassfilter und Kerbfilter bauen.

Ja, es gibt ein Problem mit Oszillationen, insbesondere wenn die Filterpole eng beieinander liegen. In diesem Fall ist es besser, die Pole etwas auseinander zu halten und Komponentenwerte zu verwenden, die eine bessere Filterantwort ergeben .

Die Antwort ist, dass wir die Filter nicht aus Schaltungen zweiter Ordnung bauen. Wir bauen sie mit aktiven Schaltungen, die Induktoren simulieren. Es ist einfach so, dass wir in all diese Schaltungen auch leicht ein kapazitives Element einbauen können, sodass sie in Blöcke zweiter Ordnung umgewandelt werden können, die im Allgemeinen überlegene Filtereigenschaften haben.

In der realen Welt sind Induktoren lästig zu verwenden. Sie sind groß, störanfällig, mechanisch empfindlich, schwer genau herzustellen und relativ teuer. Im Vergleich dazu sind Kondensatoren günstig, stabil und robust. So früh in der Geschichte der analogen Elektronik haben Designer Schaltungen entwickelt, die eine induktive Impedanz nur mit Kondensatoren simulieren würden. Alle verschiedenen aktiven Filtertopologien sind im Grunde nur negative Impedanzwandler. Sie können sie sogar anpassen, um eine Induktivität in einen Kondensator zu verwandeln, wenn Sie möchten.

Alle LTI-Filtersysteme werden aus R-, L- und C-Impedanzen gebildet. Alles, was wir mit aktiven Filtern tun, ist, die Ls durch aktiv umgewandelte Cs zu ersetzen, und praktische Überlegungen machen es einfach, dies mit einer angeschlossenen C-Impedanz zu tun, also tun wir es.

Ein ziemlich grundlegender Grund, der bisher nicht erwähnt wurde, ist die zugrunde liegende Mathematik. Sie können jedes Polynom in ein Produkt quadratischer Gleichungen (und eine lineare Gleichung für Polynome ungerader Ordnung) zerlegen.

Ich habe nur schwache Erinnerungen daran, dies in der Mathematik der High School von Hand zu tun, aber ich erinnere mich, dass es langweilig, aber handhabbar war.

Daraus folgt, dass Sie jede beliebige als Polynom ausgedrückte Filterübertragungsfunktion nehmen und in einen Satz quadratischer Gleichungen übersetzen können - notfalls von Hand.

Diese quadratischen Gleichungen sind natürlich Filterabschnitte zweiter Ordnung auf dem Papier; sie in Schaltungen zu übersetzen ist ein relativ einfacher Schritt.

Historisch gesehen war dies also die einzige Möglichkeit, mit der Mathematik des Filterdesigns umzugehen. Und die elektronische Praxis hat sich um die zugrunde liegende Mathematik herum entwickelt. Jetzt haben wir numerische Methoden für die Synthese, aber Standardbausteine ​​wie Sallen&Key-Abschnitte, die sich diesem älteren Ansatz widmen, sind normalerweise einfach einfacher.

In Bezug auf Pole hat ein Filter wie ein Sallenschlüssel 2. Ordnung entweder: -

1. Komplexe konjugierte Pole (Erzeugung einer Resonanz im Bode-Diagramm)
2. Ein einzelner reeller (nicht komplexer) Pol ($\zeta$= 1)
3. Ein Paar echte Stöcke ($\zeta$> 1)

Ein komplexerer Filter (höherer Ordnung) hat mehrere Versionen des Obigen. Zum Beispiel hat ein Butterworth-Filter 6. Ordnung Pole wie folgt positioniert: -

Die roten X markieren ein konjugiertes Paar; das Grün markiert ein weiteres konjugiertes Paar usw. Bei einem Butterworth-Filter sitzen alle Pole auf einem Magnitudenkreis$\omega_n$, die natürliche Resonanzfrequenz (in Radianten pro Sekunde). Für verschiedene Arten von Filtern gerader Ordnung treten Pole immer noch als konjugierte Paare auf, sind aber nicht unbedingt auf den Kreis beschränkt (gleichbedeutend mit Butterworth-Filtern).

Warum sollten wir Filter 2. Ordnung verwenden, um einen Filter höherer Ordnung zu bauen?

Es ist sinnvoll, eine Schaltung zu verwenden, die auf natürliche Weise ein Paar konjugierter Pole erzeugt und diese dann "stapelt", um mehrere konjugierte Paare zu erzeugen, um einen Filter höherer Ordnung zu realisieren.

Liegt das Schwingungsproblem in Filtern höherer Ordnung?

Wenn sich Pole der vertikalen Achse nähern, gibt es größere gedämpfte Schwingungen, wenn der Filtereingang ein Impuls oder Schritt ist. Das wäre natürlich zu erwarten. Vorausgesetzt, die Pole sind richtig positioniert, sollten keine anhaltenden Schwingungen auftreten.

Eine Sache, die ich beim Entwerfen von Filtern hoher Ordnung festgestellt habe, ist, dass die konjugierte Paarschaltung mit niedrigerem Q als Eingang und die konjugierten Paare mit höherem Q nach dieser Stufe verwendet werden. Der Vorteil besteht darin, dass kein übermäßiges Klingeln auftritt, das ein Clipping der Operationsverstärkerschiene verursachen könnte, da jede transiente Flanke durch vorangehende Stufen mit niedrigerem Q ausreichend gefiltert wurde.

Hinzugefügt

Sie müssen einen aktiven Filter nicht unbedingt auf einen Operationsverstärker 2. Ordnung beschränken und kaskadieren, aber es erleichtert die Steuerung von Quellenimpedanzen oder -gleichungen und reduziert den Phasenabstand. Hier mit einem LPF 6. Ordnung habe ich ein Q von 100 im Peaking, aber ich konnte das mit etwas Kompensationsverstärkung am Schalter eliminieren. <Simulation

Warum sollten wir Filter 2. Ordnung verwenden, um einen Filter höherer Ordnung zu bauen, wie einen Sallen & Key und andere?

Weil du es kannst. Sie können auch nicht mehr als einen aktiven RC-Filter 2. Ordnung herstellen.

Liegt das Schwingungsproblem in Filtern höherer Ordnung?

NEIN.

Es sei denn, Sie fangen an, negatives Feedback zwischen vielen verschiedenen Phasen falsch anzuwenden.

Der Vorteil vieler kaskadierter Filter 2. Ordnung und 1. Ordnung besteht darin, dass der Breakpoint und Q jeder Stufe versetzt werden können, um einem Polynom wie Chebychev 0,5 dB Ripple Passband mit einer Brickwall-Bandsperre zu entsprechen.

Hier kann ein Chebychev-Filter 5. Ordnung 62 dB @2 Oktaven nach oben dämpfen, sowie ein LPF 8. Ordnung mit linearer Phase (konstante Gruppenverzögerung).

Beachten Sie das maximale Q jedes Filtertyps.

Ein Filter 8. Ordnung benötigt nur einen Quad-Operationsverstärker, und alle diese Filter sind in weniger als einer Minute mit kostenloser Software und Übung zu entwerfen, da Sie wissen, wie Filterspezifikationen definiert werden. .

Das Schöne an dieser TI-eigenen Software ist, dass Sie jede R- und C-Toleranz von perfekt, 1 %, 2 %, 5 % bis 20 % auswählen können, und die Änderung erfolgt sofort und interaktiv. Es macht LPF, BPF, HPF und APF und bietet eine Stückliste (BOM), die Sie nach Excel exportieren können.