Warum wird die Erhaltung des Drehimpulses als Gesetz betrachtet?

Die Erhaltung des Drehimpulses ist wirklich ein neues Phänomen, eines, das nicht aus der Newtonschen Mechanik folgt, die Sie bereits kennen; deshalb verdient es seinen eigenen Platz als Gesetz. Genau das haben Sie bewiesen

Wenn ein System kein Drehmoment erfährt, bleibt sein Drehimpuls erhalten.

Diese Aussage allein ist jedoch nutzlos. Vielleicht erfahren alle Systeme immer ein Drehmoment; vielleicht kann ein System ein Drehmoment auf sich selbst ausüben. Was wir eigentlich sagen wollen, nämlich der eigentliche Drehimpulserhaltungssatz, ist eher ähnlich

Der Drehimpuls eines isolierten Systems bleibt erhalten.

Um zu sehen, warum diese nicht äquivalent sind, nehmen wir an, wir haben ein System aus zwei isolierten Teilchen, eines über dem anderen. Newtons drittes Gesetz verbietet es den Teilchen nicht, sich nach links und rechts zu stoßen. Aber dann beginnt das System spontan zu rotieren! Es ändert seinen eigenen Drehimpuls, indem es ein Drehmoment auf sich selbst ausübt.

Um die Erhaltung des Drehimpulses zu erzwingen, müssen wir die starke Form des dritten Newtonschen Gesetzes verwenden,

Kräfte zwischen Partikeln treten in Aktions-/Reaktionspaaren auf, und diese Kräfte werden entlang der Trennlinie zwischen den zwei Partikeln gerichtet.

Dies ist eine grundlegend neue Annahme, also ist der Drehimpuls wirklich eine eigene Sache. Auf einer tieferen Ebene folgt die Erhaltung von Linear- und Drehimpuls aus der Translations- und Rotationssymmetrie des Raums, und es ist möglich, Räume zu haben, die nur translationssymmetrisch oder nur rotationssymmetrisch sind. Die beiden sind unabhängig.

Nur um die Antwort von @knzhou ein wenig zu erweitern: Wenn Sie ein System von Massenteilchen haben$m_i$an Positionen$\mathbf r_i$dann haben sie äußere Kräfte$\mathbf F_i$auf sie einwirkende sowie innere Kräfte$\mathbf G_{ji} = -\mathbf G_{ij}$durch das dritte Gesetz; und das zweite Gesetz besagt lediglich,

$$m_i \ddot {\mathbf r}_i = \mathbf F_i + \sum_j \mathbf G_{ij}.$$ Die großartige erste Idee über die Eigenschaften des Bulks ist, alles zusammenzufassen $i$zu finden, dass die $\mathbf G_{ij}$Alle stornieren das Verlassen, $$\sum_i m_i \ddot {\mathbf r}_i = M \ddot {\mathbf R} = \sum_i \mathbf F_i.$$ Oben definieren wir $M = \sum_i m_i$und deshalb $\mathbf R = \sum_i \frac{m_i}M ~ \mathbf r_i$ist der Massenmittelpunkt, wie üblich. Das Tolle ist also, dass dies $\mathbf G_{ij} = -\mathbf G_{ji}$bewirkt, dass sich alle inneren Kräfte aufheben, und wir können so tun, als hätte das System Masse $M$und lebt in seinem Massenmittelpunkt und fühlt alle äußeren Kräfte $\sum_i \mathbf F_i.$

Es lohnt sich, sich eine Sekunde Zeit zu nehmen, um das zu beweisen , falls Sie es noch nicht getan haben. Wenn wir wirklich alle diese Indizes zusammenzählen, die wir haben$\sum_{ij} \mathbf G_{ij} = \sum_{ij} \mathbf G_{ji},$die Reihenfolge der Summation spielt keine Rolle. Weil wir es haben$A = B$wir können diese Dinge auch umschreiben als$A = (A + B)/2,$also schreiben wir um als$\frac12 \sum_{ij} (\mathbf G_{ij} + \mathbf G_{ji}).$Jetzt verwenden wir das dritte Gesetz, das$\mathbf G_{ji} = -\mathbf G_{ij},$um herauszufinden, dass dies der Fall ist

$$\sum_{ij} \mathbf G_{ij} = \frac12 \sum_{ij} (\mathbf G_{ij} - \mathbf G_{ij}) = \frac12 \sum_{ij} 0 = 0.$$ So beweisen wir, dass diese "Antisymmetrie" von $\mathbf G$ergibt die 0, wenn wir über summieren $i$Index oben.

Jetzt machen wir das Verfahren, das Sie vorschlagen, nehmen die ursprüngliche Gleichung und kreuzen mit$\mathbf r_i$zu finden, dass die externen Drehmomente$\mathbf \tau_i$ins Bild kommen als

$$m_i \mathbf{r}_i \times \ddot{\mathbf r}_i = \mathbf \tau_i + \sum_j \mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}.$$ Die linke Seite funktioniert, weil $\dot{\mathbf r}_i \times \dot{\mathbf r}_i = 0,$Zu $\frac{d}{dt}(m_i \mathbf r_i \times \dot{\mathbf r}_i)= d\mathbf L_i/dt.$Das ist kein Problem.

Die große Frage, die bleibt: Mach das$\mathbf r_i \times \mathbf G_{ij}$unbedingt abbrechen? Nun, lassen Sie uns einfach versuchen, dieselbe Aufführung wie oben zu wiederholen; wir haben

$$\sum_i \dot{\mathbf L}_i = \sum_i \mathbf \tau_i + \frac12\sum_{ij}\Big(\mathbf r_i\times \mathbf G_{ij} + \mathbf r_j\times \mathbf G_{ji}\Big),$$ und nach Anwendung der Antisymmetrie von $\mathbf G$wir kommen nur dazu $$\sum_i \dot{\mathbf L}_i = \sum_i \mathbf \tau_i + \frac12\sum_{ij}\big(\mathbf r_i - \mathbf r_j) \times \mathbf G_{ij}.$$ Dies ist also im Allgemeinen nicht Null und erfordert stattdessen $\mathbf G_{ij}$parallel zu sein $\mathbf r_i - \mathbf r_j$im Allgemeinen, um es zu Null zu machen . Und genau das wurde von @knzhou beschrieben; die inneren Kräfte müssen entlang der Verbindungslinie zwischen den Teilchen zeigen, sonst bleibt der Drehimpuls nicht erhalten.

Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass das Newtonsche Gesetz und die Erhaltung des Drehimpulses unterschiedlichen Wissensständen angehören.

Newtons Gesetz ($F=ma$) ist ein Axiom, es kann nicht durch andere Beziehungen abgeleitet werden, und Sie können an vollkommen erlaubte Welten denken, die existieren könnten, wo es zufällig nicht wahr ist.

Der Drehimpulserhaltungssatz wird dagegen durch das Newtonsche Gesetz abgeleitet (dies kann auf verschiedenen Abstraktionsebenen erfolgen, dh durch direkte Berechnung, Noethersches Theorem usw., aber meine Aussage bleibt im Grunde genommen trotzdem richtig) und Wenn Sie die Axiome gegeben haben, erhalten Sie, ohne nichts Neues hinzuzufügen.

Das Wort Gesetz wird jedoch in der Physik verwendet, um beide zu bezeichnen.