Was bedeutet das Monopol-/Quadrupolmoment der Erde?

Ein Monopol (Schwerkraft) eines Systems ist im Grunde die Menge an Masse-Energie, die das System hat.

Ein Dipol ist ein Maß dafür, wie die Masse von einem Zentrum weg verteilt ist.

Das Quadrupolmoment beschreibt, wie gestreckt die Massenverteilung entlang einer Achse ist. Quadrupol wäre zum Beispiel für eine Kugel Null, für einen Stab jedoch ungleich Null. Es ist auch für die Erde ungleich Null, weil die Erde ein abgeflachtes Sphäroid ist.

Der Gravitationsbeitrag eines Quadrupols fällt schneller ab als der eines Monopols. (weshalb das Quadrupolmoment der Erde für die Untersuchung von Satelliten wichtig ist und nicht wirklich für die Untersuchung des Mondes, aufgrund der$r^{-3}$Abhängigkeit des Beitrags zum Potenzial)

Quadrupole und andere Momente höherer Ordnung sind in GR wichtig, weil die Änderung ihrer Verteilung Gravitationswellen erzeugen kann.

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Beispiel:

Betrachten wir zwei Fälle, in beiden Fällen haben die großen Körper Masse$M$und die kleine Masse$m$, und der Kleine liegt in einiger Entfernung auf der Symmetrielinie$r$.

Fall 1: Kein Quadrupolmoment.

Die Kraft hier ist einfach:

$$\frac{GMm}{r^2}$$ .

Fall 2: Quadrupolmoment ungleich Null. (die größeren Kugeln sind durch einen gewissen Abstand voneinander getrennt$2R$.)

Die Kraft ist in diesem Fall:

$$\frac{2GMmr}{(r^2+R^2)^{3/2}}$$

Dies für große$r$, kann angenähert werden (Zwei-Term-Reihenerweiterung):

$$F \sim \frac{2GMm}{r^2}-\frac{3GMmR^2}{r^4}$$

Der seltsame Begriff hier ist wegen des Quadrupolmoments des Systems. Wenn Sie sich weiter entfernen ($r>>R$), die Kraft,$F$ist mehr oder weniger:

$$F \sim \frac{2GMm}{r^2}$$

Deshalb fällt der "Quadrupol-Moment-Effekt" mit der Entfernung ab.

Entschuldigung für die unausstehlichen MS Paint-Diagramme.

Stellen Sie sich vor, Sie hätten eine Massenverteilung$\rho(x,y,z)$um den Ursprung O und wir wollen die potentielle Energie und Kraft an einem bestimmten Punkt P auf der z-Achse berechnen. Die potentielle Energie lässt sich leicht durch das Integral ausdrücken:

$$U=-GM\int_{V}\frac{\rho(x,y,z)}{R}dv$$ Dieses Integral ist jedoch möglicherweise schwierig zu berechnen, und es ist oft einfacher, den Integranden durch eine Reihe auszudrücken. Dies wird als Multipolentwicklung bezeichnet und kann sowohl für die Gravitationskraft als auch für die elektrostatische Kraft durchgeführt werden.

Wegen des Kosinusgesetzes drücken wir R als Funktion von aus$\theta$,$r'$und r:$R^2 = r^2 +r'^2 - 2rr'\cos(\theta)$, jetzt können wir dieses Integral vereinfachen, indem wir diese Einrückung und eine Taylor-Reihe verwenden:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{r}\frac{1}{\sqrt{1+\alpha}} = \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\alpha+\frac{3}{8}\alpha^2-...\right)$$ wo$\alpha=\left(\frac{r'}{r}\right)^2-\frac{2r'}{r}\cos(\theta)$

Die potentielle Energie wird nun zu:

$$U=\frac{-GM}{r}\int_{V}\rho dv+\frac{-GM}{r^2}\int_{V}r'\cos(\theta)\rho dv+\frac{-GM}{r^3}\int_{V}r'^2\frac{3\cos^2(\theta)-1}{2}\rho dv +...$$ Wie Sie sehen können, wird die Potenz von r in jedem Term immer kleiner. Oft schreiben wir diesen Ausdruck um als: $$U=-GM\left(\frac{C_0}{r}+\frac{C_1}{r^2}+\frac{C^2}{r^3}...\right)$$ Wo$C_0$ist das Monopolmoment,$C_1$das Dipolmoment,$C_2$das Quadrupolmoment und so weiter. Diese können leicht interpretiert werden, wofür ich auf @Hritik Narayan verweise.