Wie viele wirklich unterschiedliche multipolare Ladungsverteilungen gibt es?

Die Antwort für Quadrupole ist$2$. Die beste Art, sich einen Quadrupol vorzustellen, ist die Betrachtung der Elemente$Y_{2m}$als Linearkombinationen von Einträgen in einer symmetrischen spurlosen Matrix:

$${\cal Q}=\left(\begin{array}{ccc} r^2-x^2&xy&xz\\ xy&r^2-y^2&yz\\ xz&yz&r^2-z^2\end{array}\right)$$ Da diese Matrix symmetrisch ist, kann sie mit einer Drehung in eine diagonale Form gebracht werden, sodass bis zu Drehungen zwei Eigenwerte verbleiben, um Ihren Quadrupol zu parametrisieren. Diese stehen in der Regel im Zusammenhang mit $Y_{20}(\theta,\phi)$und einige Linearkombinationen von $Y_{2\pm 2}(\theta,\phi)$Komponenten, so dass in der üblichen Notation $${\cal Q}_0\sim 2z^2-x^2-y^2 \, ,\qquad {\cal Q}_2\sim x^2-y^2\, .$$ Wenn ${\cal Q}_2=0$Die Figur ist achsensymmetrisch, entweder abgeflacht oder prolatiert, je nach Vorzeichen ${\cal Q}_0$. Wenn ${\cal Q}_2\ne 0$Die Figur hat keine Symmetrieachse (im Grunde eine nicht symmetrische Spitze.)

Das in der Literatur üblicherweise diskutierte Hauptoktupolmoment ist proportional zu:

$$Y_{30}(\theta,\phi)\sim 5\cos(\theta)^3-3\cos(\theta)\, ,$$ aber es sollte mindestens noch eins mehr geben ( $\sim Y_{33}(\theta,\phi)-Y_{3,-3}(\theta,\phi)$?), um die Verteilung in der zu untersuchen $\phi$Richtung.

Der Ort, an dem man danach suchen sollte, ist die Literatur zur Kernphysik, da höhere Multipole Informationen über Kernformen enthüllen, aber die Standard-Lehrbücher, die ich zur Hand habe (Ring und Schuck, Krane), gehen darauf nicht ein$m\ne 0$Komponenten der höheren Multipole. Oktupolmomente werden verwendet, um die "Birnenform" der Figur zu untersuchen, und da die Birne axialsymmetrisch ist, kann es sein, dass die$m\ne 0$Komponenten sind zu klein, um sich darum zu kümmern.

(Siehe auch diesen Beitrag für zusätzliche Kommentare).

In der Quantenmechanik gibt es eine analoge Situation. Es ist natürlich bekannt, dass die endlichdimensionalen irreduziblen komplexen projektiven Darstellungen von$SO(3)$werden durch eine nichtnegative halbe ganze Zahl parametrisiert$s=0,1/2,1,3/2,\ldots$mit Abmessung$2s+1$. Auf diese Darstellungen wird jedoch die projektive Wirkung von$SO(3)$ist nur dann transitiv, wenn$s=0$oder$s=1/2$. Verständnis der Bahnen von$SO(3)$auf diese Darstellungen ist also eine Frage des Interesses.

Eine einfache Lösung wurde von Majorana gefunden, die allgemein als Majorana-Sterndarstellung bekannt ist. Ein allgemeiner Vektor ungleich Null im Spin$s$Darstellung kann als das symmetrisierte Tensorprodukt von geschrieben werden$2s$Vektoren ungleich Null im Spin-$1/2$Darstellung. Dies ist einzigartig bis auf die Skalierung der Vektoren durch Faktoren, die multiplizieren$1$und durch Umordnen der Vektoren. Übergehend zu den projektiven Räumen wird ein allgemeiner Zustand durch eine Sammlung von repräsentiert$2n$unbeschriftete (nicht unbedingt unterschiedliche) Punkte auf der Riemann-Kugel. Die Aktion von$SO(3)$hier sind nur Drehungen der Kugel.

Also eine dichte Teilmenge des projektiven Raums$P^{2s}$wird auf die nicht degenerierten Konfigurationen von abgebildet$2s$unbeschriftete Punkte auf einer Kugel, die ein gut untersuchtes Beispiel für einen Konfigurationsraum ist . Die Topologie von Konfigurationsräumen wird von Mathematikern gut verstanden. Beispielsweise ist seine Grundgruppe der Quotient der Zopfgruppe an$2s$Stränge durch einen einzigen Relator (siehe dieses Papier für einen Beweis). Dieser Konfigurationsraum erbt die$SO(3)$Aktion und der Umlaufbahnraum ist der Quotient dieser Aktion. Es gibt auch entartete Umlaufbahnen, wenn$2$oder mehr der Punkte zusammenfallen, und diese verhindern, dass der Umlaufbahnraum eine legitime Mannigfaltigkeit ist (es ist jedoch eine Umlaufbahn ).

Um dies auf Multipolverteilungen zurückzuführen, brauchen wir eigentlich gar nicht viel zu tun. Der$Y_l^m$sphärische Harmonische für$m=-l,\ldots,l$überspannen Sie eine Kopie der$s=l$Darstellung von$SO(3)$. Hier betrachten wir eher eine reale Darstellung als eine komplexe Darstellung. Als solches müssen wir den Raum auf den entsprechenden reellen Abschnitt beschränken, der von reellen Kugelflächenfunktionen aufgespannt wird. Außerdem handelt es sich in diesem Fall um eine gewöhnliche Darstellung, nicht um eine projektive Darstellung. Das bedeutet, dass wir bekommen$1$Freiheitsgrad zurück von der Umskalierung durch reelle Zahlen (Umskalierung durch komplexe Zahlen ist nicht zulässig). Schließlich ist der Quotient durch die$SO(3)$Aktion tötet 3 echte Freiheitsgrade für ausreichend groß$l$so dass die Aktion treu ist (in diesem Fall schon$l=2$ist ausreichend). Insbesondere dann ist die Dimensionalität des Orbitraums z$l=0,1,2,3,4,\ldots$,

$$d_l=1,1,2,4,6,\ldots.$$