Wenn ich einen Tensor zweiten Ranges habe, den ich analysieren möchte – sagen wir, ein elektrisches Quadrupolmoment oder ein Trägheitsmoment –, kann es oft sehr einfach sein, ihn zu analysieren, indem man sich zu seinem Hauptachsensystem bewegt: man dreht sich zu einem Referenzsystem wobei der Tensor diagonal ist, und dies vereinfacht alle möglichen Verständnisse darüber, ob man den Tensor als lineare Transformation oder als Zweierform oder was auch immer sieht.
Wenn man jedoch mit einem Tensor vom Rang drei und höher konfrontiert wird, ist es viel weniger offensichtlich, wie man vorgehen soll. Bei einem allgemeinen Tensor mit willkürlichen Einträgen (obwohl wahrscheinlich verlangt wird, dass er in allen Dimensionspaaren symmetrisch ist, nur um die Dinge einfach zu halten), gibt es vermutlich einen Referenzrahmen, in dem der Tensor viel einfacher zu verstehen ist (also als Beispiel ein geneigter Oktupol, der sich wie verhält hat axiale Symmetrie, und es wird viel einfacher aussehen, wenn Sie Ihre setzen entlang dieser Achse koordinieren), aber was ist dieser Rahmen, welche Eigenschaften hat er und wie findet man ihn?
Ein Tensor des zweiten Ranges wird 3 Hauptachsen haben, die visualisiert werden können. Am Ende haben Sie 3 Achsen und der beste Weg, diese an einem Punkt zu visualisieren, ist mit einem abgeflachten Sphäroid an jedem Punkt. Effektiv drehen Sie einfach die Ellipse, die von 2 der Hauptachsen erzeugt wird, um die dritte. Diverse Softwarepakete können das, ich bevorzuge ParaView aber jedem das Seine.
Höhere Ordnung als das und Sie werden keine sehr gute Möglichkeit haben, es zu visualisieren. Ich würde lieber zu einer anderen Art der Analyse übergehen und stattdessen damit beginnen, die Topologie des Feldes zu betrachten und die Tensorinvarianten zu untersuchen. Diese Invarianten sind die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung, die für Rang zwei lautet:
Ähnliche Ausdrücke gibt es natürlich auch für höhere Dimensionen. Diese Abhandlung und diese Abhandlung stellen Algorithmen zur Berechnung der Invarianten bereit und stellen die Ausdrücke für einen Rang-4-Tensor bereit. Im Rahmen meiner Arbeit, der Fluiddynamik, geschieht dies mit dem Geschwindigkeitsgradienten-Tensor oder dem Rate-of-Strain-Tensor oder dem Rate-of-Rotation-Tensor. Der Der Raum wird durch die Diskriminanzflächen unterteilt, und diese können topologischen Merkmalen zugeordnet werden. In dem Beispiel mit Rang zwei gibt es 8 Sektoren, die Fokussen, Sätteln, Knoten usw. entsprechen, die stabil oder instabil sein können (siehe zum Beispiel dieses Dokument für Anwendungen in Flüssigkeiten). Um noch einmal auf meine Arbeit zurückzukommen, diesen können physikalische Eigenschaften zugeordnet werden. Beispielsweise entspricht eine instabile Fokussierung/Komprimierung einer Wirbelkomprimierung. Instabiler Knoten/Sattel/Sattel ist ein Wirbelblatt, während stabiler Knoten/Sattel/Sattel ein Wirbelrohr ist. Ich bin sicher, dass in Ihrem Fall und für Invarianten höherer Ordnung andere Beschreibungen zugeschrieben werden könnten. Die Invarianten selbst können auch eine physikalische Bedeutung haben. Für Flüssigkeiten, ist die volumetrische Expansion/Kompression und hängt mit der Drehung zusammen.
Die letzte topologische Technik, mit der ich vertraut bin, ist der Morese-Small-Komplex. Dabei nehmen Sie ein Feld und identifizieren die kritischen Punkte – lokale Minima, Maxima, Sättel und Knoten. Diese Punkte werden dann durch das Feld miteinander verbunden und die Grenzen um jeden kritischen Punkt identifizieren den Informationsfluss entlang der Topologie. Es ist nützlich, um topologische Karten von hochdimensionalen Datensätzen zu erstellen.
Emilio Pisanty
Emilio Pisanty