Warum "stapeln" sich Multipolmomente höherer Ordnung nicht wie die Monopol- und Dipolmomente?

Diese Frage kann, wie so viele andere in der Physik, durch ein einfaches Skalierungsargument beantwortet werden. Jede bleibende$2^\ell$-Pol hat eine charakteristische Größe für das Volumen, das er einnimmt, nennen Sie das$a$. Die Zahl der$2^\ell$-Pole, die sich konstruktiv stapeln können, ist beispielsweise durch ein einfaches Volumenverhältnis gegeben

$$N = \frac{L^3}{a^3},$$ in einem (n $L\times L\times L$Würfel.

Das Multipolmoment des Bausteins wird einen Normierungsfaktor haben, der eingerichtet werden kann

$$Q_\ell^m \propto qa^\ell,$$ für eine charakteristische Ladung $q$(normalerweise um die Elektronenladung herum). Wenn wir davon ausgehen, dass wir es mit dem niedrigsten nicht verschwindenden Multipol zu tun haben, der also translationsinvariant ist, dann die Summe $2^\ell$-Polmoment wird nur die Anzahl der sein $2^\ell$-Pole mal im Moment pro $2^\ell$-pol, zu bekommen $$\begin{align} Q_{\ell,\mathrm{tot}}^m &\propto Nqa^\ell \\ & = q L^3 a^{\ell-3} \\ & = q \left(\frac{a}{L}\right)^{\ell - 3} L^\ell = q' L^\ell. \end{align}$$ Die Bedeutung der letzten Zeile ist, dass es dasselbe ist, als würde man alles Mikroskopische austauschen $2^\ell$-Pole für einen einzigen äquivalenten makroskopischen, der aus Monopolen mit charakteristischer Ladung besteht $q'$das kommt gleich $2^\ell$-Polmoment. Für $\ell < 3$, Größe der Ladungen, die benötigt werden, um das äquivalente makroskopische zu bauen $2^\ell$-Pol wächst mit $L$. Für $\ell=3$, das Oktupolmoment, ist die charakteristische Ladung konstant (z. B. ist das Netto-Oktupolmoment eines Salzwürfels bis auf einen numerischen Faktor von wenigen dasselbe wie ein einzelnes unkompensiertes Elektron/Proton an den Ecken des Würfels). Für $\ell > 3$die Ladung, die zum Aufbau des makroskopischen Äquivalents benötigt wird $2^\ell$-Pol schrumpft tatsächlich mit dem Wachsen $L$.

Zugegeben, für fest$q$Und$a$, das Netz$2^\ell$-Polmoment wächst immer$\propto L^3$, aber dieser Austausch für ein äquivalentes makroskopisches$2^\ell$-pole setzt ein abstraktes Konzept in konkrete Begriffe um, die es einfacher machen, sich vorzustellen, wie klein die erzeugten elektrischen Felder sind.

Eine andere Möglichkeit, das Problem zu betrachten, besteht darin, zu überlegen, wie groß das Feld ist, das ungefähr an der Oberfläche des Objekts erzeugt wird. Für ein$2^\ell$-Pol dem führenden Ordnungsterm im elektrischen oder magnetischen Feld proportional ist$r^{-2-\ell}$. Da ist der minimale Beobachtungsabstand$r\sim L$, und das$2^\ell$-Pol Moment wächst wie$L^3$, das elektrische Feld im minimalen Abstand vom punktförmigen Äquivalent$2^\ell$-Pol ist$\propto L^{1-\ell}$. Bei dieser Art der Messung der "Auswirkung" beim Versuch, Multipole zu stapeln, stapeln sich nur die Monopolmomente gut, während die Dipolmomente marginal sind.

Und all dies setzt voraus, dass das "Stapeln" perfekt durchgeführt werden kann, wobei thermodynamische Effekte ignoriert werden, die zu magnetischen Domänen und Kristallkörnern führen.