Was bedeutet „ln“ in der Delta-V-Gleichung?

ln ist eine mathematische Funktion, das "natürliche Log"

Die meisten wissenschaftlichen Taschenrechner haben einen Schlüssel dafür.

Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm

Es ist der Logarithmus naturalis . Diese Wikipedia-Seite war das erste Ergebnis, als ich "ln" googelte. Wenn Sie in Zukunft auf Situationen wie diese stoßen und befürchten, dass zwei Buchstaben nicht ausreichen, um Ergebnisse zu erhalten, können Sie der Suche das Wort "math" hinzufügen, um der Suchmaschine mehr Kontext zu geben. Und wie Mark Morgan Lloyd in einem Kommentar erwähnte, kann die Suchfunktion von Wikipedia manchmal bessere Ergebnisse liefern als die von Google. Es gibt auch eine Website namens wolframalpha.com, die ein guter Ort ist, um Informationen über Mathematik zu erhalten. Darüber hinaus führt die Suche nach " Raketengleichung " zu einer Wikipedia-Seite, die erklärt, was alle Begriffe, einschließlich ln, sind.

Wie andere erklärt haben, ist ln der natürliche Logarithmus.

Bemerkenswert an Logarithmen im Allgemeinen ist, dass sie sehr langsam wachsen, wenn ihr Argument wächst. Tatsächlich fügt jede Multiplikation des Arguments – sagen wir eine Verdopplung – dem Logarithmus nur einen konstanten Wert hinzu. Schauen wir uns ein Beispiel an:

Bei einem Masseverhältnis beladen:leer von 10 beträgt ln(ML/ME) ~2,3: Sie können damit rechnen, auf das ~2,3-fache der Abgasgeschwindigkeit zu beschleunigen. Nehmen Sie nun an, dass Sie Ihren Kraftstoff mehr als verdoppeln :$ln (20) \approx 3.0$. Sie verdoppeln erneut: ~3,7. Nochmal: ~4.4. Jede Verdoppelung fügt nur eine konstante Geschwindigkeitserhöhung von 0,7 der Auspuffgeschwindigkeit hinzu. Der Grund dafür ist, dass Sie zu Beginn des Fluges Kraftstoff benötigen, um den Kraftstoff zu beschleunigen, den Sie erst später benötigen. Und früher brauchen Sie Kraftstoff, um den Kraftstoff zu beschleunigen, den Sie benötigen, um den Kraftstoff zu beschleunigen. Usw. Dieses „Stapeln“ ist typisch für exponentielle Prozesse. ("Der benötigte Kraftstoff wächst exponentiell mit der gewünschten Geschwindigkeit" ist die Kehrseite von "die resultierende Geschwindigkeit wächst logarithmisch mit dem Kraftstoff": Logarithmus und Exponentialfunktion sind invers zueinander).

Sie sind jetzt beim 8-fachen des ursprünglichen Kraftstoffs und Sie sind nicht einmal doppelt so schnell. Völlig außer Acht gelassen werden die baulichen Änderungen an der Rakete, die für den Achtfachen des ursprünglichen Treibstoffs erforderlich sind: Die leere Rakete ist jetzt auch um ein Vielfaches schwerer als das Originalmodell, sodass Sie tatsächlich wesentlich mehr Treibstoff als das Achtfache der ursprünglichen Menge benötigen um das erforderliche ML/ME-Verhältnis von 80 zu erreichen, für eine Geschwindigkeit, die nicht einmal doppelt so hoch ist wie die des Originals.

"Und deshalb, liebe Freunde, ist schnell so schwer." ;-)

Wenn Sie mit der Notation nicht vertraut sind$\ln$, dann ist Ihnen vielleicht auch das Konzept eines Logarithmus nicht vertraut. Es gibt viele Orte, an denen man darüber lernen kann, aber lassen Sie uns im Zusammenhang mit der Raketengleichung darüber sprechen.

Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Funktion für die Raketengleichung mit dem Verhältnis von Anfangs- zu Endmasse sehr langsam wächst:$\Delta v = v_e \ln (\frac{m_0}{m_f})$. Nehmen wir an, das ursprüngliche Delta-V unseres Raumschiffs ist$\Delta v_\mathrm{old}$. Unser Raumfahrzeug wiegt 120 Tonnen ohne Treibstoff und 2400 Tonnen mit Treibstoff, was ein Massenverhältnis ergibt$\frac{m_0}{m_f}=20$. Unsere Abgasgeschwindigkeit beträgt also 3 km/s$\Delta v_\mathrm{old} \approx 9~\mathrm{km/s}$. (Ich habe Zahlen ausgewählt, die ungefähr denen der ersten Stufe von Saturn V ähneln).

Wir arbeiten wirklich hart daran, das Raumschiff leichter zu machen, ohne die Menge an Treibstoff zu verringern, die es transportieren kann. Wir ersetzen schwere Stahlkonstruktionen durch Titan oder Beryllium. Wir entfernen die Isolierung vom Rumpf. Und mit all dieser Arbeit reduzieren wir das Leergewicht des Raumfahrzeugs von 120 Tonnen auf 40 Tonnen. Das ist eine große Leistung! Die Ingenieure sind sehr stolz auf sich.

Unser Massenverhältnis hat sich verdreifacht! Wir könnten erwarten, dass sich unser Delta-V auch verdreifachen wird! Aber wir setzen es in die Raketengleichung ein und stellen fest, dass sich Delta-V nicht verdreifacht. Es verdoppelt sich auch nicht. Wenn sich das Massenverhältnis verdreifacht (wirklich multipliziert mit$2.718...$), Die$\ln$wird nur eins größer. Wenn Sie also Ihr Massenverhältnis 3-mal besser machen können, bekommt das Delta-V nur eins mehr$v_e$dazu hinzugefügt.

$\Delta v_\mathrm{new} = v_e \ln (\frac{3m_0}{m_f}) \approx v_e + v_e\ln (\frac{m_0}{m_f}) = v_e + \Delta v_\mathrm{old}$

Wir gehen also nicht von 9 km/s auf 27 km/s oder gar 18 km/s.$\Delta v_\mathrm{new}$nur etwa 12 km/s.

Unsere Ingenieure sind traurig, aber sicher, dass sie es besser können. Wir ersetzen das gesamte Metall durch Kohlenstoffnanoröhren und Borophen. Wir lassen die Astronauten ihre Spielkonsolen nicht mitnehmen. Wir reduzieren die Trockenmasse auf 20 Tonnen, 7-mal weniger als die früheren 140 Tonnen. Mit diesen Verbesserungen der Materialien auf Science-Fiction-Niveau werden wir jetzt sicherlich in der Lage sein, ein größeres Delta-V zu erreichen.

Wir erhöhen das Massenverhältnis um den Faktor 7 relativ zu unserem ursprünglichen Fahrzeug, aber das Delta-V erhöht sich nicht um den Faktor 7. Es verdoppelt sich nicht einmal!

$\Delta v_\mathrm{new} = v_e \ln (\frac{7m_0}{m_f}) \approx 2v_e + v_e\ln (\frac{m_0}{m_f}) = 2v_e + \Delta v_\mathrm{old}$

Wir haben das Reich der Science-Fiction erreicht, aber wir erreichen immer noch nur 15 km/s statt 9 km/s. Eine andere Möglichkeit, dies zu verstehen, ist, dass Sie Kraftstoff mitnehmen müssen, um Kraftstoff zu transportieren. Deshalb ist es so schwer, diesen Planeten zu verlassen.