Was bedeutet "Teilchenzahlerhaltung" in der Physik der kondensierten Materie?

Die Erhaltung der Teilchenzahl ist eine Symmetrie des Systems. Wie Akshay Kumar in seiner Antwort sagte , bleibt der Teilchenzahloperator erhalten, wenn er mit dem Hamiltonoperator pendelt. Es bedeutet einfach, nun, das ist die Anzahl der Teilchen, die erhalten bleibt. Teilchen sind alles, was in kondensierter Materie diskutiert wird (eigentlich besser gesagt Quasi - Teilchen ), wie Elektronen und Löcher (sicherlich die bekanntesten, aber wir sollten sagen, Quasi-Teilchen mit positiver und negativer Anregungsenergie relativ zur Fermi-Energie, wenn wir waren nicht faul: Ich denke, die Länge ihrer genauen Namen ist ausreichend, um Elektron und Loch zu haltenim Folgenden :-). Es sollte also in Ordnung sein zu wissen, ob einige (Quasi-)Partikel aus dem Nichts herausspringen können oder nicht . Glücklicherweise tauchen sie bei Erhaltung der Teilchenzahl nicht aus dem Nichts auf , sondern können nur von einem anderen (Quasi-)Teilchen umgewandelt werden. Das passiert bei der Supraleitung: Zwei Elektronen verschwinden und ein Cooper-Paar entsteht (in einer wirklich bildhaften Redeweise).

Für die Supraleitung ist es einfacher zu sagen, dass Sie die Anzahl der Teilchen erhalten, wenn Ihr Hamilton-Operator in Bezug auf die Transformation unveränderlich ist

bei dem die$c$s sind die fermionischen Operatoren und$\theta$ein Engel. Eigentlich,$\theta$ist besser als Generator der U(1)-Rotation definiert . Insbesondere wenn Ihr Hamilton-Operator (besser gesagt ein Lagrange-Operator) mit der oben definierten Phasenverschiebungsoperation invariant ist, können Sie ihm einen Noether-Strom zuordnen. Für die Rotationssymmetrie U(1) ist der erhaltene Strom der Teilchenstrom. Insbesondere für zeitunabhängige Probleme (zur Vereinfachung beispielsweise) bleibt die Anzahl der Teilchen erhalten, wenn Ihr Hamilton-Operator unter der oben definierten Transformation invariant ist.

Der BCS-Hamiltonian , der die konventionelle Supraleitung beschreibt, liest sich (ich verwerfe den Ein-Körper-Term und den Spin der Einfachheit halber: Sie ändern nichts an den Schlussfolgerungen, zu denen wir gelangen wollen)

so dass das Ausführen der U (1) -Drehung es nicht ändert, da es die gleiche Anzahl von gibt$c$als die Zahl der$c^{\dagger}$Betreiber.

Unterhalb der kritischen Temperatur erscheint die neue supraleitende Phase, gekennzeichnet durch einen nicht verschwindenden Ordnungsparameter ( also die Anzahl der Cooper-Paare, immer noch bildlich gesprochen -- besser gesagt der supraleitende Lückenparameter )

die sich unter einer U(1)-Phasenverschiebung wie transformiert

da es jetzt zwei sind$c$Betreiber nicht von einigen kompensiert$c^{\dagger}$. Also der Bestellparameter$\Delta$ist unter der U(1)-Phasentransformationssymmetrie nicht unveränderlich. Man sagt, dass der Grundzustand der Supraleitung die Anzahl der Teilchen nicht erhält .

Beachten Sie, dass:

• Zu sagen, dass die Anzahl der Teilchen nicht erhalten bleibt, ist ein Sprachmissbrauch, da die Gesamtzahl der Elektronen sowohl in der normalen als auch in der supraleitenden Phase gleich ist. Die kondensierte (supraleitende) Phase verifiziert einfach nicht die Invarianz unter der U(1)-Rotation. Aber es stimmt, dass einige Elektronen gewissermaßen verschwinden. Wie ich in der Einleitung sagte: Sie werden in Cooper-Paare umgewandelt (wiederum eine bildhafte Redeweise).

• Ein solcher Mechanismus, bei dem der Hamiltonoperator eine Symmetrie verifiziert, die sein Grundzustand nicht hat, wird als spontane Symmetriebrechung bezeichnet . Supraleitung ist nur ein Beispiel für einen solchen Mechanismus.

• $\Delta$bleibt unter der eingeschränkten Rotation invariant$c\rightarrow e^{\mathbf{i}n\pi}c$mit$n\in\mathbb{Z}$. Da es nur zwei solcher Rotationselemente gibt$e^{\mathbf{i}n\pi}=\pm 1$, sagt man, dass zu U(1) gebrochen wurde$\mathbb{Z}_{2}$(eine ausgefallene Notation für die Gruppe von nur zwei Elementen).

Post-Scriptum: Bitte sagen Sie mir, wenn Sie weitere Erklärungen zu einigen Begriffen benötigen. Ich weiß nicht, wo Sie anfangen, und meine Antwort ist ein bisschen abrupt für junge Studenten, glaube ich.

Denken Sie daran, die Gleichung für den Zahlenoperator N im Heisenberg-Bild aufzuschreiben. Wenn nun N mit dem Hamiltonoperator H kommutiert, dann ist die zeitliche Ableitung von N 0, dh N ist erhalten.