Was bestimmt die Konfiguration der Bahnen in einem binären System?

Nach der Konvention$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$,$M = m_1+m_2$, im Schwerpunktsystem haben wir per Definition

$$\begin{eqnarray*}\mathbf{r}_1 = -\frac{m_2}{M}\mathbf{r}\text{,}\quad&\mathbf{r}_2 = \frac{m_1}{M}\mathbf{r}\text{.}\end{eqnarray*}$$ Somit, $\ddot{\mathbf{r}} = -GM\hat{\mathbf{r}}/r^2$impliziert, dass die einzelnen Umlaufbahnen in diesem Rahmen ähnliche Kegelschnitte sind, und darüber hinaus im gebundenen Fall Ellipsen sind, die einen gemeinsamen Fokus im Massenzentrum haben, wobei alle drei unterschiedlichen Fokusse kollinear sind und das Zentrum zwischen ihnen liegt. Obwohl es einen degenerierten Fall einer kreisförmigen Umlaufbahn gibt.

Daher gibt es eine geometrisch einfache Bedingung für die sich überschneidende Konfiguration: Es gibt eine Überschneidung genau dann, wenn der Abstand zur Apoapsis der größeren Masse (kleinere Umlaufbahn) größer oder gleich dem Abstand zur Periapsis der kleineren Masse (größere Umlaufbahn) ist ). Da eine allgemeine Ellipse in Polarkoordinaten um einen Brennpunkt beschrieben werden kann durch

$$r = \frac{p}{1+e\cos(\phi-\phi_0)}\text{,}$$ wo $e$die Exzentrizität ist und die einzelnen Umlaufbahnen proportional sind, haben wir Schnittpunkt genau dann, wenn $$\frac{1-e}{1+e}\leq \frac{m_1}{m_2}\leq\frac{1+e}{1-e}\text{,}$$ da die Apsiden auftreten, wenn der Kosinusterm ist $\pm 1$.