Was bestimmt die vorherrschende Druck-Durchfluss-Beziehung für ein Gas über eine Durchflussbegrenzung hinweg?

Regime

• 1 - niedrige Reynods-Zahl:

  • Viskosität (Scherspannung) dominiert
  • es ist weniger wahrscheinlich, dass es zu Turbulenzen übergeht
  • $\Delta P \propto Q,\,\,\,$ Gl.(1) : linear ($K_1$)

• 2 - hohe Reynoldszahl:

  • Trägheit dominiert
  • eher Übergang zu Turbulenz darstellen
  • $\Delta P \propto Q^2,\,\,\,$ Gl.(2) : quadratisch ($K_2$)

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Regime 1 wird durch Gleichungen wie die Hagen-Poiseuille-Gleichung und das Gesetz von Darcy beschrieben .

Der Ausdruck des Originalplakats (OP) stimmt tatsächlich mit einer bekannten Verallgemeinerung des Darcy-Gesetzes für höhere Reynoulds-Zahlen überein, dem Darcy-Forchheimer-Gesetz :

$$\partial P/\partial x = AQ^2 + BQ$$

Und auch die Hagen-Poiseuille „ versagt in der Grenze von niedriger Viskosität, breitem und/oder kurzem Rohr “ [Wikipedia] und wird dann durch Gl. (2) begrenzt.

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Verweise

• Hauptreferenz: der Laminar & Turbulent Flow-Vortrag auf Jens Ducrées myFluidix.com , wo für konkrete Beispiele gezeigt wird, dass:

  1. Wenn die Scherspannung wichtig ist, dh wenn die Reynolds-Zahl niedrig ist, dominiert die Viskosität die Strömung und Sie haben (S. 26) Regime 1;

  2. Für hohe Reynolds-Zahlen ergibt der Blasius-Ausdruck für den Fanning-Reibungsfaktor (S. 51)

     $$\Delta P \propto Q^{7/4},$$ wovon Gleichung (2) eine Annäherung ist.

• Im sechsten Kapitel [Gl. (6.1.27) und (6.1.13)] seines Buches Fluid Mechanics for Chemical Engineers bestätigt Wilkes detailliert Szenario 1, dh er zeigt, dass Strömungen mit niedriger Reynods-Zahl (dh viskositätsdominiert) Gleichung (1) erfüllen. .

• In Emersons Differential pressure Engineering Guide wird dies anhand der Bernoulli-Gleichung gezeigt$^\mathrm{footnote 1}$, dass Flüsse mit hoher Reynoldszahl der Gleichung (2) folgen (deren Gleichung 3.15). Später im Buch wird eine allgemeine Macht-$n$Abhängigkeit wird für nicht-newtonsche Flüssigkeiten gefunden (Gl. 11.1.14).

• Dieses Anästhesiologie-Tutorial (oder hier ) bietet eine intuitive physikalische Erklärung: „[mit Turbulenz] ist die Strömung weniger geordnet und die Wirbelströme reagieren miteinander, wodurch der Strömungswiderstand oder -widerstand erhöht wird eine gegebene Strömungsrate bei turbulenter Strömung im Vergleich zu einer laminaren Strömung. Dies wird am besten durch die Tatsache demonstriert, dass bei turbulenter Strömung die Strömungsrate proportional zur Quadratwurzel des Druckgradienten ist, während bei laminarer Strömung die Strömungsrate direkt ist proportional zum Druckgradienten."

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$^\mathrm{footnote1}$ ^{: Die Bernoulli-Gleichung ist gültig, solange die Scherspannung keine Rolle spielt: hohes Re entfernt von Grenzschichten: „Außerhalb der Grenzschicht können sogar reale, viskose Strömungen als nichtviskos behandelt werden [und] Sie können die Bernoulli-Gleichung anwenden“, als argumentiert in diesem sehr informativen Forenthread .}

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Öffnungen

Strömungen durch Öffnungen sind typischerweise mit hohen Reynolds-Zahlen verbunden. Dies ist daran zu erkennen, dass die Geschwindigkeitsänderung bei abrupten Durchmesseränderungen wahrscheinlich groß ist, oder alternativ daran, dass die Öffnung als Grenzfall eines endlichen Rohrs mit zunehmendem Durchmesser betrachtet wird ( Tutorial ) . Und Wikipedia gibt auch$\Delta P \propto Q^2$für Öffnungen.

Interessanterweise gibt es jedoch eine viel zitierte Veröffentlichung, „ An orifice flow model for laminar and turbulent conditions “ , die „eine lineare Beziehung für kleine Druckunterschiede und das herkömmliche Quadratwurzelgesetz für turbulente Bedingungen bereitstellt“.

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Navier-Stokes

Was folgt, ist eine Skizze einiger Schritte, um den OP-Ausdruck qualitativ aus Navier-Stokes (NS)-Gleichungen zu erhalten. Es ist eher eine Handbewegung als ein mathematischer Beweis, da längere, korrekte Ableitungen bereits in den obigen Referenzen zu finden sind.

Ich betrachte, wann immer möglich, nur eine Dimension, so wie es im Abschnitt "Reynolds-Zahl" von Bob McGintys Website getan wird . Wir beginnen mit der üblichen NS-Gleichung:

$$\nabla P = \frac{1}{\mathrm{Re}} \nabla^2\mathbf{v} - \frac{D\mathbf{v}}{Dt}.$$

• 1.: in 1-D,$\nabla$ist eine räumliche partielle Ableitung ($\nabla P = \partial P/\partial x$, oder, für stetige Strömungen, einfach$dP/dx$) und da uns der integrale Druckabfall entlang der festen Länge interessiert$\Delta x = L$entlang des Hindernisses könnte der Begriff weiter vereinfacht werden$\Delta P/L$(dimensional).

• 2.:$\nabla^2\mathbf{v} = \partial^2v/\partial x^2 + \partial^2v/\partial y^2$ist der Viskositätsterm (er kann als Momentendiffusion verstanden werden).

• 3.:$D\mathbf{v}/Dt$ist das materielle Derivat und steht für$\partial \mathbf{v}/ \partial t + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{v}$. Für einen stationären Fluss verschwindet der erste Term und der zweite Term ist$(v \partial v/\partial x + u \partial v/\partial y)$, das ist die konvektive Beschleunigung , dh eine räumliche Änderung der Geschwindigkeit, und wo$u$bezeichnet die Geschwindigkeit in Richtung(en) senkrecht zur (freien) Strömung.

Damit wird NS zu:

$$\frac{dP}{dx} = \frac{1}{\mathrm{Re}} \left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2}\right) - \left(\frac{v\partial v}{\partial x} + u\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$

• Regime 1 - niedrige Reynods-Zahl:

Für klein$\mathrm{Re}$Werte, wird der viskose Term dominant und wir können den Trägheitsterm (Materialableitung) vernachlässigen. In Anbetracht einer$x$-unabhängig$v=v(y)$Profil ($\partial^2v/\partial x^2$verschwindet dann, und z.$\partial^2v/\partial y^2$ist für ein parabolisches Profil konstant), und wir können die NS-Gleichung schreiben als

$$\Delta P = \frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{d^2v}{dy^2} \Rightarrow$$ $$\int \Delta P dy = \frac{1}{\mathrm{Re}} \int \frac{d^2v}{dy^2}dy = \frac{1}{\mathrm{Re}} \int \frac{d}{dy}\left(\frac{dv}{dy}\right)dy\Rightarrow$$ $$\int\int \Delta P dy^2 = \frac{1}{\mathrm{Re}} \int \frac{dv}{dy}dy\Rightarrow v \propto \Delta P$$

Der Fluss$Q = \int v\, dA$ist also in ordnung

$$Q \propto \Delta P. \,\,\,\, \mathrm{ Eq.(1)}$$

• Regime 2 - hohe Reynods-Zahl:

Für groß$\mathrm{Re}$-Werte verschwindet der viskose Term aus der NS-Gleichung, und wenn wir die Strömung durch das Hindernis als größtenteils unidirektional betrachten (z. B. durch eine Öffnung), haben wir dies auch$u\approx0$und kann schreiben:

$$\frac{dP}{dx} = - v\frac{dv}{dx} \Rightarrow$$ $$\int \frac{dP}{dx}dx = - \int v\frac{dv}{dx} dx = - \int v dv = v_1^2 - v_2^2$$

Für eine inkompressible Flüssigkeit gilt$v_1A_1 = v_2A_2$, So$v_1^2-v_2^2 = v_1^2(1-A_1^2/A_2^2)$, daher

$$\Delta P \propto v^2 \Rightarrow v \propto \sqrt{\Delta P},$$

und die Strömung$Q = \int v\, dA$Ist

$$Q \propto \sqrt{\Delta P}. \,\,\,\, \mathrm{Eq.(2)}$$

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Ursprüngliche Antwort

Es scheint, dass die einheitliche Beschreibung, nach der Sie suchen, durch den Übergang zwischen laminaren und turbulenten Strömungen gegeben ist, quantifiziert durch die Reynolds-Zahl - wobei die turbulente Strömung mit dem quadratischen Term und die laminare Strömung mit dem linearen verknüpft ist.

So viel könnte man vielleicht aus der dimensionslosen Form der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen entnehmen :

$$\nabla p = \frac{1}{\mathrm{Re}}\nabla^2\mathbf{v} - \frac{D\mathbf{v}}{Dt}.$$

Aber es ist die Mathworks Simscape-Dokumentation , die mir diesbezüglich mehr Vertrauen gibt:

Druckdifferenzen proportional zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit [...] ist das typische Verhalten für turbulente Strömungen. Bei laminarer Strömung wird die Druckdifferenz jedoch in Bezug auf die Durchflussrate linear

Sie können auch einige Informationen zu den Koeffizienten der finden$\Delta P$Gleichung für die laminaren und turbulenten Fälle hier .

Lösungen, die davon abhängen$\Delta P \propto Q^{2}$beziehen sich auf den normalen Luftwiderstand , der nur vom Staudruck abhängt,$\rho \ U^{2}/2$, ein Luftwiderstandsbeiwert,$C_{d}$, und die betroffene Querschnittsfläche,$A$, oder:

$$F_{d} = \frac{1}{2} \ \rho \ U^{2} \ C_{d} \ A \tag{1}$$

Lösungen, die davon abhängen$\Delta P \propto Q$werden vom Stokes-Widerstand dominiert , wobei die Widerstandskraft gegeben ist durch:

$$F_{s} = 6 \ \pi \ \eta \ r \ U \tag{2}$$ Wo $\eta$ist die dynamische Viskosität , $r$ein effektiver Radius oder eine Skalengröße des Objekts ist, und $U$ist die Volumenströmungsgeschwindigkeit relativ zum Objekt.

Ich verstehe, dass die Bernoulli-Gleichung dominiert, wenn die Geschwindigkeiten groß sind, und daher die quadratische Beziehungskomponente. Aber was ist das bestimmende$K_{1}$Komponentenverhalten? Liegt dies daran, dass Viskositätseffekte dominieren? Wird die Pouiselle-Beziehung dominant?

Ja, es ist ein effektiver viskoser Effekt. Wenn die Beschränkung oder das Hindernis eine einzige Form haben und die Strömung relativ stetig, laminar ist , dann dominiert die obige Gleichung 1. Wenn der Strömungsweg mehrere Windungen hat oder das Fluid hochviskos oder die Strömung turbulent ist , dann dominiert die obige Gleichung 2.

Der Stokes-Widerstand (Gleichung 2) ergibt sich aus dem Dehnungstensor in den Navier-Stokes-Gleichungen, während der aerodynamische Widerstand (Gleichung 1) aus einer Annäherung für den Drucktensor aus der Bernoulli-Gleichung entsteht .

Die Trennung zwischen den beiden wird durch die Reynolds-Zahl angenähert, die gegeben ist durch:

$$Re = \frac{ \rho \ U \ L }{ \eta } \tag{3}$$ Wo $\rho$ist die Massendichte der Flüssigkeit und $L$ist die charakteristische Skalengröße. Turbulente Strömung setzt für hoch ein $Re$, aber der Beginn hängt davon ab, ob die Flüssigkeit ein Hindernis umströmt (z. $Re > 10^{5}$) oder durch ein Rohr (z. $Re > 10^{3}$).

Es sind einfache Grenzen/Beispiele zu berücksichtigen, wenn die Gleichungen 1 und 2 dominieren. Wenn Sie versuchen, einen Stock / eine Stange durch eine dicke, viskose Flüssigkeit wie Honig zu ziehen, ist Gleichung 2 offensichtlich die relevante Widerstandskraft. Wenn Sie denselben Stock/Stab so schnell durch die Luft ziehen, wie sich Ihr Arm bewegen kann, dann dominiert Gleichung 1.

Wenn Sie eine Flüssigkeit haben, die dazwischen liegt, können beide Gleichungen eine wichtige Rolle spielen. Zum Beispiel ist Luft im Allgemeinen nicht sehr viskos, aber wenn Sie sie mit ausreichend hoher Geschwindigkeit durch ein kleines Rohr mit mehreren Biegungen zwingen, kann sie sich wie eine viskose Flüssigkeit verhalten. Leider ist die Reynolds-Zahl kein exakter Parameter, da sie dies nicht am Wert angibt$Re = X$dann ist die Strömung exakt laminar.