Was geschah mit Hilberts sechstem Problem (der Axiomatisierung der Physik) nach Gödels Arbeit?

Ich werde die Frage schreiben, aber ich bin nicht ganz überzeugt von den Prämissen, die ich hier mache. Es tut mir leid, wenn mein Vorschlag zu dumm ist.

Hilberts sechstes Problem bestand ungefähr darin, Axiome für die Physik zu finden (und es wurde vorgeschlagen in 1900 ). Ich schätze, dass so etwas damals aufgrund der Natur der Physik, die hauptsächlich auf Beobachtungen und Modellen basiert, unmöglich war. Aber es scheint, dass nach Gödels Arbeit weiter 1931 , die Axiome, die als selbstverständliche Wahrheiten angesehen wurden, begannen, als unbeweisbare Aussagen angesehen zu werden, und die Aufgabe eines Mathematikers besteht grob darin, Theoreme aus diesen Axiomen abzuleiten.

Wenn also diese Verschiebung der axiomatischen Konzeption wirklich stattgefunden hat, könnten wir dann nicht einfach irgendetwas (einschließlich der physikalischen Beobachtungen) als Axiome akzeptieren und über ihre Konsequenzen argumentieren? Also irgendwie Hilberts sechstes Problem lösen ?

Zunächst müssten Sie ein richtiges Modell erstellen und experimentell beweisen. Sie könnten sich Folgendes ansehen: Axiomatische Quantenfeldtheorie, obwohl ich denke, dass sie unvollständig ist.
Mehr zu Gödels Unvollständigkeitssatz in der Physik: physical.stackexchange.com/q/14939/2451 . Mehr zur Strenge in der Physik: physical.stackexchange.com/q/27665/2451 , physical.stackexchange.com/q/6530/2451 und Links darin.
Die Antwort ist ja, und das tun wir.
Diese Frage scheint auf einem Missverständnis über Unvollständigkeit und den Sinn der Axiomatisierung zu beruhen. Wir suchen nach prägnanten Axiomen, um zu verstehen, wie gut eine Theorie beschrieben werden kann, wenn sie auf einigen wenigen Organisationsprinzipien basiert. Wenn Sie alle Beobachtungen als Axiome nehmen, gewinnen Sie kein Verständnis. Die Antwort auf die Titelfrage lautet: keine wesentliche Änderung.
Die physikalischen Beobachtungen sind alle ungefähr, und einige von ihnen sind falsch, so dass Sie auch mit Widersprüchen enden würden. Man kann auch nichts ohne ein Gesetz vorhersagen , aber das Gesetz folgt niemals axiomatisch aus den Beobachtungen.

Antworten (5)

Nun, das Problem ist immer noch offen.

Obwohl die Axiome vielleicht als selbstverständlich für die Mathematik angesehen wurden, wollte Hilbert nicht wirklich, dass mathematisch selbstverständliche Axiome die Grundlage für physikalische Axiome sind. Seit Gauß und dem hyperbolischen Raum ist bekannt, dass man aus unterschiedlichen Annahmen, die alle als "selbstverständlich" angesehen werden könnten, gleichermaßen gültige Modelle erhalten kann. Haben wir konvexe, hyperbolische oder euklidische Geometrie? Dies hängt von Ihren Axiomen ab und ohne Physik können Sie nicht dorthin gelangen. Also, wie auch immer die Axiome aussehen sollten, sie müssen etwas Physik beinhalten.

Die Gödelschen Sätze hatten also meines Erachtens keinen Einfluss auf dieses Problem in dem von Ihnen beschriebenen Sinne. Hilberts Idee war es, mit einer Reihe von Axiomen zu beginnen, die eine große Klasse physikalischer Phänomene erklären könnten, und dann nach und nach Axiome hinzuzufügen, um mehr Phänomene zu erklären und der Realität näher zu kommen. Offensichtlich müssen Sie in jedem Schritt mathematisch beweisen, dass alle alten Ergebnisse gültig bleiben und Ihre Axiome nicht widersprüchlich sind (die Sätze von Gödel haben natürlich Einfluss darauf). Er hat nichts darüber gesagt, wie man die Axiome erhält. Ich schätze, was er wirklich im Sinn hatte, war so etwas wie die spezielle Relativitätstheorie. Man nehme die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit und das Relativitätsprinzip, die man mathematisch formulieren kann, und man nimmt ein paar Axiome der zugrunde liegenden Geometrie und daraus Sie können die spezielle Relativitätstheorie ableiten. Insbesondere befasste er sich mit der statistischen Mechanik (und später der Quantenmechanik) in dem Sinne, dass Menschen Mittelwerte und thermodynamische Grenzen verwendeten, um Ergebnisse zu erhalten – Konzepte, die zu dieser Zeit keine solide mathematische Grundlage hatten (die Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde von Kolmogorov durchgeführt einige Zeit später bleiben thermodynamische Grenzen meines Wissens sehr oft problematisch).

Das bedeutet, wie bereits in den Kommentaren angedeutet, dass es bei dem Problem wirklich um mathematisch strenge Physik geht. Hilberts Idee war es, die Mathematik überall dort streng zu machen, wo sie verwendet wird – und streng in seinem Sinne (was auch heute noch der Fall ist) ist, dass man mit einer Reihe von Axiomen beginnt und alles von dort ableitet.

Hilbert war es also in gewisser Weise egal, woher die Axiome kamen, er wollte nur welche haben. Er hat nicht einmal die Anzahl der Axiome eingeschränkt. Natürlich könnten wir einfach alles zusammensetzen, die verbleibenden Probleme beschreiben, indem wir die Beobachtungen einfach als Axiome nehmen - aber dann könnten wir entweder Widersprüche/Inkonsistenzen bekommen, die wir beweisen können, was bedeutet, dass wir diese Axiome verwerfen müssen - oder wir haben eine Vielzahl von Axiomen, die nicht wirklich zusammenhängen und sehr eigenartig sind, was nicht wirklich befriedigend ist. Was wir wollen, ist ein "minimales" Axiomensystem für unsere Theorien, sonst wird es zu kompliziert.

Sind wir schon da? Auf keinen Fall. Wir haben ein paar Theorien mit guten axiomatischen Grundlagen (wie gewöhnliche Quantenmechanik, allgemeine Relativitätstheorie oder klassische Mechanik), wo wir "eine" Lösung haben, aber vielleicht keine schöne (Hilbert-Räume in der Quantenmechanik? Nicht sehr intuitiv ... C *-Algebren sind ein bisschen besser, aber immer noch) und einige, die noch in Arbeit sind - wie die Quantenfeldtheorie (z. B. ist die Renormierung an vielen Stellen nicht streng. Pfadintegrale sind es nicht. All dieses Zeug). Und wir sind sicherlich noch lange nicht in der Nähe eines mathematisch rigorosen EVG.

Hilberts sechstes Problem ist nicht dasselbe, wie die Theorie von allem zu finden und dann die Mathematik streng zu machen. Dies ist ein weit verbreitetes Missverständnis und hat dazu geführt, dass die Leute dachten, die Renormalisierung in QFT sei das Wichtigste, was zu tun sei.

Tatsächlich erklärte Hilbert jedoch ausdrücklich, dass es ebenso wichtig sei, falsche physikalische Theorien zu axiomatisieren. Ich interpretiere dies so: Nun, QM ist falsch, da es im Allgemeinen nicht kovariant ist, und GR ist falsch, da es nicht quantitativ ist, aber es ist immer noch wichtig zu sehen, ob sie axiomatisiert werden können oder nicht.

Archimedes, Newton, Maxwell und Hertz waren alle echte Physiker, die axiomatische Behandlungen eines Zweigs der Physik veröffentlichten. Obwohl Hertz und Maxwell am bekanntesten für ihre Beiträge zu Elektrizität und Magnetismus sind, veröffentlichten sie ironischerweise nur Axiomatisierungen der Mechanik.

Ein weiteres Missverständnis ist, dass Kolmogoroff den Teil von Hilberts Problem gelöst hat, der sich auf Wahrscheinlichkeiten bezieht. Dieses Missverständnis wurde von Kolmogoroff nicht geteilt! Er wusste sehr wohl, dass die Axiomatisierung der rein mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie nur eine nützliche Vorstufe war: Was Hilbert wirklich wollte, war die Axiomatisierung der Konzepte der physikalischen Wahrscheinlichkeit . Ist „Wahrscheinlichkeit“ innerhalb der Physik ein neues, primitives Konzept, das zusammen mit Masse und Zeit zu Hertz' Liste hinzugefügt werden muss, oder kann es in Bezug auf Masse, Zeit usw. genau definiert werden?

Wenn große Vereinheitlichung oder Renormierung keine neuen axiomatischen Schwierigkeiten aufwerfen, bleiben zur Lösung von Hilberts sechstem Problem nur noch zwei Dinge übrig: a) das Problem, auf das Wigner bezüglich des Messkonzepts im QM hingewiesen hat (Bell analysierte http://www .chicuadro.es/BellAgainstMeasurement.pdf das Problem auf die gleiche Weise wie Wigner) und b) die Definition der physikalischen Wahrscheinlichkeit, dh des Wahrscheinlichkeitsbegriffs, der in der QM vorkommt. Hilbert selbst war besorgt über die Kausalität in GR, löste dieses Problem jedoch selbst. Hilbert wies auf die Unklarheit in der Beziehung zwischen Mechanik und Stat-Mech hin, aber Darwin und Fowler lösten das in den 1920er Jahren.

Viele Physiker, insbesondere HS Green in "Observation in Quantum Mechanics", Nuovo Cimento vol. 9 (1958) nr. 5, S. 880-889, von mir unter http://www.chicuadro.es/Green1958.ps.zip gepostet , und jetzt realistischere Modelle von Allahverdyan, Balian und Nieuwenhuizen arXiv:1003.0453, haben auf die Möglichkeit hingewiesen Behebung des Messproblems, das Wigner beunruhigte: Sie haben das physikalische Verhalten eines Messgeräts analysiert und gezeigt, dass die Messaxiome der QM ungefähr aus der Wellengleichung folgen. Sie tun dies auf logisch zirkuläre und schlampige Weise, aber die Logik kann behoben werden.

Die physikalische Wahrscheinlichkeit kann in QM definiert werden, und ihre Definition dort ist parallel zu ihrer Definition in der Klassischen Mechanik: Jede beinhaltet die Verwendung einer neuen Art von thermodynamischen Grenzwerten (im Quantenfall http://arxiv.org/abs/quant-ph /0507017 , bei dem nicht nur die Anzahl der Freiheitsgrade des Messgeräts unbegrenzt zunimmt, sondern auch die Plancksche Konstante gegen Null geht).

Die Leute, die die wichtigste Arbeit geleistet haben, sind also: Hilbert, Wiener, Weyl, Schroedinger, Darwin, Fowler, Kolmogoroff, Wigner, Khintchine, HS Green, Bell, Prof. Jan von Plato und ich. (Schroedinger konnte zweimal einbezogen werden: Er und Debye halfen Weyl bei der Formulierung der ersten Axiomatisierung von QM. Später beeinflusste er HS Green in seiner Behandlung der Messung als Phasenübergang.)

Genauer gesagt zu Ihren speziellen Anliegen

Goedelisierung Historisch gesehen hatte Goedels Unvollständigkeitssatz keinen Einfluss auf diejenigen, die an diesem Problem arbeiteten. Ob dies Kurzsichtigkeit oder höhere Weisheit war, wird jetzt angesprochen.

Da es in der Physik um die reale Welt geht, gibt es keine wirklichen Sorgen um ihre Konsistenz. Unklar ist, ob es Peano-Arithmetik enthalten muss. Mengen sind physikalisch nicht real, also Zahlen auch nicht. Es ist nicht einmal klar, ob die Physik die Teile zweiter Ordnung der Logik braucht, die Unvollständigkeit erzeugen. Die üblichen Axiome der QM enthalten eine typische Hamiltonsche Dynamik, also alle physikalischen Fragen der Form «Wenn das System im Zustand beginnt ψ Ö zum Zeitpunkt t Ö , was sein Zustand zu der Zeit sein wird t ? » sind in geschlossener Form beantwortbar und in beliebiger Annäherung berechenbar, so dass das System sozusagen physikalisch vollständig ist. Beachten Sie, dass all diese Fragen im Wesentlichen Fragen erster Ordnung sind.

Wie jemand anderes betonte, ist die relative Konsistenz genauso interessant wie die Konsistenz, und darüber gibt es auch keine wirklichen Bedenken.

Hilbert selbst wies explizit auf seine eigene Axiomatisierung der Euklidischen Geometrie als Beispiel für die Physik hin. Diese Axiome erlauben es einem nicht, Mengen zu definieren oder alle reellen Zahlen zu konstruieren.

Berechenbarkeit

Einige haben versucht zu argumentieren, dass, da man einen Computer (oder sogar eine Turing-Maschine) physisch bauen kann, die Axiome der Physik alles implizieren müssen, was die Theorie der Berechnung impliziert, einschließlich ihrer eigenen Unvollständigkeit. Aber das ist offensichtlich falsch: Es ist physikalisch unmöglich, einen geräuschlosen Digitalcomputer zu bauen. Die Boolesche Welt kann nur näherungsweise durch physikalisch konstruierte Maschinen realisiert werden. Aber die Beweise der Unvollständigkeit werden ungültig, sobald Sie den Begriff der Annäherung einführen. Niemand hat auch nur eine Theorie physikalisch realisierbarer Geräte formuliert, die parallel zu der idealisierten Berechnungstheorie wäre, die Mathematiker erfunden haben.

Und umgekehrt: Andere haben versucht, umgekehrt zu argumentieren, dass die Physik (sicherlich QM) näherungsweise berechenbar ist, dass sie also unvollständig sein muss. Für mich scheint das nur verwirrt zu sein. Nicht jede berechenbare Theorie erfüllt die Hypothesen von Gödels Unvollständigkeitssatz: Die Logik erster Ordnung ist berechenbar, entscheidbar, vollständig und widerspruchsfrei (Theoreme von Gödel und Herbrand).

Unentscheidbare Probleme in Mathematik sind nicht physikalisch

Beispiele für unentscheidbare Probleme in Mathematik sind: Entscheiden Sie bei gegebener Menge von Generatoren und Relationen, ob die Gruppe, die sie bestimmen, nicht trivial ist oder nicht.

Nun, die Physik verwendet keine Generatoren und Relationen.

Einbeziehung von Hilbert-Räumen: Ich weiß nicht, ob es unentscheidbar ist, aber es ist sicherlich ein wildes Problem , Operatorenpaare auf einem gegebenen Hilbert-Raum bis zur einheitlichen Äquivalenz zu klassifizieren. Aber in der QM ist aufgrund der Relativitätstheorie nicht jeder Unterraum eines Hilbert-Raums physikalisch . Lassen G sei die Lorentz-Gruppe und K eine maximal kompakte Untergruppe von sein G . Die einzigen physikalisch signifikanten Hilbert-Räume sind solche mit einem dichten Unterraum von K -endliche Vektoren. Also die einzigen physikalisch bedeutsamen Unterräume v eines gegebenen Hilbert-Raums sind diejenigen, deren Schnittpunkt mit dem K -endliche Vektoren sind dicht in v . Also kann kein Operator, dessen Bild diese Eigenschaft nicht erfüllt, «physisch» sein. Dies zähmt das Problem erheblich und reduziert es im Wesentlichen auf Algebra statt auf Analyse.

Das Halteproblem: Viele Leute auf dieser Seite haben bereits versucht zu argumentieren, dass dies ein unphysikalisches Problem ist, da es sich um ein unendliches Zeitverhalten handelt. Mir erscheint dieser Einwand zu einfach und philosophisch. Der stärkere Einwand ist, dass es in der realen Welt keine digitalen Computer gibt. Keine Turing-Maschinen. Denn alles, was wir machen können, sind verrauschte Annäherungen an einen Digitalcomputer oder eine Turing-Maschine. In der Natur gibt es keine exakt sich selbst reproduzierenden Einheiten, sondern nur annähernd reproduzierende Einheiten. (Dies macht einen großen Unterschied in Bezug auf die beteiligten Wahrscheinlichkeiten.) Da nun die theoretischen Schlussfolgerungen über Unvollständigkeit usw. vom genauen Verhalten dieser Idealisierungen abhängen, gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass sie für tatsächliche laute Maschinen gelten, die von selbst anhalten weil sie müde werden...

¿Was wäre nötig, um eine Revolution im Gödel-Stil in der Physik zu machen?

Viele Physiker haben bereits entschieden, dass es stattgefunden hat – aber sie sind nicht diejenigen, die an Hilberts Sechstem Problem arbeiten. Wigner und Bell waren in der Lage, Hilberts axiomatische Haltung zu verstehen, und Wigners Analyse des Problems mit den Axiomen der QM ist durch und durch in Hilberts Geist. Wenn das Problem, auf das Wigner hinwies, nicht gelöst werden könnte und wenn QM (in dieser Hinsicht) ein grundlegender Teil der Physik bleibt (wovon sowohl ich als auch Steven Weinberg überzeugt sind – im Gegensatz zu JS Bell, der davon überzeugt war, dass das Problem unlösbar war und daher würde QM so reformiert werden, dass die Schwierigkeit beseitigt wird), dann wird Hilberts sechstes Problem den gleichen Schlag erlitten haben, den Goedel seinem zweiten Problem zugefügt hat. Viele Physiker haben vorausschauend entschieden, dass dies der Fall ist.

Aber es gibt mindestens zwei Mainstream-Ansichten, die glauben, dass Wigners Problem gelöst werden kann, indem die Messaxiome auf Annäherungen herabgestuft werden, die aus den anderen Axiomen abgeleitet werden können. Die Dekohärenztheorie ist noch nicht der Konsens der Physik-Community, würde aber Hilberts Speck retten. Es gibt viele Beiträge in diesem Forum über die Dekohärenztheorie. Die von mir bevorzugte Argumentationslinie, die von HS Green initiiert und von Allahverdyan et al., auf die oben verwiesen wurde, realistischer gemacht wurde, tut dasselbe (obwohl sie sich nicht mit Hilberts Bedenken befassten und daher die Dinge nicht auf logisch klare Weise tun: sie machen freien Gebrauch von allen sechs Axiomen, während sie die Physik eines Messgeräts analysieren). Feynman war der Meinung, dass so etwas möglich sei.

Die Unterschiede zwischen dem Dekohärenz-Ansatz und dem Phasenübergangs-Ansatz sind physikalischer Natur und sollten schließlich experimentellen Tests zugänglich sein, um den einen oder anderen Ansatz auszuschließen.

Peter Selingers Arbeit „Generatoren und Beziehungen für n-Qubit-Clifford-Operatoren“ wird als „Quantenphysik“ klassifiziert, also ist es wirklich wahr, dass die Physik keine Generatoren und Beziehungen verwendet? Ist nicht auch Anton Zeilingers Behauptung, dass „Quantenzufälligkeit irreduzibel und eine Manifestation mathematischer Unentscheidbarkeit ist“, durch sein Experiment bei entsprechender Codierung nahegelegt, „immer wenn eine mathematische Aussage innerhalb der im Zustand codierten Axiome unentscheidbar ist, ist die mit der Aussage verbundene Messung gibt zufällige Ergebnisse.“? Es ist nicht klar, ob Ihre obigen Behauptungen wahr sind, wenn andere anderer Meinung sind.
Ich habe «Qubits» angesprochen, als ich darauf hinwies, dass alle Idealisierungen von Rechenmaschinen unphysikalisch sind. Dies gilt auch für Qubits. Wenn ich die meisten Physiker sage, schließe ich Zeilinger aus. Der Dekohärenz-Ansatz ist, obwohl ich ihm nicht zustimme, ziemlich weit verbreitet, etwas vage und (noch) nicht der Konsens. Aber so wie ich es verstehe, stimmt der Dekohärenzansatz darin überein, Quantenzufälligkeit aus Schrödingers Gleichung abzuleiten. Wenn so etwas nicht erreicht wird, dann habe ich darauf hingewiesen, dass Wigners Kritik an der Axiomatisierung der QM in der Tat entscheidend wäre: Die Axiome wären unzureichend.
Alle mathematischen Beschreibungen physikalischer Systeme sind also Idealisierungen – unphysikalische. Wie unterscheiden sich mathematische Beschreibungen physikalischer Systeme so sehr von Idealisierungen von Rechenmaschinen? Es erscheint willkürlich, das eine anzunehmen und das andere abzulehnen .... In Bezug auf die Unangemessenheit von Axiomen habe ich das bereits mit der Apfelillustration angesprochen. Wahrscheinliches Verhalten, das idealem Verhalten entspricht, ist eine ausreichende erkenntnistheoretische Grundlage für die Behauptung axiomatischer Ontologien. Es stellt sich heraus, dass Newtons Schwerkraft angesichts der Relativitätstheorie unzureichend ist, aber wir haben sie nicht verworfen und haben sie nicht verworfen, oder?
Im Zusammenhang mit Hilberts Problem sollen wir das Modell als exakt annehmen und seine Konsequenzen streng logisch ableiten. Im Zusammenhang mit der Theory of Everything gibt es immer noch einige Physiker ... vielleicht nicht zu viele ... wie Steven Weinberg, die auf eine exakte Theorie hoffen. Im Zusammenhang mit der Anwendung der Ergebnisse der Berechnungstheorie wissen wir nicht, da es sich um mathematische Ableitungen handelt, ob sie gültig bleiben, wenn das mathematische Modell nur eine Annäherung ist. Sie sind nur gültig, wenn das Modell exakt ist. Die Schlussfolgerungen sind nicht robust. Eine Überarbeitung wird diese Punkte hervorheben.
Sie haben die Frage nicht beantwortet, nur weitere unbegründete Behauptungen aufgestellt ... Auf welcher Grundlage sind Idealisierungen akzeptabel zu beurteilen oder nicht? Genaue Theorien sind in der Regel nur die Domäne der Metaphysik, und Physik, die Natur bedeutet, funktioniert selten auf diese Weise. Trotzdem sagt zumindest nichts in der Logik, dass ein axiomatisches System auf diese Weise eingeschränkt werden muss. Das Argument, dass eine Rechenmaschine „unphysikalisch“ sei, spricht nichts an, da die meisten „physikalischen Gesetze“ abstrakte metaphysische Beschreibungen dessen sind, wie wir die Natur glauben, vorbehaltlich einer Korrektur durch Beobachtung. Die Welt unterscheidet sich von ihrer Beschreibung!
Um die Frage nach der Schwerkraft zu beantworten: Die Axiomatisierung der Mechanik, die Hilbert als gutes Beispiel ansah, enthielt nicht das Gesetz der Schwerkraft, sondern nur Newtons drei Bewegungsgesetze und seine Definition der Kraft. Es verwendete auch eine nicht-euklidische Geometrie im Phasenraum, um ein Prinzip der kleinsten Krümmung (Hertz) zu formulieren. Tatsächlich ignorieren wir Newtons Gravitationsgesetz in diesem Bereich, sogar damals, als wir dachten, es sei wahr (Hertz tat dies vor Einstein). Hilbert hatte eine seltsame Ontologie für Mathematik, aber in Physik war seine Ontologie normal und nicht axiomatisch.

Ich möchte darauf hinweisen, dass Springer ein Buch zu diesem Thema veröffentlicht hat. Es scheint wirklich eine interessante Lektüre zu sein:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich stimme zu. Leo Corry hat frei zugängliche Dokumente im Internet verfügbar. tau.ac.il/~corry/publications/articles/Hilbert%20ICM.html Eine sehr interessante historische Sache, auf die er hinweist, ist, dass, als Hilbert aufwuchs, sowohl Geometrie als auch Wahrscheinlichkeit als Teil der Physik, als empirisch betrachtet wurden. Nicht als rein deduktive Teile der Mathematik.
Immer wenn Corry über etwas spricht, von dem ich etwas weiß, bin ich anderer Meinung. Immer wenn er über etwas spricht, von dem ich nichts weiß, stimme ich ihm zu. Hmmm ... Von ihm erfuhr ich, dass in Hilberts Jugend Wahrscheinlichkeit als Teil der Physik angesehen wurde. Dann überprüfte ich es noch einmal und stellte fest, dass Poincaré die Nachfolge des Nobelpreisträgers Lippmann auf seinem Lehrstuhl für Mathematische Physik antrat und Vorlesungen über Themen der Mathematischen Physik halten musste. Elektrodynamik. Kapillarität. und .... Wahrscheinlichkeit. Seine Vorlesungen über Wahrscheinlichkeit wurden in einer Reihe von Texten über Physik veröffentlicht. Corry hatte also recht
Und schließlich war Poincaré Physiker. Er entdeckte die Spezielle Relativitätstheorie etwa zehn Minuten früher als Einstein. Außer natürlich Beobachtern in einem anderen Bezugsrahmen....

Es scheint einige Beweise dafür zu geben, dass Gödel darüber nachgedacht hat. Er schrieb:

„Aber trotz ihrer Ferne von der Sinneserfahrung haben wir so etwas wie eine Wahrnehmung der Objekte der Mengenlehre, wie man daran sieht, dass sich die Axiome als wahr aufdrängen. Ich sehe keinen Grund, warum wir Dieser Art der Wahrnehmung, also der mathematischen Intuition, sollte man weniger vertrauen als der sinnlichen Wahrnehmung.

(Gödel, K., „What is Cantor's Continuum Problem?“, 1947, S. 258–273 in Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Second Edition, (Benacerraf, Paul, und Putnam, Hilary, Hrsg.), Cambridge University Press, New York, NY, 1983).

Dies deutet darauf hin, dass er, gemeint ist Gödel, der mathematischen Intuition das gleiche erkenntnistheoretische Gewicht beimaß wie der Sinneswahrnehmung, was eine Möglichkeit zur Lösung dieses Problems wäre, weil es bedeutet, dass die direkte physikalische Beobachtung eine nicht weniger gültige erkenntnistheoretische Methode ist als das metaphysische Schließen.

Ich bezweifle sehr, dass Hilbert zu sehr anders gedacht hätte.

Ich sehe keine Relevanz der Erkenntnistheorie für die Axiomatisierung. Dies wäre eher eine Antwort, wenn Sie dies erklären könnten. Die scheinbare Schwierigkeit, die, wenn Sie es nicht wegerklären, zu der Annahme führen würde, dass dies überhaupt keine Antwort ist, besteht darin, dass physikalische Beobachtung und Erkenntnistheorie mit der Wahrheit eines Axioms zu tun haben, aber nutzlos sind, um die Angemessenheit, Vollständigkeit und Unabhängigkeit der Axiome. Die Schwierigkeit, die Messaxiome der QM mit der Schrödinger-Gl. Axiome ist ein typisches Beispiel: Alle fünf sind wahr, zumindest ungefähr. Die Frage ist ihre logische Beziehung.
Können Sie mir sagen, was passiert, wenn Sie einen Apfel fallen lassen, und warum? (Übrigens ist Erkenntnistheorie das Studium des Wissens, was bedeutet, wie wir Dinge wissen, nicht die Wahrheit)
Nun, die Unterscheidung zwischen der Tatsache, wie wir wissen, dass P wahr ist, und der Wahrheit von P, obwohl gültig, ist für meine Frage irrelevant. Beides ist weder für die Axiomatik noch für die Bedenken von Wigner und Bell über Diracs Axiomatisierung der QM relevant. Ich denke, dass beides für Hilberts Anliegen nicht relevant ist. Haben Sie Leo Corry über Hilberts Sechstes Problem gelesen?
Es ist nicht klar, dass Sie Corry gelesen haben (der dieses Papier auf seiner Homepage zur Verfügung stellt). Es war Jean Dieudonné, sagt Corry, der vorschlug, dass „man nicht über Wahrheiten spricht“, und diese Einstellung wurde später Hilbert zugeschrieben (sagt Corry), aber tatsächlich war Hilbert einer solchen Vorstellung diametral entgegengesetzt, wie Corry selbst feststellt – sehen Sie sich das an das Hilbert-Zitat, das er auf Seite 5 liefert. Unabhängig davon, nehmen wir an, wir können nicht im metaphysischen Sinne wissen, dass es wahr ist, dass „der Apfel zu Boden fallen wird“. Wir haben es oft genug beobachtet, dass ein solches Ergebnis wahrscheinlich ist.
Denn so scheint sich der Apfel zu verhalten. Wir können von Wahrscheinlichkeit in Bezug auf den Wahrheitsgrad (oder Wahrheit in Bezug auf Wahrscheinlichkeit) sprechen. Die Beziehung zwischen unserer bloßen Beobachtung von Wahrscheinlichkeiten und unserem Konzept dessen, was „wahr“ (und beschreibbar) ist, ist genau das, womit Hilbert gerungen hat. Kennen Sie das Geist-Körper-Problem des QM? Ich hoffe, Sie erkennen, dass, wenn unser Akt der Beobachtung eines Systems das System selbst beeinflusst, dies genau ein erkenntnistheoretisches Problem ist ...
Sehr wenige (fast keine) Physiker stimmen noch immer mit Wigner darin überein, dass dies ein Geist-Körper-Problem ist oder dass unser Akt der Beobachtung das System selbst beeinflusst. Es besteht fast Einigkeit darüber, dass die Messapparatur, meist eine Verstärkerapparatur oder ähnliches, das mikroskopische System beeinflusst, aber wie üblich einfach über einen Wechselwirkungsterm im gemeinsamen Hamilton-Operator, und dass dies nichts mit dem menschlichen Verstand zu tun hat: der Messung stattfand, auch wenn niemand zusah. Wigners Analyse des Problems ist wertvoller als sein Lösungsvorschlag.
Sie sollten wirklich etwas von dem Material Ihrer Antworten an mich in Ihren Versuch einer Antwort stecken, denn ohne sie ist es wirklich überhaupt keine Antwort.
@joseph f.johnson, die Anzahl der Menschen, die glauben oder nicht glauben, dass etwas wahr ist, hat absolut keinen Einfluss darauf, ob etwas tatsächlich wahr ist oder nicht. Wäre dies nicht der Fall, wäre die Erde vielleicht immer noch flach und Elvis am Leben. Ob Wigner denkt, dass dies ein Geist-Körper-Problem ist oder nicht, ich tue es. In Bezug auf das, was ich in meine Antworten einbeziehe, im Vergleich zu dem, was ich in die Kommentare einbeziehe, richte ich meine Antworten an den Fragesteller, nicht an Sie, obwohl ich auf Ihre Kommentare antworten werde. Die beiden sind unterschiedlich.
Aber die Anzahl solcher Leute hat sehr viel damit zu tun, wie man etwas als Antwort präsentiert . Wenn Ihre angebliche Antwort darauf beruht, dass es sich um ein Geist-Körper-Problem handelt, aber nur wenige Physiker glauben, dass es so etwas gibt, muss dies in der Antwort darauf hingewiesen werden. Wenn Ihre angebliche Antwort auf der Wahrheit von Maxwells Gleichungen beruht, müssen Sie nicht darauf hinweisen, da sie allgemein akzeptiert werden (selbst von Leuten wie Born, die denken, dass die genaue Wahrheit nichtlinearer ist, wurden sie als Annäherungen akzeptiert ).
Ein Trugschluss bleibt ein Trugschluss, egal ob er populär ist oder nicht. Besser als skurrile Meinungen sind solide Logik und gültige Axiome. Unabhängig davon wurde das Geist-Körper-Problem nicht als Antwort auf die Frage selbst oder Ihre Antwort aufgeworfen, sondern eher auf Ihren Kommentar. Es ist dann eigentlich nebensächlich zu Hilberts 6. Problem. Wenn Sie das Geist-Körper-Problem oder den Irrtum des Argumentum ad populum weiter diskutieren möchten, sollten Sie zusätzliche Kommentare in die Foren aufnehmen.
Nun, nichts davon ist in Ihrer Antwort enthalten, also -1
Ich beantworte Fragen, um Gründe und Argumente zu liefern, Joseph, nicht um Gunst zu erlangen.

Der Herausgeber des Buches Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems , Felix Brouwder, gab Arthur Wightman die Aufgabe, den Fortschritt in Hilberts sechstem Problem zu beschreiben:

Wightman, AS (1976). Hilberts sechstes Problem: Mathematische Behandlung der Axiome der Physik. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems (Proc. Sympos. Pure Math., Northern Illinois Univ., De Kalb, Illinois, 1974), Amer. Mathematik. Soc., Providence, RI, 147-240.

Wightman interpretierte die Aufgabe als teilweise erledigt durch die Wightman-Axiome für die Quantenfeldtheorie. Natürlich würde seine Fertigstellung den Bau des Standardmodells plus Schwerkraft in einem strengen Rahmen erfordern, daher ist dies noch ein ausstehendes Unterfangen. Das Millennium-Problem von Yang-Mills ist ein kleiner Teil dieser Suche.

Was geschah mit Hilberts sechstem Problem (der Axiomatisierung der Physik) nach Gödels Arbeit?
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