Sind bestimmte Bereiche der Physik axiomatisiert?

Alles aus der Quantenmechanik lässt sich aus sechs (?) Postulaten ableiten. In ähnlicher Weise kann die klassische Elektrodynamik auf die Maxwell-Gleichungen und das Lorentz-Kraftgesetz zurückgeführt werden, und die spezielle Relativitätstheorie basiert auf zwei Postulaten.

Gibt es ähnliche Sätze von Postulaten für die Newtonsche Mechanik/Schwerkraft oder andere Bereiche der Physik, wie die Quantenfeldtheorie oder die Stringtheorie?

Können Sie eine Quelle für die Aussage „sechs Postulate“ angeben?
Sowohl Ergodizitätsstudien in der statistischen Mechanik als auch die konstruktive Quantenfeldtheorie wurden mit ausreichender mathematischer Strenge und axiomatischen Strenge ausgestattet, um die Physik sicher überschritten zu haben und inzwischen unumkehrbar in der Mathematik zu verweilen.
Die Newtonschen Gesetze und die Energieerhaltung könnten hier die wichtigsten Grundlagen sein
Ich finde die Aussage der „sechs Postulate“ sehr fragwürdig und habe noch nie einen Beweis dafür gesehen, dass diese (egal wie viele) Postulate in den meisten QM-Lehrbüchern tatsächlich ausreichen, um alle beobachteten Phänomene abzudecken. Nehmen Sie für ein konkretes Beispiel Ankunftszeiten. Es gibt keinen Zeitoperator, also was tun? Es gibt ein ganzes Buch über verschiedene Ansätze, keiner wird akzeptiert (Time in Quantum Mechanics von Muga). Aber selbst um die durch QM erklärten Phänomene abzudecken , müsste geprüft werden, ob all diese Phänomene tatsächlich nur aus den Postulaten ohne zusätzliche „intuitive“ Argumente folgen .

Antworten (1)

Viele Bereiche der Physik sind vollständig oder teilweise axiomatisiert.

Zunächst einmal, für etwas, das für fast alle Bereiche wichtig sein wird, sind sowohl die Lagrange-Mechanik als auch die Hamilton-Mechanik in der formalen Mathematik verwurzelt, über Kalkül auf dem Strahlbündel für die Lagragian-Funktion und das Legendre-Bündel für die Hamilton-Funktion (oder für etwas weniger Komplexes). , Gateaux-Ableitungen auf Funktionale für den Lagrange-Operator und die Legendre-Transformation für den Hamilton-Operator). Hier können Sie zum Beispiel nachsehen , sowie Henneaux für alle Zwänge rund um das Thema.

Die spezielle Relativitätstheorie hat eine ganze Reihe von Axiomensystemen, entweder basierend auf der ziemlich einfachen Theorie der affinen Lorentz-Räume, wie sie in Gourgoulhon beschrieben wird , oder durch schreckliche Axiomensysteme erster Ordnung wie z Basax , Reich oder Variationen. Mehr über solche Axiomensysteme erfahren Sie zum Beispiel hier . Es ist auch möglich, es über seine kausale Struktur zu axiomatisieren, wie es von Zeeman , Carter , Penrose und Kronheimer getan wurde .

Auch die Allgemeine Relativitätstheorie basiert auf axiomatischen Regeln. Grundsätzlich ist eine Raumzeit ein Tupel ( M , A , G , ∇ ) , mit M ein N -dimensional ( N ≥ 2 ), Hausdorff, parakompakter Verteiler, A eine glatte Struktur auf dieser Mannigfaltigkeit, G ein Abschnitt des metrischen Signaturbündels ( − + + . . . ) , Und ∇ die Levi-Civitta-Verbindung. Das wird auch oft vermutet ( M , A , G , ∇ , ↑ , ε ) , mit ↑ eine Zeitorientierung und ε ein Messformular. Darauf kann man dann über Abschnitte von Vektorbündeln und den Lagrange-Formalismus den Materieinhalt und die Dynamik definieren.

Die Quantenmechanik wird normalerweise über die Dirac-von-Neumann-Axiome definiert, als eine Theorie von Operatoren, die auf einen Hilbert-Raum wirken (eine gute Übersicht findet sich in Hall , mit einem schönen Überblick über die probabilistischen Spielereien, die in Streater besprochen werden ) oder über Pfadintegrale unter Verwendung der Dochtrotiertes Wiener-Funktionsintegral auf dem Konfigurationsraum des Systems. Es ist auch möglich, es auf weniger verbreiteten mathematischen (äquivalenten) Formalismen wie der fraktionalen Quantenmechanik (bei der Teilchen durch stochastische Prozesse beschrieben werden) oder der Deformationsquantisierung zu axiomatisieren.

Die Quantenfeldtheorie ist schwieriger zu axiomatisieren, aber es gibt eine Vielzahl von mehr oder weniger erfolgreichen Versuchen.

  1. Die Osterwalder-Schrader-Axiomatisierung ist das Äquivalent zur QM-Wegintegral-Axiomatisierung für Feldtheorien.
  2. Die Wightman-Axiomatisierung ist das Äquivalent der Dirac-von-Neumann-Axiomatisierung.
  3. Die Haag-Kastler-Axiomatisierung ist eine Prägarbe zwischen offenen Mengen der Raumzeit und C ∗ Algebren.

All dies wird bis zu einem gewissen Grad in Glimm und Jaffe sowie Wightman und Streater und Haag beschrieben . Es gibt eine Handvoll anderer Axiomatisierungen, wie z. B. die funktoriale Quantenfeldtheorie .

Die meisten davon funktionieren nur wirklich für den kostenlosen Fall. Es gibt einige Versuche, diese Systeme auf den Fall der Wechselwirkung auszudehnen, was auch eine Menge wirklich schrecklicher mikrolokaler Analysen und Wick-Polynome beinhaltet.

Die klassische Mechanik ist nicht besonders schwer zu axiomatisieren. Der kinematische Teil wird normalerweise einfach durch den Newtonschen Raum (einen Vektorraum) axiomatisiert R × R 3 mit einem inneren Produkt auf R 3 usw.), obwohl Sie es mit der Newton-Cartan-Theorie als Mannigfaltigkeit modellieren können . Die Dynamik kann dann auf verschiedene Arten erfolgen, entweder direkt mit der Newton-Gleichung oder über die Lagrange-Mechanik (manchmal wird auch dafür ein Bündelansatz verwendet) oder Hamilton. Vielleicht möchten Sie Arnold für weitere lustige Details zu diesem Thema überprüfen . Nichts allzu Kompliziertes, obwohl Regularitätsbedingungen wichtig zu spezifizieren sind, um seltsame Randfälle wie Norton's Dome oder den Space Invader zu vermeiden . Ich kann auch nicht umhin, die wirklich dumme geometrische Axiomatisierung zu erwähnen , die absolut nicht für irgendwelche Berechnungen geeignet ist, aber das Verdienst hat, zu existieren.

EM, und damit auch die Eichtheorie im Allgemeinen, erfolgt durch den Formalismus der Hauptverbindungen. Nähere Informationen dazu finden Sie beispielsweise in den Bereichen Topologie, Geometrie und Spurweite .

Die Thermodynamik kann axiomatisiert werden, indem man die Kopfschmerzen verursachenden Kontaktverteiler verwendet, in einem höllischen Formalismus namens Geometrothermodynamik .

Das sind ungefähr alle Bereiche, die eine wirklich formale Axiomatisierung haben, die mir einfallen, aber es gibt wahrscheinlich noch andere.

Können Sie eine Quelle angeben, aus der hervorgeht, dass irgendeine dieser angeblich existierenden Axiomisierungen tatsächlich logisch alle Phänomene impliziert, die Physiker aus dieser jeweiligen Theorie ableiten? Dies ist eine nicht triviale Frage; Das Niederschreiben von Postulaten einer Theorie, auf die Physiker ihre Argumentation stützen, unterscheidet sich sehr davon, tatsächlich Axiome zu haben, die verwendet werden können, um alle wichtigen Ergebnisse der Theorie zu beweisen, ohne intuitive Argumentation, um "die Lücken zu füllen". In meinen Studien habe ich viele intuitive physikalische Argumente gesehen, die sich nicht eindeutig aus den Postulaten dieser Theorie ergeben.
Ich meine, wenn Sie den Beweis experimenteller Daten für die gesamte Physik wollen, wird es eine Weile dauern
Selbst nur die wichtigsten Ergebnisse – Standard in Lehrbüchern – folgen nicht eindeutig nur aus den Postulaten jeder Theorie. Bis dies geschieht, wurde die Theorie nicht axiomisiert, sondern nur eine Teilmenge der Theorie, für deren Ableitung keine Intuition erforderlich ist, wurde axiomisiert. Aber ich glaube, OP ist an dieser Teilmenge nicht interessiert. Man würde die Analysis nicht als axiomisiert betrachten, nur weil die Ketten- und Produktregel und vielleicht eine Handvoll Theoreme aus den Definitionen folgen.
Für eine richtig axiomatisierte Theorie folgen die experimentellen Ergebnisse aus diesen Axiomen (dem sogenannten Formalismus) und den Korrespondenzregeln, die die realen Messungen auf abstrakte Größen der Theorie abbilden. Die Korrespondenzregeln sind normalerweise etwas chaotischer (echte Geräte stimmen normalerweise nicht perfekt mit den grundlegenden Größen einer Theorie überein), und ohne Allwissenheit ist es schwierig, ohne einige andere Annahmen korrekte Vorhersagen zu treffen, aber es gibt sie, ja. Sie müssen nur etwas genauer angeben, über welche Theorie Sie mehr wissen möchten.
Die klassische Mechanik ist einer der interessantesten Fälle. Ausgehend von einigen Postulaten sollte man in der Lage sein, die phänomenologischen Gesetze zu beweisen, zB das Hookesche Gesetz, die Reibung. Aber wo fängt man an? Ist der grundlegende Bestandteil ein Punktteilchen oder ein Objekt, das ein gewisses Volumen mit Eigenschaften wie Dichte und Temperatur einnimmt? Makroskopische Theorien sind besonders schwierig, weil sie eine getrennte Charakterisierung so vieler unterschiedlicher Phänomene erfordern. Was genau ist eine Feder, und woher wissen Sie, dass diese Dinge dem Hookeschen Gesetz folgen?
Wenn Sie eine Quelle für diese Dinge haben, wäre das eine große Sache, denn das Wissen um eine echte Axiomisierung einer dieser Theorien wäre sehr aufregend und ein großer theoretischer Fortschritt. Tut mir leid, ich will nicht unhöflich sein, ich bin nur ehrlich in meiner Kritik und es ist nicht persönlich.
Ich kann Ihnen einiges zu solchen Themen geben (allerdings eher im Sinne der Relativitätstheorie, da das mein Jam ist), aber es beginnt, den Rahmen eines Kommentarabschnitts zu sprengen. Ich würde Ihnen raten, eine neue Frage zu erstellen, wenn Sie mehr über das Thema erfahren möchten.
Ich denke nur immer noch, dass Ihre Antwort irreführend ist. Wenn die klassische Mechanik auf die von mir beschriebene Weise axiomisiert wurde, würde ich mich über eine Quelle freuen, andernfalls ist es für Leser irreführend, zu sagen, dass es "nicht schrecklich schwer" ist, die Axiomisierung als ein Wort lesen könnten, das das Maß an Strenge impliziert, mit dem es ist in Mathematik verwendet. Ich finde es auch ziemlich verrückt zu behaupten, dass die Axiomisierung von QFT "mehr oder weniger erfolgreich" ist, da es trotz vieler Versuche keine Axiomisierung von QFT mit irgendeiner Art von Interaktion in 3 räumlichen Dimensionen gegeben hat . Das ist unglaublich weit entfernt von einer vollständigen Axiomisierung, die ...
... implizieren die Axiomisierung des gesamten Frameworks, zumindest das, was im Standardmodell enthalten ist. Nur 2+1-dimensionale Spielzeugmodelle usw. wurden axiomisiert. Ich poste dies nur als Kommentar, weil es eine direkte Antwort auf Ihre Frage ist. Ich denke nicht, dass es angebracht wäre, eine weitere Frage zu stellen, wenn mein Hauptpunkt darin besteht, dass Ihre Antwort eine Änderung verdient. Ich schätze die Referenzen, die Sie in der Antwort haben, aber es ist eine mutigere Antwort als der tatsächliche aktuelle Stand der Dinge und daher irreführend.
Ich habe die Axiomatisierung des mathematischen Formalismus angegeben, weil das in der Physik gewöhnlich unter „Axiomatisierung“ verstanden wird, was auf Hilberts Programm für Physik zurückgeht. Was Sie als Axiomatisierung bezeichnen, ähnelt eher dem, was einige Wissenschaftsphilosophen eine Axiomatisierung nennen würden (vgl. zum Beispiel Ludwigs Begründung physikalischer Theorien), aber dies ist unter Physikern viel seltener.
Sie definieren jetzt das Wort "Axiomisierung" neu, damit Ihre Antwort richtig ist, anstatt ehrlich zu sein und zuzugeben, dass es keine zufriedenstellende Axiomisierung gibt, am offensichtlichsten im QFT-Fall (aber wirklich auch in anderen). OP fragte nach einer Reihe von Postulaten, aus denen die Ergebnisse der Theorie abgeleitet werden können (siehe seine ursprüngliche Frage). Es gibt keinen solchen Satz für die aus QFT erhaltenen physikalischen Ergebnisse, die die Ergebnisse des Standardmodells sind, nicht eines 2+1d-Spielzeugmodells. Ich möchte Sie nicht persönlich beleidigen, aber ich werde in meiner Kritik an Ihrem Inhalt ehrlich zu Ihnen bleiben.
Sind bestimmte Bereiche der Physik axiomatisiert?
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