Hilberts sechstes Problem (aktuelle Antworten vernachlässigen die Tatsache, dass CU⊆UCU⊆UC_{U} \subseteq U ) [duplizieren]

Die Existenz unentscheidbarer Aussagen bedeutet nicht, dass es uns nicht gelingen könnte, hypothetisch unter Hinzufügung geeigneter widerspruchsfreier Axiome die Wahrheit aller physikalisch relevanten Aussagen zu bestimmen. Angenommen, Sie haben eine Theorie$L$mit einer sinnvollen unentscheidbaren Aussage$A$, so dass beides$L+A$Und$L+\bar{A}$(ich benutze bar für Negation) sind konsistent. Dann kannst du beides wählen$L+A$oder$L+\bar{A}$als Ihre neue Theorie (je nachdem, was physikalisch relevanter ist).

Die unentscheidbare Aussage von Gödel zum Beispiel scheint (meiner Meinung nach) für eine physikalische Theorie nicht sehr relevant zu sein, und auch die Tatsache, dass die Konsistenz der Theorie darin nicht beweisbar ist (da Sie im Prinzip Erzwingen / Imprädikativität zum Beweis verwenden können Konsistenz zu finden und Wahrheitskomplexitäten des logischen Systems zu finden, auch wenn es bedeuten würde, mathematische Entitäten zu berücksichtigen, die nicht „physisch“ sind).

Als konkretes Beispiel: Würde es die Physik interessieren, ob die verallgemeinerte Kontinuumshypothese wahr oder falsch ist?$GCH$ist unentscheidbar in$ZFC$, Und$ZFC$,$ZFC+GCH$,$ZFC+\overline{GCH}$sind konsistente Theorien. Ich nehme an, es ist nicht so wichtig, welches man für die Physik wählt, aber Sie brauchen sicherlich die Mengenlehre. Das Axiom der Wahl ist stattdessen relevanter, da es ein Modell von gibt$ZF+DC$(zuverlässige Wahl), bei der alle Sätze von Realzahlen messbar sind (aber andererseits fällt es Ihnen schwer, Verteilungen zu definieren), und das kann physikalisch relevanter sein (vielleicht ... ich weiß es nicht).

Ich finde es interessant, diese Frage vor dem Hintergrund eines sehr einfachen hypothetischen Universums zu stellen. Angenommen, das Universum bestünde beispielsweise ausschließlich aus vollkommen harten Kugeln, die sich nach klassischer Physik bewegen und elastisch aufeinanderprallen. (Wirklich, die spezifischen Regeln unseres Spielzeuguniversums spielen für das, was ich sagen werde, keine Rolle, solange sie einfach und eindeutig sind).

Soweit ich das beurteilen kann, hindert uns nichts daran, dieses Spielzeuguniversum so rigoros zu modellieren, wie wir es wünschen. Aber wäre unser Modell eine konsistente, vollständige Theorie? Und wenn ja, was ist mit Gödels Theorem?

Der Satz von Gödel gilt für formale Systeme, in denen Zeichenketten Aussagen, Beweise usw. darstellen können. Das Spielzeuguniversum ist selbstverständlich kein formales System. Auch die Kenntnis der mathematischen Regeln des Spielzeuguniversums sagt uns nicht sofort, was das formale System ist. Was ist also unser formales System, und was noch wichtiger ist, was wird die Semantik sein, mit der wir seine Fäden auf Fakten über das Spielzeuguniversum abbilden? Und unter welchen Bedingungen wird das System als "vollständige" Beschreibung des Spielzeuguniversums betrachtet? Wir müssen uns auf genaue Antworten auf diese Fragen einigen. Ansonsten glaube ich, dass die Antwort auf die Hauptfrage nur lauten kann: "es kommt darauf an, was Sie meinen."

Wenn wir in diesem Spielzeuguniversum leben würden, wären wir dann berechtigt zu sagen, dass wir eine „Theorie von allem“ hätten?

Es ist richtig, dass ein Teil der in der Theorie verwendeten Mathematik Arithmetik wäre, und daher gäbe es unentscheidbare Aussagen über Arithmetik. Keine Überraschung. Wie Yuggib sagt, sind diese physikalisch nicht relevant. Es ist uns egal, dass unsere „Spielzeuguniversum-Theorie von allem“ uns nicht sagen kann, ob eine diophantische Gleichung Lösungen hat oder nicht, wenn sie sich nicht auf die Physik des Spielzeuguniversums bezieht. Was wäre, wenn es so wäre? Was wäre, wenn wir aus harten Sphären einen schrecklich komplizierten "Computer" zusammenbrauen würden, dessen Verhalten auf die diophantische Gleichung abgebildet und nicht vorhergesagt werden könnte? Wäre das eine „Unvollständigkeit“ des Modells?

Nun, das überlasse ich Ihnen zu entscheiden. Ich persönlich betrachte ein mathematisches Modell eines physikalischen Systems als "vollständig", wenn es uns erlaubt, Berechnungen im Prinzip mit jeder gewünschten Genauigkeit durchzuführen. Wenn wir also in einem Universum der harten Sphäre lebten, würde ich sagen, dass wir eine „Theorie von allem“ besäßen. Und außerdem, dass jedes a priori Argument, das eine „Theorie von allem“ für das reale Universum ausschließt, erklären sollte, in welcher wesentlichen Weise es sich von dem Spielzeug unterscheidet.

Natürlich steht es einem frei, eine andere Definition von „Vollständigkeit“ zu wählen und zu sagen, dass ein Modell nur dann vollständig ist, wenn die detaillierten Ergebnisse bestimmter Konfigurationen/Systeme/Situationen beweisbar sind. In diesem Fall wird es niemals eine "Theorie von allem" für ein so einfaches Universum wie eine Turing-Maschine geben!