Kann ein mathematischer Beweis das Experiment ersetzen?

Nein. Die Physik bleibt eine experimentelle Wissenschaft und daher ist es nicht möglich, das Experiment durch einen Beweis zu ersetzen. Descartes versuchte dies, als er seine Theorie der Lichtausbreitung vorschlug – sehr elegant –, aber sie sagte fälschlicherweise voraus, dass der Winkel für Licht zunehmen würde, wenn es in ein optisch dichteres Medium eindringt. In der Tat geht die Geschichte davon aus, dass er sich geweigert hat, an einer Demonstration teilzunehmen, die ihm das Gegenteil gezeigt hat

Ein strenger Beweis ist unerlässlich, um einige Aspekte (und möglicherweise einige Grenzen) einer Theorie richtig zu verstehen und zu erweitern und Licht darauf zu werfen, wie Phänomene verknüpft und erklärt werden können, hat aber keine physikalische Anwendung, wenn er etwas vorhersagt, das dem Experiment widerspricht.

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Bearbeiten: Es gibt eine verwandte Diskussion in diesem Artikel von David Mermin:

Mermin ND. Was ist schlecht an dieser Angewohnheit. Physik heute. 1. Mai 2009;62(5):8-9.

Wenn Sie nur Annahmen treffen, die experimentell verifiziert wurden (bis zu einem hohen Grad an Genauigkeit), kann ein rein mathematischer Beweis in Ordnung sein. Allerdings gibt es dabei zwei Probleme:

1) Meistens lassen sich nicht alle Annahmen experimentell verifizieren (z. B. die Axiome der Newtonschen Mechanik)

2) Wenn Sie Messungen nur bis zu einem gewissen Grad genau durchführen können, sind Sie nie wirklich sicher, dass es richtig ist.

Nach Ansicht des Wissenschaftsphilosophen Karl Popper ist es grundsätzlich unmöglich , Annahmen oder Hypothesen über die Physik oder die Welt im Allgemeinen zu beweisen/bestätigen. Ausgehend von einer Reihe von Annahmen (dh den Newtonschen Gesetzen) kann ein Wissenschaftler beweisen, dass WENN diese Reihe von Annahmen gültig ist, DANN bestimmte Ergebnisse in der realen Welt eintreten sollten.

Wenn ein Experiment mit negativem Ergebnis durchgeführt wird, wurde die Vorhersage widerlegt und eine oder mehrere der Annahmen, von denen sie abgeleitet wurde, müssen falsch sein. Wenn ein positives Ergebnis die Vorhersage „nicht widerlegt“, wird unser Vertrauen in den Satz von Annahmen im Vergleich zu konkurrierenden Sätzen erhöht . Offensichtlich skaliert der Vertrauensgewinn damit, wie spezifisch (und damit „leicht zu widerlegen“) die Vorhersagen sind. Jedoch kann keine Menge positiver Ergebnisse jemals „beweisen“, dass die Annahmen richtig sind. Es könnte immer ein anderes physikalisches System geben, bei dem das Modell versagt.

Beispielsweise konnten viktorianische Astronomen ausgehend vom Newtonschen Gravitationsgesetz die Bewegung des Mondes und anderer Planeten sehr genau vorhersagen. Ihre Modelle konnten immer wieder "nicht widerlegt" werden. Sie bemerkten jedoch schließlich, dass sich die Umlaufbahn von Merkur nicht so verhielt, wie Newton es vorhergesagt hätte. Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie lieferte eine neue Reihe von Annahmen, aus denen man eine hochspezifische Vorhersage über die Umlaufbahn von Merkur (anders als die Newtonsche) ableiten kann, die durch die Daten „nicht widerlegt“ werden konnte. Unter Verwendung von Einsteins Annahmen kann man Beschreibungen der Planetenbahnen ableiten, die fast gleichwertig (aber etwas besser) sind als die Newtonschen. Es macht sogar zusätzliche, neuartige Vorhersagen wie Gravitationslinsen - eine weitere hochspezifische, leicht zu widerlegende Behauptung, was jedoch durch die Daten nicht widerlegt werden kann. Nichts davon beweist grundlegend, dass die Annahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie korrekt/vollständig sind, und ihre Unfähigkeit, das Innere von Schwarzen Löchern zu beschreiben, könnte ein Zeichen dafür sein, dass eine bessere Reihe von Annahmen benötigt wird.

Kurz gesagt: Ausgehend von einer Reihe von Annahmen kann man Vorhersagen über die reale Welt ableiten. Wenn Experimente die Vorhersagen (und damit die Annahmen) als falsch erweisen, kann man einen anderen (und hoffentlich besseren) Satz auswählen. Positive Ergebnisse beweisen/experimentell validieren die Annahmen nicht , sollten aber einen guten Wissenschaftler dazu inspirieren, noch spezifischere Vorhersagen daraus abzuleiten und sie immer strengeren Tests zu unterziehen.

In der Wissenschaft geht es sehr stark um Modellbau. Ein Modell ist eine Reihe von Ideen, innerhalb derer mathematische Beweise möglich sind, und die verwendet werden, um zu zeigen, wie ein Merkmal ein anderes innerhalb des Modells impliziert. Aber es ist nicht möglich, mathematisch zu beweisen, dass das Modell die physikalische Welt richtig beschreibt.

Dein Beispiel für das rechtwinklige Dreieck ist gut. Innerhalb der Ideen der ebenen Geometrie gilt der Satz des Pythagarus zweifellos. Aber die ebene Geometrie beschreibt nicht die Raumzeit.

Selbst wenn wir ein äußerst elegantes und ausgefeiltes theoretisches Modell hätten, eines, das in der Lage zu sein scheint, die Natur aller physikalischen Phänomene zu erfassen, wäre es nicht möglich zu beweisen, dass diese Erscheinung zuverlässig ist.

Ein verwandtes Thema betrifft die Grundlagen der Logik – Gödels Theoreme. Wir können nicht einmal beweisen, dass die Mathematik selbst konsistent ist! Dies ist nicht dasselbe Thema wie das der Modellbildung in der Wissenschaft, aber es verdeutlicht die Tatsache, dass wir uns hier auf Vertrauen und nicht auf Beweise verlassen. Das heißt, wir vertrauen darauf, dass die Mathematik konsistent ist.

Auf der Ebene der Grundlagenphysik kommen weitere Feinheiten ins Spiel. Woher wissen wir, dass die Natur der physischen Welt vollständig von der Mathematik erfasst werden kann? Das wissen wir nicht. Das soll nicht heißen, dass wir unsere Zeit mit müßigen Spekulationen verschwenden sollten, aber es soll uns ermutigen, uns der Grenzen dessen, was wir wissen, bewusst zu sein.

Auf der Mathematik von zuvor getesteten Modellen aufzubauen, ist in der Tat eine Sache, die getan wird. Das nennt man Ingenieurwesen. Wir tun es buchstäblich die ganze Zeit.

Der Unterschied besteht darin, dass wir in der Technik versuchen, das bestmögliche Produkt innerhalb einiger Einschränkungen herzustellen, während ein Wissenschaftler theoretisch nach der Wahrheit sucht. Daher gibt es in der Technik eine ganze Reihe von Kosten-Nutzen-Analysen, die durchgeführt werden, darunter "was passiert, wenn unsere Annahmen scheitern".

Möchten Sie ein großartiges Beispiel dafür, dass es fehlschlägt? Die Tacoma-Narrows-Brücke. Wir haben unsere Mathematik verwendet, wir haben die Strenge angewandt, und unsere Mathematik stimmte einfach nicht mit der Realität überein.

Im Engineering haben wir einen Prozess namens Verification and Validation (V&V). Die Überprüfung kann mathematisch erfolgen, da Sie sich bemühen sicherzustellen, dass Ihr Modell nicht versucht, rechtwinklige Dreiecke zu erstellen, die den Satz des Pythagoras verletzen (dh wird die Gleichung korrekt gelöst?). Bei der Validierung geht es eher darum, herauszufinden, ob das Modell tatsächlich die gewünschten Fragen richtig beantwortet (dh wird die richtige Gleichung gelöst?). Wir können nie sicher wissen, was die Realität unter dem nächsten Stein hat, es sei denn, wir schauen darunter.

Jede gute rein mathematische Wissenschaft, wie die derzeit laufenden ToE-Bemühungen, wird schließlich nach ihrer Fähigkeit "bewertet", interessante Vorhersagen zu treffen, um sie zu testen.

In der Praxis stellen wir fest, dass reine Mathematik und Experimente in einem komplizierten Tanz wie Yin und Yang verwoben sind. Es gibt Aspekte der Wissenschaft, die weitaus mehr Mathematik als Experimentieren sind (wie die Stringtheorie), und andere Aspekte, die mehr Experimentieren als Mathematik sind. Aber sie sind immer eine Mischung

Gibt es einen Fall, in dem mathematische Beweise Experimente ersetzen können?

Ja.

Jedes Mal, wenn Sie diese Behauptung beweisen können$P$wird durch eine Prämisse impliziert$A$, Und$A$experimentell verifizierbar ist, müssen Sie nie experimentell verifizieren$P$. Überprüfung$A$ist gut genug.

Als Beispiel Gaußsches Gesetz,$\oint E \cdot dA = \frac{Q}{\epsilon_0}$, kann durch das Coulombsche Gesetz bewiesen werden:$E = \frac{Q \hat{r}}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$, und umgekehrt. Sie sind äquivalente Aussagen. Das Gesetz von Gauß ist in einem Labor schwer zu überprüfen (es ist schwierig, den Fluss des elektrischen Felds über eine gesamte Oberfläche zu messen), aber das Gesetz von Coulomb ist ziemlich einfach zu überprüfen (es ist einfach, das Gesetz des umgekehrten Quadrats anhand einer Ladung zu beobachten). Da bewiesen ist , dass das Coulombsche Gesetz im Prinzip das Gaußsche Gesetz impliziert, müssen Sie das Gaußsche Gesetz niemals direkt überprüfen; Sie können immer nur das Coulombsche Gesetz verifizieren, und Sie werden sich auf das Gaußsche Gesetz genauso verlassen wie auf das Coulombsche Gesetz, weil Sie den Beweis haben, dass es durch das Coulombsche Gesetz impliziert wird .

Nun könnte ein Einwand gegen dieses Beispiel lauten:

Aber das ist nur trivial. Da das Gesetz von Gauß und das Gesetz von Coulomb äquivalent sind, ist die experimentelle Überprüfung des Gesetzes von Coulomb eine experimentelle Überprüfung des Gesetzes von Gauß.

Okay, das stimmt, aber ohne den Beweis der Äquivalenz ist es überhaupt nicht offensichtlich. Wenn wir den Beweis nicht hätten, dass das Coulombsche Gesetz das Gaußsche Gesetz impliziert, müssten wir beide experimentell verifizieren. Und weil es schwieriger ist, das Gaußsche Gesetz zu verifizieren als das Coulombsche Gesetz, würden wir dem ersteren wahrscheinlich weniger vertrauen als dem zweiten. Dies ist ein Beispiel für einen mathematischen Beweis, der die experimentelle Überprüfung ersetzt.

Nun nimmt mein Beispiel ein Szenario, in dem zwei Aussagen sich gegenseitig implizieren, aber das gilt im Allgemeinen, wenn die Implikation einer Aussage durch eine Prämisse einseitig ist und Sie die Prämisse nur experimentell überprüfen müssen. Obwohl ich nicht sicher bin, ob es dafür viele Beispiele gibt.

Im Allgemeinen können mathematische Beweise die experimentelle Validierung jedoch nicht vollständig ersetzen; Sie brauchen immer eine experimentelle Bestätigung für jede Theorie, und zwar jede Menge davon .

Ich wollte nur diesen Nachtrag hinzufügen, um zu begründen, warum meine Antwort im Grunde das Gegenteil aller anderen, gut geschriebenen und hoch bewerteten Antworten ist. Ich denke, das liegt daran, dass sie allgemein versuchen, ein Missverständnis des OP auszuräumen, das in diesem Zitat gut veranschaulicht wird:

Der Grund, warum ich das frage, ist, dass die meisten, wenn nicht sogar alle ToEs in der theoretischen Physik so ziemlich nur ihre Mathematik für sich haben. Am berüchtigtsten dafür ist die Stringtheorie. Wenn die Stringtheorie auf die von mir vorgestellte Weise mathematisch bewiesen werden könnte und dieser Beweis unabhängig repliziert wurde und sich auf die gleiche Weise wie der Satz des Pythagoras über die Zeit bewährt hat, müssen wir uns dann all die Mühe machen, tatsächlich ein Experiment durchzuführen?

Okay, also lass mich das ein wenig auspacken. Sie werden niemals eine physikalische Theorie mathematisch beweisen. Sie können nur einen Satz beweisen, und Sätze sind einfach Abbildungen zwischen Sätzen: wenn Satz$A$wahr ist, dann Satz$B$ist wahr. Sie können einen Beweis nicht verwenden, um eine Aussage aus dem Nichts zu erstellen. Alle physikalischen Theorien müssen mit Aussagen beginnen (wir nennen sie „Axiome“ oder „Postulate“). Ein Modell wird konstruiert, indem man mit Postulaten beginnt und dann viele Konsequenzen dieser Postulate mathematisch beweist. Im Allgemeinen können Sie die Postulate nicht beweisen. Wenn ja, dann sind sie keine Postulate mehr, und dafür brauchte man ohnehin neue Postulate. (Dies geschieht im Allgemeinen, wenn wir zu einer allgemeineren Theorie übergehen, deren Postulate entweder einfacher sind oder mehr Erklärungskraft haben; zum Beispiel sind die Maxwell-Gleichungen Postulate für die klassische Elektrodynamik, aber die Quantenelektrodynamik hat breitere Postulate, aus denen Sie die Maxwell-Gleichungen ableiten können.)

Aus diesem Grund benötigen Sie immer eine experimentelle Überprüfung. Und normalerweise hat es nicht die saubere transitive Implikationskraft, die ich oben beschrieben habe. Normalerweise sind Postulate sehr schwer experimentell zu verifizieren, und ihre Konsequenzen sind viel einfacher zu verifizieren. Oben habe ich gesagt, dass if Prämisse$A$beweist Satz$B$und Sie können experimentell überprüfen$A$, dann müssen Sie sich nicht verifizieren$B.$Aber ziemlich oft (besonders wenn$A$ist ein Postulat),$B$ist einfacher zu überprüfen als$A$. Aber Überprüfung von$B$nicht gleichwertig verifizieren$A$. Eher Nichtüberprüfung$B$, oder das überprüfen$B$ist falsch bestätigt das$A$ist wegen der impliziten Kontraposition falsch. (So ​​wurde beispielsweise die Äthertheorie des Lichts durch das Experiment von Michelson und Morley diskreditiert, indem gezeigt wurde, dass eine ihrer Konsequenzen falsch ist.)

Überprüfung$B$allein nicht unbedingt verifizieren$A$denn es könnte ein anderes Postulat geben,$C$das impliziert auch$B$. Die einzige Ausnahme hiervon ist if$A$Und$B$sind gegenseitig impliziert und daher gleichwertig, wie mein Beispiel für das Coulomb/Gauß-Gesetz. Aber im Allgemeinen, um unser „Vertrauen“ in eine Prämisse aufzubauen$A$, vorausgesetzt, wir können es nicht überprüfen$A$Direkt im Labor wollen wir viele Folgen verifizieren$A.$Obwohl wir nie so viel Vertrauen gewinnen werden$A$wie wir es in jeder seiner Folgen tun, weil, für jede Folge$B$von$A$, könnte es eine andere Reihe von Prämissen geben, die implizieren$B$. Das macht die Überprüfung einer wissenschaftlichen Theorie sehr schwierig.

Mit Ihrem Experiment können Sie nur sagen, dass Ihr Experiment die Theorie stützt, nicht, dass es sie beweist. Experimente können aus vielen Gründen mit Theorien übereinstimmen, nicht immer, weil die Annahmen richtig sind. In Bereichen, in denen viele Experimente die vorhergesagten Ergebnisse liefern, können Sie sich darauf verlassen, dass ein Theorem Ihrer Theorie mit dem Experiment übereinstimmt, aber Sie können sich nie 100% sicher sein. Wenn Sie ein Dreieck finden, das gegen Pythagoras verstößt, könnte dies daran liegen, dass der Raum gekrümmt und nicht euklidisch ist, wie es die allgemeine Relativitätstheorie vorhersagt.

Vielleicht kann Logik nicht verwendet werden, um eine Theorie zu bestätigen, aber sie kann verwendet werden, um sie zu widerlegen.

Wenn ein bestimmtes Modell der physikalischen Realität gegeben und angenommen wird, kann die Logik verwendet werden, um einen Widerspruch in diesem Modell zu finden, was zu der Schlussfolgerung führt, dass man die Theorie ablehnen sollte. Tatsächlich entspricht ein logischer Widerspruch angesichts der Annahmen einem physikalischen Widerspruch.

Wir sind Zeugen eines ähnlichen Sachverhalts mit dem Informationsparadoxon des Schwarzen Lochs. Obwohl wir in diesem Fall keine vollständige Theorie (Schwerkraft + Quanten) haben, um das Phänomen vollständig zu verstehen.

Eine physikalische Theorie oder ein physikalisches Modell basiert auf Annahmen. Mit mathematischen Methoden treffen Sie Vorhersagen. Selbst wenn der mathematische Teil solide ist, benötigen Sie dennoch experimentelle Ergebnisse, um Ihre Annahmen zu überprüfen oder in Frage zu stellen.

Ich denke (Hervorhebung wird weiter unten erklärt), dass das Wichtigste, was man beim Nachdenken über diese Frage erkennen muss, darin besteht, dass es sich eher um Physiker als um Physik handelt . Mit anderen Worten, es geht eher um die Philosophie und Praxis , wie wir Menschen über Wissenschaft handeln und denken, als um die Natur selbst.

Die Wissenschaftstheorie ist heutzutage ziemlich gut etabliert. Wir nennen es „ die wissenschaftliche Methode “. Obwohl es wichtig ist zu erkennen, dass es sich um eine unbeweisbare Philosophie handelt, mit potenziellen Fallstricken (Wissenschaftler machen bekanntlich Fehler), werden Sie nicht weit kommen, wenn Sie versuchen, jemanden davon zu überzeugen, sie aufzugeben, da sie sich im Großen und Ganzen als ziemlich erfolgreich erwiesen hat. Obwohl die wissenschaftliche Methode viele Formen annimmt (siehe die Wikipedia-Seiteum dies zu diskutieren), ist ziemlich eindeutig, was die Notwendigkeit eines experimentellen Beweises betrifft. Die wissenschaftliche Methode gilt im Wesentlichen allein wegen ihrer strengen Experimentierbarkeit alternativen Formen der Erkenntnisgewinnung (wie etwa der reinen Vernunft der alten Griechen) als überlegen. Es gibt viele attraktive Theorien, die an die Logik appellieren, aber als falsch angesehen werden, weil sie nicht der Realität entsprechen. Dafür gibt es viele Gründe: menschliche Fehlbarkeit, unvollständige Informationen, Ego, Politik usw.

Als illustrative Anekdote habe ich ein Hörbuch genossenkürzlich über die Entwicklung eines Feldes namens "Verhaltensökonomie". Mitte des 20. Jahrhunderts hatten Ökonomen Modelle wirtschaftlicher Phänomene entwickelt, die davon ausgingen, dass alle beteiligten Personen vollkommen rational waren und über perfekte Informationen verfügten. Das war äußerst praktisch, und der mathematische Formalismus führte zu vielen eleganten Ergebnissen. Es gab nur ein Problem: Viele dieser eleganten Ergebnisse waren falsch. Zum Beispiel war eine Vorhersage der Standard-Wirtschaftstheorie, dass Blasen an den Aktienmärkten nicht existieren könnten, was mit dem Börsencrash von 2007-2008 dramatisch widerlegt wurde. Seltsamerweise glaubten nicht alle Ökonomen an diese klassische Wirtschaftstheorie, und die Dissidenten hatten sogar eine ganze Reihe von Laborexperimenten durchgeführt, um zu beweisen, dass Menschen nicht so rational handeln, wie herkömmliche Wirtschaftsmodelle annehmen.sollte sich mathematisch logisch und bequem verhalten. Zu meiner Überraschung als Physiker hat die Mehrheit der Ökonomen die Verhaltensökonomie viele Jahrzehnte lang völlig ignoriert, ohne besonders guten Grund. Die Daten zeigten deutlich, dass die Verhaltensökonomie experimentell solide war, aber aufgrund von Mischungen aus Ego und dem Wunsch, dass eine bestimmte Theorie wahr ist, wurden solche experimentellen Daten erst vor kurzem als Mainstream angesehen.

Solche Vorfälle wie die oben genannten sind der Ökonomie nicht eigen. Newtons Befürwortung der besonderen Theorie des Lichts führte bekanntermaßen viele Physiker jahrzehntelang in die Irre, bis Fresnel und Young endgültig bewiesen, dass die Wellentheorie richtig war. Boltzmann führte dieses Beispiel an, als er seine eigenen unpopulären Ansichten über die statistische Mechanik verteidigte, und im Nachhinein lag er goldrichtig. Vorfälle wie diese sind der Grund, warum fast alle Physiker zustimmen würden, dass jede Theorie durch Experimente bestätigt werden muss. Menschen sind fehlbar, egal für wie schlau sie sich halten. Die Geschichte ist übersät mit Beispielen unbewiesener, aber attraktiver Hypothesen, die Menschen jahrzehntelang in die Irre führten, bevor sie widerlegt wurden (Äther, statisches Universum, vielleicht WIMPs usw.).

Selbst wenn ein Beweis wasserdicht erscheint, kann es sein, dass wir Faktoren in unserem Beweis einfach nicht berücksichtigt haben. Eine andere Geschichte erzählt von Euler, der für seinen Gönner berechnete, wie man Klempnerarbeiten durchführt. Er hat die Mathematik natürlich perfekt hinbekommen, aber der Apparat, den er entworfen hat, hat überhaupt nicht funktioniert. Die nicht idealen Faktoren, die Euler in seinem Modell ausgelassen hatte, erwiesen sich als wichtig.

Die Tatsache, dass weiterhin so viele solcher Fehler passieren, zeigt, dass die Menschen in der Praxis nicht dem Standard entsprechen, den sie predigen. Besonders für etablierte Theorien wird oft ein mathematisches Argument, warum etwas auf eine bestimmte Weise sein sollte, als Evangelium angesehen. Ich denke, dies gilt insbesondere für Unmöglichkeits- oder "No-Go" -Theoreme. ZB das Konzept hinter dem „ Levitron„Spielzeug wurde von manchen für unmöglich gehalten – bis jemand eines entwickelte, das funktionierte. Das Problem mit No-Go-Theoremen ist, dass es wirklich, wirklich schwer ist, alle möglichen Sets zu berücksichtigen, wenn man versucht zu beweisen, dass so etwas wie Levitation unmöglich ist Es gibt unzählige komplizierte Effekte in der Physik (wie im Fall des Levitron die gyroskopische Präzession), die Ihre Analyse auf subtile Weise beeinflussen können, und wirklich sicher zu sein, dass Sie jeden dieser Effekte berücksichtigt haben, ist absurd schwer.

Um den vorherigen Punkt klarzustellen: Das Problem mit einem mathematischen Beweis ist nicht, dass die Natur irgendwie beweisen wird, dass die Mathematik falsch ist. Es gibt immer eine Möglichkeit, die Hypothesen, unter denen der Beweis durchgeführt wurde, zu entkräften. Wenn wir also nie versuchen würden, bekannte mathematische Ergebnisse über die Hypothesen hinaus zu erweitern, von denen wir wussten, dass sie wahr sind, hätten wir kein Problem. Aber als Menschen nutzen wir gerne unsere Intuition über Dinge, die wir verstehen, um etwas über Dinge zu lernen, die wir nicht verstehen. Auch das gehört zur Wissenschaft. Und unter solchen Umständen gibt es keinen Ersatz für Experimente, bis jemand das Gegenteil beweist (nicht „das Gegenteil beweist!“).

(Das ist natürlich nur meine Meinung zu diesem Thema. Um zu beweisen, dass ich recht habe, müsste man ein Experiment machen, bei dem z. B. zwei Gruppen zufällig ausgewählter Forscher recherchiert haben, eine Gruppe, die Experimente verwendet, um alles zu verifizieren, und die andere nicht . Dann sehen Sie, wer am Ende die bessere Theorie hat.)

Willkommen in unserer Herde! Ihre Frage berührt meines Erachtens eines der grundlegenden Probleme des Lebens: Woher wissen wir, dass das, was wir erleben, real ist?

Ich halte es für angebracht, zwischen Mathematik auf der einen Seite und Naturwissenschaften (also: Erfahrungswissenschaften) auf der anderen Seite zu unterscheiden:

• In Mathematik haben wir es mit absoluter Wahrheit zu tun, aber mit einem Vorbehalt: Wir beginnen immer mit einer Reihe von Axiomen, und alle logischen Schlussfolgerungen daraus sind wahr, wenn die Axiome wahr sind. Die mathematische Wahrheit ist also absolut, wenn sie als komplexe Aussage „Wenn [Axiome], dann [Schlussfolgerungen]“ verstanden wird.
• In der Wissenschaft hingegen wissen wir, dass wir die Wahrheit einer Theorie niemals beweisen können; das Beste, was wir tun können, ist sie zu widerlegen: Eine Theorie ist eine (sehr fundierte) Vermutung, die etwas vorhersagt, das wir in einem Experiment testen können. Wenn das Experiment die Vorhersage nicht bestätigt, haben wir grob gesagt bewiesen, dass die Theorie falsch war. Die wissenschaftliche Methode ist also ein Werkzeug, um Unwahrheiten herauszufiltern, und die Hoffnung ist, dass das, was uns nach langer Zeit übrig bleibt, für alle praktischen Zwecke der Wahrheit einigermaßen nahe kommt.

Also, um Ihre Frage pauschal zu beantworten: Nein, Mathematik kann empirische Wissenschaft niemals ersetzen, obwohl sich beide ergänzen und informieren.

Gibt es einen Fall, in dem mathematische Beweise Experimente ersetzen können?

Nein. Jedes physikalische Modell muss experimentell validiert werden. Außerdem haben diese beiden Dinge überhaupt nichts miteinander zu tun.
Reine mathematische Theorien beweisen etwas und physikalische Experimente verifizieren theoretische Modelle.
Wenn Sie mich mal scherzen lassen: Entfällt der Nachweis, dass Sie keinen Hunger haben, einen Test mit Essen ?

Wenn Wissenschaftler jemals behaupteten, ein rechtwinkliges Dreieck in der Natur gefunden zu haben, das gegen den Satz des Pythagoras verstößt, wäre es logischer anzunehmen, dass sie einen Fehler gemacht haben

Nein. Es bedeutet nur, dass dieses Dreieck auf einer nicht-euklidischen Oberfläche liegt. Zum Beispiel schlägt der Satz des Pythagoras bei sphärischen Dreiecken fehl, aber für diesen Fall kann man den Satz des Pythagoras analog finden :

Und man kann ein solches Dreieck leicht auf eine sphärische Oberfläche zeichnen, so dass ALLE seine Winkel wären$\pi/2$! :

So ein Dreieck$A'B'C'$

Und zu Ihrem Vergnügen: Da es mathematisch gesehen unendlich viele Topologien gibt, gibt es unendlich viele Ausnahmen vom Satz des Pythagoras.

Um Ihre Neugier zu wecken, ein Beispiel für eine "kreative" Ausnahme - Dreieck auf wellenartiger Oberfläche:

Entschuldigung, ich bin kein guter Zeichner, daher ist mein Bild nicht ideal, aber Sie bekommen die Idee.

Ja. Genau das tat Einstein 1905 in seiner Abhandlung über die spezielle Relativitätstheorie. Er überlegte, wie Koordinaten operativ definiert werden und leitete daraus Ergebnisse mathematisch ab. Zwar verwendete Einstein die empirische Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, aber das logische (mathematische) Argument hängt nicht von den physikalischen Eigenschaften des Lichts ab, sondern nur von der Existenz einer maximalen Geschwindigkeit in der Natur. Die operationelle Definition der Koordinaten hängt von der maximalen Geschwindigkeit ab. Wir müssen die Höchstgeschwindigkeit nicht messen, da die Geschwindigkeitsmessung von der Definition der Koordinaten abhängt. Folglich können alle Geschwindigkeiten als Bruchteile dieser Höchstgeschwindigkeit ausgedrückt werden.

Allgemeiner können wir die gesamte Relativitätstheorie, speziell und allgemein, aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip ableiten, dass lokale Gesetze der Physik unabhängig von der Referenzmaterie, die ein bestimmter Beobachter verwendet, um sie zu quantifizieren, gleich sind.

Es ist weniger bekannt oder verstanden, dass von Neumann dasselbe für die Quantenmechanik tat. Die mathematische Struktur der Quantenmechanik beruht nur auf der Annahme, dass wir Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse unter gegebenen Anfangsbedingungen angeben können, zusammen mit der Beobachtung, dass die Messergebnisse nicht mit dem Determinismus vereinbar sind.

Dirac setzte qm und sr in der relativistischen Quantenmechanik zusammen und leitete tatsächliche Eigenschaften von Elektronen und Photonen ab. Das Argument lässt sich auf das Standardmodell der Teilchenphysik erweitern.

Kurz gesagt, die allgemeine Form der gesamten modernen Physik kann mathematisch aus allgemeinen Prinzipien abgeleitet werden. Experimente sind noch erforderlich, aber nur, um diskrete Alternativen auszuschließen und die Werte fundamentaler Parameter zu bestimmen. Wie das geht, habe ich in meinen Büchern konzeptionell und mathematisch detailliert gezeigt (siehe Profil).

Es gibt den Fall des mathematischen Beweises, dass Gravitation im Lichte der Stringtheorie existieren muss :

Die Stringtheorie sagt die Existenz von Gravitonen und ihre wohldefinierten Wechselwirkungen voraus. Ein Graviton in der Störungsstringtheorie ist ein geschlossener String in einem ganz bestimmten niederenergetischen Schwingungszustand

Weitere Informationen finden Sie in diesem Artikel.

Gravitation wurde bereits vor dieser „Nachdiktion“ beobachtet. Kam die Beobachtung der Schwerkraft vor dieser (noch hypothetischen) Voraussage der Schwerkraft? Nein. Aber natürlich gäbe es ohne andere Beobachtungen die gesamte Stringtheorie nicht.
Das ist eine der Grundregeln der Wissenschaften. Theorien müssen auf Beobachtungen beruhen.
Es könnte sein, dass die Schwerkraft irgendwie a priori in die Stringtheorie eingedrungen ist (was ich nicht weiß).

Ich bin mir sicher, dass es Beispiele für Theorien gibt, die neue (im Gegensatz zum Beispiel der Gravitation in der Stringtheorie) unsichtbare messbare physikalische Prozesse, Effekte, Konstanten, Gesetzmäßigkeiten usw. vorhersagen.

Beispielsweise wird in der statistischen Thermodynamik vorhergesagt, dass Wärme von heiß nach kalt fließt. Dies wurde bereits vor dem Aufkommen der statistischen Thermodynamik verifiziert, aber es hätte genauso gut umgekehrt sein können, denke ich.
Sie können sich fragen, ob die Grundlage des statistischen Ansatzes (die Existenz von Atomen) ohne die ganze Physik, die vorher kam, hätte gemacht werden können. Aber ich denke, es könnte.
Wir werden nie sicher sein, weil sich die Physik so entwickelt hat, was nicht heißt, dass wir keine fundierten Vermutungen anstellen können.

Kann es sein, dass die Grundannahmen einer mathematischen Theorie experimentell validiert wurden, aber die Vorhersage einer Ableitung in dieser Theorie experimentell INvalidiert werden könnte? Ja - neben allen bereits genannten Gründen besteht immer die Möglichkeit, dass es etwas in der Natur gibt, das NICHT von der Theorie modelliert wird. Manche Wissenschaftler suchen deshalb zum Beispiel immer wieder nach einer sogenannten „fünften Kraft“.

Auf einer prosaischeren Ebene: Es ist möglich, dass ein astronomisches Phänomen durch eine mathematische Ableitung ausgehend von der Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagt wird, aber die tatsächlichen Beobachtungen weichen von dieser Vorhersage aufgrund des Vorhandenseins elektromagnetischer Effekte ab [die GR nicht erklären konnte, da es nur die Gravitation anspricht ]. Ich erwähne dies, weil die meisten Astronomen glauben, dass Elektromagnetismus im galaktischen Maßstab vernachlässigbar ist, aber mindestens ein Forscher hat diese Annahme bestritten.

Mir fällt mindestens ein Fall ein, in dem wissenschaftliche Gesetze mathematisch bewiesen wurden.

In der Mathematik beweist man Theoreme, indem man Logik auf die Axiome anwendet. Axiome sind Tatsachen, die als richtig angenommen werden, ohne dass es eines Beweises bedarf. Beispiele für von Peano verwendete Axiome sind:

0 is a natural number.
For every natural number x, x = x.
For all natural numbers x and y, if x = y, then y = x

In fast allen Fällen verwendet die Wissenschaft keine Axiome. Stattdessen verwendet es Beobachtungen, um zu sehen, wie sich die Natur verhält.

Es gibt jedoch einige Fälle, in denen die Wissenschaft nahe daran ist, Axiome zu verwenden, und in diesem Fall kann die Mathematik verwendet werden, um andere Tatsachen zu beweisen. Dieser Beweis stützt sich dann stark auf die Tatsache, dass die Annahmen (Axiome) korrekt sind.

Ein berühmtes Beispiel ist der Energieerhaltungssatz, der erste Hauptsatz der Thermodynamik . Spätestens seit den von Carnot begonnenen Untersuchungen von Dampfmaschinen wurde erkannt, dass die Energie in einem isolierten System in andere Formen umgewandelt, aber nicht erzeugt werden kann. Dieses Gesetz wurde von Emmy Noether mit der Veröffentlichung ihres Erhaltungssatzes im Jahr 1918 auf eine viel stärkere Basis gestellt. Darin bewies sie mathematisch, dass, solange sich die Gesetze der Physik nicht mit der Zeit ändern, die Energieerhaltung folgt. Dasselbe gilt für die Impulserhaltung (die folgt, wenn sich die physikalischen Gesetze nicht mit dem Ort ändern) und andere Erhaltungsgrößen. Für jede Symmetrie gibt es eine entsprechende Erhaltung.

Mit anderen Worten, wir behandeln hier sehr grundlegende Tatsachen wie die Invarianz physikalischer Gesetze in Bezug auf Zeit oder Ort als Axiome und verwenden Mathematik, um unsere Gesetze daraus abzuleiten.

Gibt es einen Fall, in dem mathematische Beweise Experimente ersetzen können?

Ja, das passiert ständig in echten wissenschaftlichen Umgebungen.

(Nun, für diejenigen, die anderer Meinung sind, lesen Sie dies bitte vollständig, bevor Sie mich ablehnen.)

Es gibt bestimmte Prinzipien, die unter Physikern „Dogmen“ sind. Einige klassische Beispiele sind:

• Kausalität
• Energieeinsparung

Wenn Ihnen jemand eine Theorie zeigt, die er entwickelt hat (vielleicht versucht er, einige bekannte Probleme in einem bestimmten Bereich zu lösen), und Sie ihm gezeigt haben, dass seine Mathematik impliziert, dass die Energieerhaltung verletzt wird - dies ist unter Physikern gleichbedeutend mit dem, was Sie dem anderen sagen Person, dass sie falsch liegen.

Wenn in diesem Beispiel die Mathematik klar ist, dass die "Energieerhaltung" verletzt wird, WÜRDEN Physiker darauf bestehen, dass die Durchführung eines Experiments zur Überprüfung dieser Theorie Zeitverschwendung ist.

Nun, ich sage diese Dinge nicht als Kritik an Physikern, aber die Realität ist, dass es einige Ideen gibt, die so tief verwurzelt sind, dass es einer außergewöhnlichen Menge an Beweisen bedürfte, um die Meinung der Physiker zu ändern. Und das meist aus gutem Grund. Einige Konzepte sind so gut etabliert (wie das oben erwähnte „Dogma“), dass es in der Tat Zeitverschwendung ist, sie zu hinterfragen.

Also ja, am Ende (wenn die Zeit ins Unendliche geht) werden Experimente und empirische Beweise immer die mathematische Theorie außer Kraft setzen. Aber in der Praxis gibt es viele Ausnahmen.

Es ist in gewisser Weise ein Grund, warum einige denken, dass große Veränderungen nur in riesigen „Paradigmenwechseln“ passieren, bei denen die jüngere, aufgeschlossenere Generation die Sturheit der älteren Generation überlebt. (Ich habe gehört, dass) die Geburt der Quantenmechanik diese Art von Verschiebung hatte, da ein Großteil der älteren Generation sich weigerte, die neuen Modelle zu akzeptieren, die zu den experimentellen Arbeiten passten.

Ja, du kannst. Wie groß ist die Summe aller positiven ganzen Zahlen? -1/12, richtig? Ist das wahr? Ja. Können Sie das empirisch belegen? NEIN. Empirisch würde man eine größere Zahl erhalten als zuvor, theoretisch eine kleinere Zahl als die erste positive ganze Zahl.