Wie wichtig ist der mathematische Beweis in der Physik?

Mathematische Beweise beziehen sich genau darauf, wie sich ein MODELL verhalten wird. Sie haben nicht viel damit zu tun, wie sich die reale Welt verhält. Wenn die Mathematik richtig durchgeführt wird, dann hat man „bewiesen“, wie sich das Modell verhalten wird.

Der Grund für Experimente besteht darin, herauszufinden, ob sich das völlig fiktive MODELL, das jemand einfach erfunden hat, in irgendeiner Weise genauso verhält, wie Beobachtungen nahelegen, dass sich die reale Welt verhält. Wenn dies nicht der Fall ist, ist dies kein Hinweis auf einen mathematischen Fehler, sondern bedeutet einfach, dass das fiktive Modell keine gute Beschreibung der realen Welt ist und geändert werden muss.

Der mathematische Beweis ist für die Physik ungefähr das, was der Syllogismus (oder eine andere grundlegende Folgerungsregel) für die Logik ist. Es geht nämlich von Annahmen aus , die unsere Vorstellung von einer physikalischen Realität modellieren, und zeigt, was so sein muss , wenn die Annahmen gelten, aber es kann nichts über die zugrunde liegenden Annahmen selbst sagen. Ein einfaches Beispiel wurde von dmckee in seinem Kommentar gegeben:

Wenn ein mathematischer Beweis mit einem Experiment nicht übereinstimmt, sagt das nichts über den Beweis oder die Physik aus. Es besagt, dass die Physik durch diese Mathematik nicht gut modelliert wird. Wenn Sie eine Tatsache über Vektorfelder bewiesen haben und das physikalische Verhalten von der Vorhersage abweicht, dann ist Ihr physikalisches Objekt kein Vektorfeld .

Ergebnisse aus der Physik muss man immer mit Experimenten „mathematischen Beweisen“ erproben. In der Tat könnte man argumentieren, dass die Erstellung solcher mathematischer Beweise die Hauptaufgabe theoretischer Physiker ist, und der einzige Grund für ihre Erstellung ist, herauszufinden, was die betreffende Theorie als falsifizierbar voraussagt (siehe Wiki-Seite zur Falsifizierbarkeit) . Es gibt zwei "Experimente", die an einem solchen "Beweis" durchgeführt werden müssen:

1. Ich betrachte den Peer-Review-Prozess sowie die Geschichte des unabhängigen Testens eines theoretischen Arguments als ein wichtiges "Experiment", um die mathematische Stichhaltigkeit der in solchen "Beweisen" gezogenen Schlussfolgerungen zu testen. Heutzutage stützen sich viele theoretische Überlegungen auf viele mathematische Ergebnisse auf einmal, und mathematische Beweise selbst (z. B. das Theorem von Wiles ) können die Größe (in Bits, gemessen beispielsweise durch Mizar- oder MetaMath-Codierungen solcher Beweise) kleiner bis mittlerer Softwarebibliotheken haben . Als solche liegen sie in Bezug auf die Komplexität nicht allzu weit hinter Dingen wie Betriebssystemen und Steuersoftware für Telekommunikationsnetze, die als die Objekte mit der höchsten Komplexität gelten, die jemals von Menschen konstruiert wurden (siehe Fußnote). Wenn der „Beweis“ diesen experimentellen Test nicht besteht, ist es per Definition NICHTein mathematischer Beweis.
2. Sobald der Beweis durch Peer-Review und unabhängige Reproduktion als solide erachtet wird, müssen die experimentellen Ergebnisse, die sich aus der Schlussfolgerung des Beweises ergeben, im Experiment reproduziert werden.

Kurz gesagt, der Prozess der experimentellen Verifizierung unterscheidet Mathematik und Physik.

Beachten Sie, dass selbst wenn der Beweis in Schritt 2 „fehlschlägt“, er für die Physik von unschätzbarem Wert war, weil er dann zu einem Beweis durch Widerspruch wird, dh er sagt uns, dass eine oder mehrere Annahmen, die dem Beweis zugrunde liegen, falsch sein müssen und daher unsere Vorstellungen darüber, was wirklich ist im Experiment vor sich geht, müssen überarbeitet werden. Der Beweis selbst, wenn er durch Schritt 1 als solcher gezeigt wird, kann nicht "falsch" sein.

Zur Beantwortung Ihrer Frage:

Gibt es Beispiele für Dinge, die bis zu einem gewissen Grad mathematisch bewiesen wurden (z. B. einen Mathematiker zufrieden stellen), die sich aufgrund von Experimenten als falsch herausstellten?

Wie in Schritt 1 oben besprochen, gibt es in der Physik keine „mathematischen Beweise“, die falsch sind. Wenn ihre Vorhersagen und experimentellen Ergebnisse einander widersprechen, dann sind die Annahmen falsch. Hier sind jedoch zwei berühmte Beispiele dafür, wie Beweis "Fehler" und Physik interagieren:

1. Als Beispiel für etwas, das Schritt 1. oben schließlich nicht erfüllt, denken Sie an Euklids paralleles Postulat (siehe Wiki-Seite dieses Namens, insbesondere unter der Überschrift "Geschichte" ). Viele Mathematiker brachten „Beweise“ dafür, dass dieses Postulat aus den anderen Postulaten von Euklid folgte, weil es ihnen schien, dass das parallele Postulat nicht selbstverständlich war und aus den anderen folgen sollte. Manchmal wurden die betreffenden Beweise von der wissenschaftlichen Gemeinschaft lange Zeit als solide akzeptiert, bis jemand den Fehler darin fand. Nach Lobatschewskizeigte, dass die hyperbolische Geometrie ein solides Axiomensystem war, das alle Postulate von Euklid erfüllte, aber NICHT das parallele, nahmen Mathematiker des 19. Jahrhunderts wie Gauß, Riemann und Clifford die Unabhängigkeit des parallelen Postulats so ernst, dass sie es für theoretische Physik hielten sowie Mathematik, dh dass es wie ein Beweis war, der Schritt 1 bestand, aber Schritt 2 nicht bestand, dh es stellte die Vorstellung in Frage, dass Euklid unsere physische Welt modelliert hat. Gauß führte sogar empfindliche Vermessungen durch, um die Winkel in großen Dreiecken experimentell zu überprüfensummiert sich auf eine halbe Umdrehung. Heutzutage ist nicht nur die Allgemeine Relativitätstheorie mit ihrer nichteuklidischen, allgemein gekrümmten Geometrie Mainstream-Physik, sondern auch nichteuklidische geometrische Interpretationen von Eichtheorien zusammen mit der Palette von Techniken, die die Sprache der Differentialgeometrie mit sich bringt, sind Teil der grundlegenden theoretischen Physik;
2. Ein gutes Beispiel für das subtile Zusammenspiel zwischen mathematischem Denken und experimentellem Testen ist die Geschichte der Idee des lokalen Realismus und der Quantenmechanik, wie sie durch von Neumanns Argument gegen die Idee der verborgenen Variablen und das EPR-Paradoxon getestet wurde, das zur Arbeit von John Bell und führte die experimentell getesteten Verletzungen seiner Ungleichheit, wodurch die Idee des lokalen Realismus immer schwerer aufrechtzuerhalten ist. All diese Ideen beinhalteten logisches und mathematisches Denken, um experimentelle Ergebnisse vorherzusagen, die die Menschen früher für absurd gehalten hatten, und förderten daher unser Verständnis der Quantenphysik erheblich. Eine Zusammenfassung finden Sie auf den folgenden Wikipedia-Seiten: Bell's Theorem , John Stewart Bell , the Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxsowie die Abhandlung von David Mermin, "Is the moon there when none lookings? Reality and the Quantentheorie" , Physics Today, April 1985.

Die Mathematik hilft uns bei all diesen Prozessen, die feinen Details der Bedeutungen zu klären, die in unseren manchmal für selbstverständlich gehaltenen physikalischen Annahmen vorhanden sind.

Schließlich kann Mathematical Proof natürlich als eine Art "Anlageberater" angesehen werden: Es sagt uns, wo wir unsere härteste Arbeit und andere Ressourcen in Experimente stecken sollen. Sofern Sie keinen Grund haben, eine physikalische Annahme A genau in Frage zu stellen, die bereits durch Experimente gestützt zu sein scheint, ist ein Experiment, das die logischen Ergebnisse der Kombination von Annahme A und Annahme B durch mathematische Argumentation testet, eine viel bessere Nutzung von Zeit und Arbeit als ein vorhergesagtes Ergebnis kann als logisch äquivalent zu der bereits experimentell gestützten Annahme A gezeigt werden.

Fußnote: Ich sehe die automatisierte Beweisentwicklung und Überprüfung durch Dinge wie Software-Beweissysteme als wichtig für die Physik in der Zukunft. So wie ich es verstehe, leiden viele Teile der Stringtheorie unter dieser Art von Problem, dass sie von einem oder wenigen Rezensenten allein schwer zu überprüfen sind. Obwohl Proof-Entwicklungssysteme selbst erstaunlich komplex sind, ist die Proof-Checking-Software glücklicherweise selbst ein einfacher Parser, der auf ein oder zwei Seiten Code reduziert werden kann und daher gründlich experimentell debuggt werden kann, so dass es egal ist, wie Proofs erstellt werden so lange da sie vom Parser als gültig erachtet werden.