Wenn eine Theorie von allem existiert, ist sie notwendigerweise einzigartig?

Ich werde meinen obigen Kommentar zu einer Antwort erweitern:

Wenn Sie nach einem EVG suchen, der eine mathematische Theorie ist, muss es mindestens eine logische Theorie sein, dh Sie müssen die Symbole und Aussagen und die Inferenzregeln definieren, um neue (wahre) Sätze aus den Axiomen zu schreiben. Offensichtlich müssten Sie mathematische Strukturen durch zusätzliche Axiome, Symbole usw. hinzufügen, um eine ausreichende Vorhersagekraft zur Beantwortung physikalisch relevanter Fragen zu erhalten.

Dann haben Sie bei zwei gegebenen Theorien die folgende logische Definition der Äquivalenz: let$A$und$B$zwei Theorien sein. Dann$A$ist äquivalent zu$B$if: für jede Anweisung$a$von beiden$A$und$B$,$a$ist nachweisbar in$A$ $\Leftrightarrow$ $a$ist nachweisbar in$B$.

Offensichtlich können Sie in der Lage sein, Erklärungen zu schreiben$A$die sind nicht drin$B$oder umgekehrt, wenn die Objekte und Symbole von$A$und$B$sind nicht das Gleiche. Aber nehmen wir (der Einfachheit halber) an, dass die Symbole von$A$und$B$fallen als Schlußregeln zusammen und unterscheiden sich nur für die Gegenstände (in dem Sinne, daß$A$kann mehr Objekte enthalten als$B$oder umgekehrt) und Axiome.

In diesem Zusammenhang sind ZFC- und Bernays-Godel-Mengentheorien gleichwertig, wenn es um Aussagen über Mengen geht, auch wenn die Axiome unterschiedlich sind und die Bernays-Godel-Theorie Klassen als mathematische Objekte definiert, während ZFC dies nicht tut.

Beginnen wir, über Physik und TOE zu sprechen, und folgen der Diskussion in den Kommentaren. Es wurde gesagt, dass sich zwei EVG nur in nichtphysikalischen Aussagen unterscheiden müssen, da sie doch EVG sein müssen und somit jede physikalische Beobachtung auf die gleiche Weise erklären. Ich stimme zu, und betrachten wir von nun an nur Theorien, in denen die physikalischen Aussagen wahr sind.

Lassen$A$ein ZEHEN sein. Lassen$a$ein Axiom sein, das unabhängig von den Axiomen von ist$A$(das heißt grob gesagt, dass es unentscheidbare Aussagen gibt in$A$, die in entscheidbar sind$A+a$, aber alle Aussagen wahr in$A$sind immer noch wahr in$A+a$). Zunächst einmal so eine$a$existiert nach dem Satz von Gödel, da es bei einer logischen Theorie immer eine unentscheidbare Aussage gibt. Ebenfalls,$a$ist unphysikalisch, da$A$ist ein TOE. Endlich,$A$und$A+a$sind inäquivalent (im obigen Sinne) und sind EVG.

Ein Beispiel ist meiner Meinung nach die generalisierte Kontinuumshypothese (GCH): Ohne auf Details einzugehen, wurde mit der Theorie des Forcierens gezeigt, dass sie unabhängig von den Axiomen der ZFC-Mengentheorie ist. Daher$ZFC$,$ZFC+GCH$und$ZFC+\overline{GCH}$(ZFC plus die Negation von GCH) sind alle unäquivalenten Theorien, die enthalten$ZFC$. Es ist sehr wahrscheinlich, dass ein EVG Mengenlehre enthalten muss, zB ZFC. Lassen$A$sei so ein TOE. Auch das ist sehr wahrscheinlich$GCH$ ist kein physikalisch relevantes Axiom (zumindest für unser heutiges Wissen nicht). Dann$A$und$A+GCH$unäquivalente EVG wären, dann ist ein EVG nicht eindeutig.

Ich habe nur zum Spaß ein bisschen Logik studiert, also kann ich falsch liegen ... Wenn jemand so denkt und mich korrigieren kann, ist willkommen ;-)

Wie Yuggib habe ich beschlossen, meine Kommentare zu einer Antwort zu erweitern. Ich werde jedoch einen weniger formellen Ansatz wählen. Aus den Kommentaren geht hervor, dass das Folgende eine zufriedenstellende, praktikable Sichtweise für den (nicht strengen) Physiker sein könnte:

Zwei physikalische Theorien von allem$A$&$B$muss eindeutig die gleiche Physik in jeder physikalischen Situation vorhersagen, da es sich um ToE's handeln muss. Wir könnten uns jedoch vorstellen, dass zwei physikalische Theorien (mathematisch) in folgendem Sinne inäquivalent sind: Es gibt eine unphysikalische Situation, in der die beiden Theorien etwas anderes vorhersagen.

Wir nennen eine Theorie einzigartig , wenn es keine inäquivalente Theorie im obigen Sinne gibt.

Die wichtigste Frage ist, ob wir vernünftigerweise erwarten können, dass – vorausgesetzt, ein ToE existiert und gefunden werden kann – ein ToE einzigartig ist. Bei gegebenem ToE können wir natürlich ein etwas triviales und uninteressantes Beispiel eines unäquivalenten ToE konstruieren, indem wir „von Hand“ eine neue Regel hinzufügen, die die Vorhersagen der Theorie explizit auf streng unphysikalische Weise ändert. Intuitiv wissen wir jedoch, dass wir dies nicht wirklich als unäquivalente ToE betrachten sollten (obwohl dies möglicherweise schwer zu formalisieren ist). Ich denke, dies ähnelt der in Yuggibs Antwort beschriebenen Konstruktion.

Können wir, abgesehen von diesen „einfachen“ Beispielen, immer noch erwarten, dass eine ungleiche EV auf nichttrivialere Weise entsteht? Ich persönlich denke, die Antwort ist ja, aber ich habe keine Mathematik (oder Physik), um meine Behauptung zu stützen. Tatsächlich bin ich mir nicht sicher, ob es möglich ist, konsequent über diese Probleme zu argumentieren. Vielleicht ist der beste Weg, über diese Frage nachzudenken, der historische .

Es ist bereits bekannt, dass einige unserer gegenwärtigen Theorien in einer Weise formuliert werden können, die im obigen Sinne wirklich mathematisch inäquivalent ist. Ein mir bekanntes Beispiel ist Feynmans zeitsymmetrische Theorie des klassischen Elektromagnetismus (im Vergleich natürlich mit der üblichen Formulierung von EM), die vorhersagt, dass ein Elektron nicht strahlt, wenn es allein im Universum ist . Wenn wir davon ausgehen können, dass ein ToE erkenntnistheoretisch nichts grundlegend anderes ist als der letzte Schritt in unserem sich allmählich erweiternden Wissen über das Universum, könnte es vernünftig sein, aus unseren Erfahrungen mit älteren Theorien zu schließen, dass wir tatsächlich mehrere Unäquivalente erwarten können Theorien zu bestehen.

Vorbehalt: Ich kann nicht mit Gewissheit behaupten, dass das oben Gesagte vernünftig, konsistent und/oder wahr ist.

Es ist möglich zu testen, ob zwei mathematische Formalismen äquivalent sind

Nein, das ist nicht möglich. Mathematik ermöglicht es Ihnen, über Dinge zu sprechen, bei denen Sie nicht feststellen können, ob sie gleichwertig sind. Das Wortproblem ist ein kleines Beispiel, und die meisten mathematischen Systeme leiden selbst unter demselben Problem.

Betrachten Sie nun die Menge aller möglichen Formulierungen von Theorien, die die Menge aller Observablen vorhersagen

Sie verwenden jetzt bereits eine bestimmte Mengenlehre, ZFC und NFU geben Ihnen möglicherweise unterschiedliche Mengen auf beiden Ebenen. Wenn Sie eine bestimmte Version der Mathematik korrigieren möchten, werden Sie auf das Problem nicht standardisierter Modelle stoßen. Sie können versuchen, dies zu vermeiden, indem Sie zur Logik zweiter Ordnung gehen und eine Theorie zweiter Ordnung aufstellen, aber die Logik zweiter Ordnung nimmt genau das an, was Sie diskutieren, also ist es eine klassische Fragestellung, wo Sie das annehmen, was Sie zeigen möchten. Aus diesem Grund ist es in diesem Zusammenhang intellektuell bankrott.

Mathematik, wie sie normalerweise praktiziert wird, ist wie ein Spiel, bei dem wir so tun, als ob wir so tun würden. Der Punkt ist, dass Sie einige Dinge annehmen und sehen, wohin Sie von dort aus gehen können, und die Annahmen unbestritten lassen. Es tut es. Aber der Versuch, mehr zu bekommen, ist problematisch.

Aber jenseits der Mathematik gibt es auch schon schlechte Physik.

Zum Beispiel könnte es eine Welt geben, in der die 3D-Newtonsche Mechanik genau wie ein EVG ist. Und es könnte eine andere Welt geben, in der die 2D-Newtonsche Mechanik genau wie ein EVG ist. Aber diese erste Theorie ist voll und ganz in der Lage, die zweite Welt zu beschreiben, es müssten nur alle Anfangspositionen und Impulse in einer festen Ebene liegen.

Die erste Theorie erlaubt mehr Beobachtungen und mehr Anfangsbedingungen. Aber es funktioniert gut für das restriktivere Universum.

Aber wir könnten dasselbe mit GR machen, fügen Sie einfach eine weitere Koordinate hinzu$w$und sagen, dass alles seine Koordinatengeschwindigkeit in der hat$w$Richtung konstant sein, aber die anderen vier Koordinaten eines Objekts entwickeln sich genauso wie im regulären GR. Wenn dann die Anfangsbedingungen alles an sich haben$w=0$anfangs und nein$w$Geschwindigkeit, dann bleiben sie dort, aber diese höherdimensionale Theorie hat die (in unserem Fall unnötige) Freiheit, andere Anfangsbedingungen zu berücksichtigen.

Es kann bewiesen werden, dass, wenn eine ToE existiert, diese nicht zwangsläufig eindeutig ist

Nehmen Sie eine beliebige Theorie T. Fügen Sie einen neuen Parameter hinzu. Sagen Sie, wenn Dinge den gleichen Parameterwert haben, verhalten sich die Dinge wie in T, aber wenn sie unterschiedliche Werte haben, verhalten sie sich anders, seien Sie spezifisch. Sagen Sie, dass sich Ihr Wert des neuen Parameters auf einfache Weise ändert, so dass, wenn neue Sachen aus Dingen gemacht werden, die den gleichen Wert wie der Parameter hatten, dass das neue Ding den gleichen Wert hat und wo es für alles möglich ist Behalten Sie den gleichen Wert dieses neuen Parameters bei, unabhängig von allem anderen. Dann haben Sie eine neue Theorie N. Aber Sie können N genauso einfach wie T verwenden, indem Sie einfach Anfangsbedingungen angeben, bei denen alles denselben Wert des Parameters hat und so beginnt, dass sich dieser Wert nicht ändert.

Aber Occams Rasiermesser bevorzugt den ersten TOE T, weil der TOE N wirklich eine Theorie von zu viel ist.

Sie haben gefragt, ob es

kann bewiesen werden, dass es unmöglich ist, etwas über die Einzigartigkeit eines ToE zu sagen, falls es einen gibt (es ist unmöglich, die mathematische Äquivalenz von Theorien zu testen)

Und im Allgemeinen können Sie die Äquivalenz von Theorien nicht testen, aber einige Theorien können getestet werden. Also manchmal geht es, manchmal nicht. Manchmal weiß man, dass man es nicht kann.

Da Sie sagten, es sei eine mathematische Frage, ist es nicht verwunderlich, dass alles von Ihren genauen Definitionen abhängt.