Finaltheorie in der Physik: ein mathematischer Existenzbeweis?

Dies ist eher eine interessante Fragestellung als eine Frage, da ich mir nicht sicher bin, was die gestellte Frage ist, weil zu viele Punkte in Frage gestellt oder fragwürdig sind

Ich denke, es ist anders, aber sehr verwandt mit einer früheren Frage zur physikalischen Beweisbarkeit der Church-Turing-These, die besagt, dass jedes Computergerät, das gebaut werden kann, nicht mehr berechnet als das, was von einer Turing-Maschine berechnet werden kann.

Ein Problem mit der Church-Turing-These ist, dass das Konzept des Beweises in einer axiomatischen Theorie grundsätzlich dasselbe ist wie das Konzept eines Computerprogramms , dh einer Turing-Maschine. Dies ist nicht in dem Sinne, dass ein Programm Theoreme und Beweise hervorbringen kann, wie in Ron Maimons Präsentation von Gödels Beweis , sondern weil ein Programm als Beweis seiner Spezifikation "gelesen" werden kann (" Bei einem gegebenen Wert x, so dass P( x) gilt, gibt es ein Ergebnis y, so dass Q(x,y) gilt. ") und umgekehrt kann ein Beweis als ein Programm gelesen werden, das tatsächlich berechnet, was auch immer der Satz aussagt. Diese Darstellung ist natürlich eine stark vereinfachte Version eines Ergebnisses von Curry und Howard (1980), an dem noch geforscht wird.

Daher besteht ein Hauptproblem bei den möglichen Einschränkungen der Berechenbarkeit, ob es solche physikalischen Einschränkungen gibt oder nicht, und ob wir die Existenz solcher Einschränkungen beweisen können oder nicht, darin, dass mathematische Beweise direkt von denselben Einschränkungen betroffen sind. Ein entscheidender Aspekt solcher Einschränkungen, auf den ich weiter unten eingehen werde, ist die Abzählbarkeit intellektueller Prozesse.

Wir können davon ausgehen, wir müssen davon ausgehen, dass unsere Art, Mathematik, einschließlich physikalischer Theorien, zu betreiben, konsistent ist. Dies ist wirklich (zumindest für mich) eine physikalische Sichtweise davon: Wir finden Widersprüchlichkeiten, die normalerweise als Paradoxien bezeichnet werden, aber sie werden (bisher) wie experimentelle Widersprüchlichkeiten in der Physik durch Verfeinerung der Theorien und Evolution von Konzepten gelöst Überwinden Sie die Schwierigkeit und geben Sie die Probleme angemessen an.

Die Annahme, dass die Mathematik im Wesentlichen konsistent ist, ist von wesentlicher Bedeutung, denn was immer wir beweisen können, sollte nicht durch zukünftige Erweiterungen der Konzepte der Berechenbarkeit oder Beweisbarkeit in Frage gestellt werden, falls welche physikalisch möglich sind.

Nun machen einige Ergebnisse tiefe Annahmen, die nicht immer offensichtlich zu interpretieren sind. Im Fall des Gödel-Unvollständigkeitsergebnisses besteht ein wesentlicher Aspekt darin, dass logische Formeln, Theoreme und Beweise als ganze Zahlen codiert werden können. Das bedeutet, dass unsere logischen Ableitungssysteme grundsätzlich abzählbare Einheiten sind (wie Turing-Maschinen). Wenn sich herausstellte, dass ein Durchbruch in der Physik es uns ermöglichte, effektiv mit nicht-abzählbaren Systemen umzugehen, dann wären Ergebnisse, die auf dieser Abzählbarkeit beruhen, in Frage gestellt. Dies ist genau der Fall für das Gödel-Unvollständigkeitsergebnis, wie gesagt (möglicherweise könnte es in einer anderen Form zurückkommen).

Diesen Abzählbarkeitsaspekt habe ich in meiner Antwort auf die Frage zur physikalischen Beweisbarkeit der Church-Turing-These angesprochen . Zu der Zeit basierte diese Antwort ausschließlich auf meinem informellen Verständnis dieser Probleme. Um meine Antwort ein wenig zu verbessern, habe ich nach Literatur gesucht, und das Thema wird derzeit aktiv erforscht. Während mein Wissen über diese Literatur mehr als oberflächlich bleibt, scheint meine Intuition richtig gewesen zu sein, dass ein angemessener Umgang mit dem grundsätzlich diskreten (oder abzählbaren) Charakter von Berechenbarkeit und Beweisbarkeit im aktuellen Stand der Technik für die Ableitung unerlässlich ist Church-Turing-These aus den Gesetzen der Physik, und dass Kontinuität oder reelle Zahlen ein wichtiges Thema sind.

Ein Ansatz, den ich mir angesehen habe (ich beschränke mich auf Artikel im Open Access im Web), beruht auf der Annahme einer bestimmten Eigenschaft der physischen Welt, die als duale Begrenzung der Lichtgeschwindigkeit und der Information dargestellt wird, was eine Begrenzung der ist Raumdichte der Information, beide Begrenzungen zusammen sorgen für Dichtebegrenzung in der Raumzeit. Die Übersetzung dieses neuen Gesetzes in physikalische Begriffe kann tatsächlich subtil sein, um verschiedene bestehende physikalische Gesetze zu berücksichtigen. Dies schließt offenbar eine ungeregelte Verwendung von reellen Zahlen aus.

Wenn dieses Gesetz der begrenzten Dichte tatsächlich bestätigt wird, würde dies meiner Meinung nach auch bedeuten, dass das Gödel-Theorem auch eine Folge physikalischer Gesetze ist.

Ob ein derart begrenztes Informationsdichtegesetz tatsächlich verifiziert ist, steht auf einem anderen Blatt. Ist dies nicht der Fall, bleiben Türen offen für eine Erweiterung der Konzepte der Berechenbarkeit und Beweisbarkeit.

Unter der Annahme, dass unsere Mathematik ansonsten konsistent ist, würden in einem solchen Fall alle beweisbaren Ergebnisse beweisbar bleiben, aber wir könnten möglicherweise neue Theoreme beweisen, die wahr, aber in der klassischen abzählbaren Umgebung nicht beweisbar sind.

Die Antwort auf die Frage , ob eine Alles-Theorie dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz entgehen würde, hängt also sehr stark davon ab, was Alles ist, da es tatsächlich den Kontext bestimmt, in dem Berechenbarkeit oder Beweisbarkeit definiert werden müssen. Würde eine Theorie von Allem ein Gesetz enthalten, das die Informationsdichte begrenzt?

Beachten Sie, dass selbst bei Gültigkeit von Gödels Ergebnis die Möglichkeit einer Theorie von Allem bestehen könnte, in der alle wahren Tatsachen in Bezug auf das Universum tatsächlich wahr wären. Es ist nur so, dass Sie es nicht beweisen könnten (damit das Universum ein Geheimnis für uns bereithält, über das wir uns in sternenklaren Nächten wundern können).

Andererseits konnte es keine solche Theorie von allem geben. Aber was wäre die endgültige Definition einer Theorie, wenn die Physik es uns erlauben würde, die diskrete Natur der Sprache, in der sie ausgedrückt werden, in Frage zu stellen?

Abgesehen davon, dass ich 42 als ultimative Antwort nehme, kann ich für den Rest nur vorschlagen, die Matrix zu verlassen, um die Wahrheit über unsere Welt zu erfahren, oder Simulacron-3 zu lesen.

Es existiert die platonisch/pythagorische Ansicht, dass die Mathematik in einem Ideenraum existiert, den die Natur erfüllt. In diesem Fall haben mathematische Beweise auch für Beobachtungen eine Bedeutung.

Andererseits besteht die Ansicht, dass mathematische Theorien, die die Natur modellieren, niemals als richtig bewiesen werden können, sie können nur durch Daten validiert oder sogar durch ein Datum falsifiziert werden.

Die Antwort auf Ihre Zusammenfassung hängt von der philosophischen Ausrichtung des Antwortenden ab.

ZUSAMMENFASSUNG:

1') Gibt es eine endgültige Theorie der Physik? Die Frage der Existenz sollte an einige seiner bemerkenswerten Eigenschaften (wahrscheinlich) gebunden sein.

Irgendwann, als ich Quantenmechanik lernte, gehörte ich zur platonischen Schule: dass Mathematik eine Matrix ist, die die Natur erfüllen wird. Nachdem ich jahrelang Experimente durchgeführt habe, bin ich der zweiten Meinung, je mehr wir graben, desto mehr finden wir, was nicht durch die neueste Theorie modelliert werden kann; Es ist eine nie endende Aufgabe.

2') Wie könnten wir seine Existenz beweisen oder widerlegen und damit beweisen, dass der einzige Weg in der Physik eine unendliche Folge immer präziserer Theorien ist oder dass das Polyversum auf der grundlegendsten Ebene zufällig und/oder chaotisch ist?

Meiner Ansicht nach kann eine Theorie niemals bewiesen, sondern nur durch Daten validiert werden, daher gibt es auf diese Frage keine Antwort.

3') Wie wirken sich 1') und 2') auf Gödels Theoreme aus?

Meiner Ansicht nach ist das Theorem erfüllt, da es sich um eine offene Suche nach mathematischen Theorien zur Beschreibung von Daten handelt.

Meine Vorstellung von einer endgültigen Theorie ist, dass alle möglichen experimentell machbaren Situationen auf logische Weise eine berechenbare Antwort aus Grundprinzipien haben. Ich glaube nicht, dass dies in irgendeiner Weise gegen Gödels Theorem verstoßen würde. Zum Beispiel wird es in jeder Situation in der ebenen Geometrie eine genau berechenbare Antwort in dem Sinne geben, dass sie vollständig ist.

Physik setzt Mathematik voraus. Daher müsste jede "Final Theory of Physics" auch Mathematik voraussetzen, um wirksam zu sein. Da diese „Finale Theorie“ Mathematik voraussetzen muss, kann sie daher die Gültigkeit von Mathematik nicht beweisen (oder widerlegen). Ebenso setzt die Mathematik die Gültigkeit der Logik voraus, daher kann die Mathematik die Gültigkeit der Logik nicht beweisen (oder widerlegen). Daher kann die Physik die Gültigkeit von Logik oder Mathematik nicht beweisen (oder widerlegen). Da die Physik nicht alle metaphysischen Gesetze (wie Logik oder Mathematik) beweisen (oder widerlegen) kann, ist die Physik unvollständig.

Nun könnten Sie sagen, bah, das ist nur Mathematik und Logik – Metaphysik, nicht Physik, was wahr ist, außer dass alles Physische notwendigerweise auch metaphysisch ist, da alles, was tatsächlich existiert, als existierend gedacht werden kann. Die Physik ist eine Teilmenge der Metaphysik. Wir können uns viele Dinge vorstellen, sogar unmögliche Dinge, die nicht wirklich existieren, aber nichts, was tatsächlich existiert, kann nicht „nicht vorgestellt“ werden, ob wir es direkt erfahren oder nicht. Der Bereich aller physischen Dinge muss eine Teilmenge des Bereichs aller metaphysischen Dinge sein. Wenn also die Physik metaphysisch unvollständig ist, muss sie auch physikalisch unvollständig sein, da die Physik eine Teilmenge der Metaphysik ist. Daher haben wir guten Grund zu der Annahme, dass eine „Physics Final Theory“ unvollständig sein muss.

Ungeachtet dieser sehr guten Gründe für die Annahme, dass „Die endgültige Theorie der Physik“ unvollständig sein muss, nehmen wir aus Gründen der Argumentation an, dass eine solche Theorie existierte und sowohl konsistent als auch vollständig war, was beiden Unvollständigkeitssätzen von Gödel widerspricht; könnte ein solches Theorem dann seine eigene Konsistenz beweisen, würde die Frage lauten: "Wie komplex wären Beweise, die dieses Theorem beinhalten?" Wäre der Beweis der Konsistenz oder Vollständigkeit dieser 'The Final Theory of Physics' ein NP-vollständiges Problem? Wie sieht es mit dem Nachweis von Konsistenz und Vollständigkeit aus?

Folgendes ist möglich:

Option 1. Es existiert eine „endgültige Theorie der Physik“, die sowohl konsistent als auch vollständig ist.

Obwohl wir bereits gezeigt haben, dass es nicht vollständig sein könnte, haben wir etwas anderes angenommen. Wir wissen, dass es in der Quantenmechanik physikalische Probleme gibt, die NP-vollständig schwer sind. Wenn es also eine endgültige Theorie und vollständig wäre, wäre der Beweis auch ein NP-vollständiges schweres Problem, da einige ihrer Teile bewiesen werden. Eine ähnliche Argumentation zeigt, dass der Beweis ihrer Konsistenz auch NP-vollständig wäre, sodass der Beweis dieser Theorie, dass sie sowohl vollständig als auch konsistent ist, über das Zeitalter des Universums hinaus dauern wird.

Option 2. Es existiert eine 'Final Theory of Physics', die konsistent, aber nicht vollständig ist - mit folgenden Möglichkeiten:

2.1. Der Beweis der Konsistenz dieser Theorie ist ein NP-vollständiges Problem, also effektiv nicht beweisbar (zumindest nicht im Zeitalter des Universums).

2.2. Der Beweis der Konsistenz dieser Theorie ist kein NP-vollständiges Problem und in einer begrenzten Zeit beweisbar.

Mit Blick auf 2.2 haben wir bereits gezeigt, dass, weil NP-vollständige Probleme in der Quantenmechanik existieren, die Teile der Finalen Theorie wären, der Beweis der Konsistenz der Theorie ein NP-vollständiges Problem ist, was unserer Annahme in 2.2 widerspricht. Option 2.2 ist also unmöglich.

Option 3. Es existiert eine 'Final Theory of Physics', die vollständig, aber nicht konsistent ist.

Da die Theorie in dieser Option nicht konsistent ist, könnten wir sowohl beweisen als auch widerlegen, dass sie vollständig ist, ein Widerspruch. Jede Theorie, die sich selbst widerspricht, ist als Theorie nutzlos. Die 'Final Theory' dieser Option ist nutzlos.

Option 4. Eine vollständige „endgültige Theorie der Physik“ existiert nicht, aber es gibt immer bessere aggregierte Annäherungen, die konsistent, aber nicht vollständig sind, die uns ein besseres Verständnis der Gesetze der Physik im Laufe der Zeit vermitteln (ich gehe von den Gesetzen der Physik aus sind universell, da die Nicht-Universalität physikalischer Gesetze ein ganz anderes Thema ist).

Was können wir daraus schließen? Wir können schlussfolgern, dass selbst wenn eine solche endgültige Theorie existiert, die konsistent ist, es unmöglich sein wird zu beweisen, dass es sich um die „letzte Theorie“ handelt, unabhängig davon, ob sie vollständig ist oder nicht. Es gibt also wirklich keine Möglichkeit, dies zu wissen, sobald wir die „letzte Theorie“ entdeckt haben.