Hilbert, Gödel und „Gottesgleichungen“ – eine Lektion des 19. Jahrhunderts für Physiker des 21. Jahrhunderts?

Zunächst zu: Gibt es eine Einschätzung dafür, wie die Unvollständigkeitstheoreme auf die Physik angewendet werden könnten?

Um dies ins rechte Licht zu rücken, stellen Sie sich vor, Newton sagte: „Oh, sieht aus wie meins$F = m a$ist so ziemlich eine Theorie von allem. Nun könnte ich also alles über die Natur wissen, wenn nur gewährleistet wäre, dass jedes genügend starke konsistente formale System vollständig ist."

Und dann später Lagrange: „Oh, sieht aus wie meins$\delta L = 0$ist so ziemlich eine Theorie von allem. Nun könnte ich also alles über die Natur wissen, wenn nur gewährleistet wäre, dass jedes genügend starke konsistente formale System vollständig ist."

Und dann später Schrödinger: „Oh, sieht aus wie meins$i \hbar \partial_t \psi = H \psi$ist so ziemlich eine Theorie von allem. Nun könnte ich also alles über die Natur wissen, wenn nur gewährleistet wäre, dass jedes genügend starke konsistente formale System vollständig ist."

Und so weiter.

Der Punkt ist, dass das, was die Physiker vor 300 Jahren, vor 200 Jahren, vor 100 Jahren daran gehindert hat, im Prinzip alles über Physik zu wissen, nie irgendein Unvollständigkeitssatz war, sondern immer zwei Dinge:

1. sie hatten noch keine grundlegende Theorie;

2. Sie hatten noch nicht einmal die Mathematik, um das zu formulieren, was später als die grundlegendere Theorie verstanden wurde.

Gödels Unvollständigkeitssatz ist ähnlich wie "$E = m c^2$" in der Popkultur: Man spielt gerne mit einem vagen Gefühl tiefer Bedeutung darauf an, ohne wirklich zu wissen, was die Wirkung ist. Gödel-Unvollständigkeit ist eine Aussage über das Verhältnis von Metasprache und "Objektsprache" (es ist die Metasprache, die es ermöglicht zu wissen, dass eine gegebene Aussage doch „wahr“ ist, auch wenn sie in der Objektsprache nicht bewiesen werden kann!) Um diese Unterscheidung überhaupt zu würdigen, muss man etwas tiefer in die formale Logik eintauchen, als ich es normalerweise bei Leuten sehe, die sich fragen über seine Bedeutung für die Physik.

Und die obige Geschichte legt nahe: Es ist auf jeden Fall verfrüht, sich um die Feinheiten der formalen Logik zu kümmern, solange die mögliche Formalisierung der Physik, die wir tatsächlich haben, eklatant unzureichend ist, und insbesondere solange es plausibel erscheint, dass dies in 100 Jahren der Fall ist Aus heutiger Sicht wird grundlegende Physik in neuer Mathematik formuliert, im Vergleich zu der heutige Werkzeuge der mathematischen Physik so veraltet erscheinen wie die von vor 100 Jahren für uns jetzt. Schlagen Sie einfach ein Lehrbuch der theoretischen Physik von der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert auf, um zu sehen, dass es bei unserem Wissen über Physik für die Menschen damals lächerlich gewesen wäre, sich über Unvollständigkeit zu sorgen. Sie mussten sich darum kümmern, lineare Algebra und Differentialgeometrie zu lernen.

Und das führt direkt zu

Zweitens: Wurden Fortschritte bei Hilberts 6. Problem für das 20. Jahrhundert erzielt?

Ich hatte kürzlich einige Vorträge gehalten, die mit der Betrachtung dieser Frage begannen, siehe die Links auf meiner Seite unter Synthetische Quantenfeldtheorie .

Eine Antwort lautet: Es wurden erhebliche Fortschritte erzielt (siehe Tabelle ganz am Anfang der Folien oder auch in dieser Vortragsnotiz ). Viele Kernaspekte der modernen Physik haben eine sehr saubere mathematische Formulierung. Zum Beispiel wird die Eichtheorie fest von der Differentialkohomologie und der Chern-Weil-Theorie erfasst, die lokale TQFT von der Theorie der höheren monooidalen Kategorien und so weiter.

Aber zwei Dinge sind hier bemerkenswert: Erstens beinhaltet die Mathematik, die Aspekte der modernen Grundlagenphysik formalisiert, die Kronjuwelen der modernen Mathematik, also könnte etwas Tiefes im Gange sein, aber zweitens bleiben diese Einsichten Stückwerk. Hier gibt es ein Fachgebiet Mathematik, dort ein anderes. Man könnte auf die Idee kommen, dass das alles irgendwie zu einer zusammenhängenden formalen Geschichte zusammengefügt werden will, nur dass die Art der Mathematik, die heutzutage verwendet wird, dazu vielleicht nicht ganz ausreicht.

Dies ist eine Sichtweise, die das Lebenswerk von William Lawvere mehr oder weniger implizit vorangetrieben hat . Unter den reinen Mathematikern ist er berühmt als Begründer der kategorialen Logik, der Topostheorie in der formalen Logik, der strukturellen Grundlagen der Mathematik. Was jedoch aus irgendeinem seltsamen Grund fast unbekannt ist, ist, dass all seine Arbeiten von dem Wunsch inspiriert wurden, eine funktionierende formale Grundlage für die Physik zu schaffen. (Siehe auf dem nLab bei William Lawvere – Motivation aus den Grundlagen der Physik ).

Ich denke, jeder, der sich ernsthaft für die formalen mathematischen Grundlagen der Physik interessiert und sich fragt, ob eine grundlegende Formalisierung möglich ist und, was noch wichtiger ist, ob sie nützlich sein kann, sollte versuchen, sich über Lawvere zu informieren.

Natürlich ist es nicht einfach, Lawvere zu lesen. (So ​​wie das Lesen einer modernen Vorlesung über QFT für einen Physiker aus dem 19. Jahrhundert nicht einfach wäre, wenn er in unsere Zeit katapultiert worden wäre...) So ist das, wenn man tief in die Grundlagen eintaucht, wenn man wirklich vorankommt Sie können nicht in fünf Minuten auf dem Discovery Channel zurückkommen und es erklären. (Wie bei Feynman: Wenn ich Ihnen in fünf Minuten sagen könnte, was mir den Nobelpreis eingebracht hat, dann hätte ich es nicht getan.)

Sie könnten mit der Anmerkung zum nLab beginnen: „ Höhere Toposen der Bewegungsgesetze “, um eine Vorstellung davon zu bekommen, worum es bei den Lawverschen Grundlagen der Physik geht.

Etwas später in diesem Monat werde ich verschiedene Vorträge zu diesem Thema der formalen Begründung der modernen Physik (lokale Lagrangesche Eichquantenfeldtheorie) in grundlegender Mathematik auf nützliche Weise halten. Die Anmerkungen dazu tragen den Titel Homotopy-type semantics for quantization .

Ich kann nur aus meiner persönlichen Erfahrung sprechen (was fair erscheint, da diese Frage subjektiv ist). Die meisten Physiker, die ich kenne, einschließlich mir selbst, sind viel bescheidener in Bezug auf das, was die Physik jetzt weiß und in Zukunft wissen wird, im Vergleich zu den von Ihnen erwähnten „berühmten Physikern“.

Aus der Geschichte des Feldes ist ziemlich leicht zu ersehen, dass immer dann, wenn wir glauben, dass wir nahe daran sind, alles zu erklären, etwas Neues beobachtet wird oder sich herausstellt, dass eine kleine Ungereimtheit einen ganz neuen Zweig der Physik eröffnet. Aufgrund dieser Erfahrungen scheint es mir höchst zweifelhaft, dass wir jemals nahe daran kommen würden, die Fähigkeit einer Theorie so weit zu treiben, dass wir uns um die Gödelschen Theoreme Sorgen machen müssen (das ist die Sorge um die Vollständigkeit - schließlich könnte es leicht der Fall sein). die Wahrheitsaussagen, die unsere Theorie nicht vorhersagen kann, sind für unser Universum nicht relevant, dh Experimente). Außerdem habe ich noch keine gute Definition dafür gehört, was wir unter "einer Theorie" verstehen. Schließlich ist QFT viel mehr ein Framework und das Standardmodell ist nur eine von vielen möglichen Anwendungen dieses Frameworks. Wir passen das Standardmodell an unser beobachtetes Universum an. Was genau meinen diese Physiker also mit einer „Gottgleichung“? Bedeuten sie einen Rahmen, aus dem mehrere Gleichungen entstehen können?

Ich glaube, ich beantworte Fragen mit Fragen, aber es soll nur darauf hinweisen, dass diese "Traumtheorien" bis zum Mythos idealisiert werden können.

Es scheint mir, dass in Zukunft höchstwahrscheinlich ein Rahmen oder eine Sprache auftreten wird, die verwendet werden kann, um Schwerkraft und dunkle Energie zusätzlich zu den anderen Kräften zu beschreiben. Dieses Framework wird auf einige Standardmodelle der Version 2 angewendet, die dunkle Materie und andere beobachtete Materie enthalten. Das bedeutet nicht eine Gleichung. Es bedeutet nur eine einheitliche Art, über Dinge nachzudenken. Es wird wahrscheinlich zu vielen Gleichungen mit einer guten Anzahl von Annahmen führen, die nur angenommen werden, weil sie Experimente genau vorhersagen.

Die Frage Gibt es unter Physikern ein Gefühl dafür, dass es unmöglich sein könnte, die "ultimative Natur der Realität" in Gleichungen und formaler Logik zu artikulieren? handelt von einem Glauben (wie dem Glauben einer Religion), den die meisten Physiker haben können oder auch nicht. Genauso wie Physiker viele unterschiedliche Überzeugungen haben, denke ich, dass Physiker unterschiedliche Überzeugungen zu diesem Thema haben. Es ist also schwer, mit Ja oder Nein zu antworten, da Physiker keine gemeinsame Meinung haben.

Ich denke jedoch, dass viele Physiker die Meinung von Dao-De-Jing 道德经 zu einem verwandten Thema teilen:

Vor 2500 Jahren äußerte Dao-De-Jing 道德经 folgenden Standpunkt: (englische Übersetzung)

Das beschreibbare Dao kann nicht das ewige Dao sein.

Der Name, der gegeben werden kann, kann nicht der ewige Name sein.

Das namenlose Nichtsein ist der Ursprung des Universums;

Das benannte Wesen ist die Mutter aller beobachteten Dinge.

Innerhalb des Nichtseins genießen wir das Mysterium des Universums.

Unter dem Sein beobachten wir den Reichtum der Welt.

Nichtsein und Sein sind zwei Aspekte desselben Mysteriums.

Vom Nichtsein zum Sein und vom Sein zum Nichtsein ist das Tor zu allem Verstehen.

Hier DAO ~ "ultimative Natur der Realität". Der Standpunkt ist also, dass die "ultimative Natur der Realität" existiert. Aber jede (oder gegenwärtige) konkrete Beschreibung der „ultimativen Natur der Realität“ in Form von Gleichungen und formaler Logik ist keine getreue Beschreibung der „ultimativen Natur der Realität“.

Physiker haben versucht, sich annähernd der "ultimativen Natur der Realität" (oder DAO) zu nähern. Mein Versuch ist eine Vereinigung von (Quanten-)Information und Materie: http://blog.sciencenet.cn/blog-1116346-736093.html

"Matrix" ist eine Geschichte von zwei Welten: Einer realen materiellen Welt und einer virtuellen Informationswelt (innerhalb von Computern). Die reale materielle Welt wird durch Elementarteilchen gebildet. Die virtuelle Informationswelt wird durch Bits gebildet. (Meine Sichtweise) Tatsächlich ist die reale materielle Welt nicht real, die virtuelle Informationswelt ist realer. Die materielle Welt und die Informationswelt sind eigentlich dieselbe Welt. Genauer gesagt ist unsere Welt eine Quanteninformationswelt:

• Space = eine Sammlung von vielen vielen Qubits.
• Vakuum = der Grundzustand der Qubits.
• Elementarteilchen = kollektive Anregungen der Qubits.

Mit anderen Worten, alle Materie wird durch die Anregungen der Qubits gebildet.

Wir leben in einem Quantencomputer.

„ultimative Realität“ = Qubits, „Gottesgleichung“ = Shreodinger-Gleichung

-- dies ist eine ungefähre Annäherung an die "ultimative Natur der Realität" (oder DAO).

Die Geschichte der Physik zeigt, dass jede Generation von Physikern, theoretisch und experimentell voreingenommene, irgendwann glaubt, den heiligen Gral gefunden zu haben oder kurz davor zu stehen. Das war sicherlich im 19. Jahrhundert der Fall, als die Mathematik regierte und die Theorien so vollständig und schön waren, dass sie dachten, alles, was übrig bliebe, seien Anwendungen bekannter Theorien. Das ist eine Art Hybris.

Was das Spiel veränderte, waren neuere und bessere Experimente, die Inkonsistenzen in den Vorhersagen ihrer Theory Of Everything (TOE) aufzeigten.

Es ist fair anzunehmen, dass das Ziel immer ein EVG sein wird, und die Hypothese, dass neuere und bessere experimentelle Daten immer wieder den Umfang dessen eröffnen, was der EVG beschreibt. Denn dies muss gesagt werden: An den Grenzen der experimentellen Domänen ihrer Anwendungen vermischen sich neuere Theorien und ältere Theorien, meist zeigen sich ältere aus den neueren ( wie zB Thermodynamik aus statistischer Mechanik ). Es gibt Konsistenz in unseren Theorien.

Was nun Gödel und seinen Satz betrifft, den ich aus meinem Mathematikkurs in der Form „die Menge aller Mengen ist offen“ kenne, wie er auf einen EVG angewendet wird, widerspricht der obigen Ansicht nicht. Was jedoch passieren kann, wir werden an die Grenzen unserer möglichen experimentellen Überprüfungen stoßen und die Offenheit wird ein strittiger Punkt sein, der in Richtung Metaphysik geht.