Welche Dinge in unserem Universum können als unzählbar betrachtet werden? [geschlossen]

Ich besuche einen Kurs in Mathematik, der sich mit Zählbarkeit befasst. Der Trick bei der Unzählbarkeit der reellen Linie besteht darin, dass, egal wie oft Sie ein Intervall teilen, immer noch eine reelle Zahl innerhalb dieses Intervalls vorhanden ist, sodass selbst das kleinste Intervall "mehr als unendlich" viele Zahlen enthält.

Es scheint jedoch, dass sich unsere "Realität", wie wir sie auf der Erde erleben, nicht wie die wirkliche Linie verhält. Zum Beispiel ist die Gesamtzahl der Grashalme auf einem Fußballfeld zählbar. In ähnlicher Weise ist auch die Kardinalität des gesamten Sandes am Strand zählbar. Ameisen, Blätter, alles Makroskopische. Nicht nur zählbar, sondern endlich.

Aber was ist mit kleineren Dingen? Zum Beispiel die Anzahl thermisch angeregter Elektronen über einer Oberfläche oder die Anzahl der Photonen, die auf unsere Netzhaut treffen? Was sind einige Dinge, die in unserem Universum wirklich als unzählbar angesehen werden können?

(Offensichtlich ohne die Multiversum-Hypothese)

Sobald jemand eine Maschine baut, die bis unendlich und zurück zählt, werden wir klüger. Bis dahin würde ich alles für zählbar oder irrelevant halten.
Das ist eine wunderbare Frage, aber ich denke unbeantwortbar. Zu wissen, dass etwas überabzählbar unendlich ist, bedeutet, einen falsifizierbaren Test seiner Kontinuität zu haben. Das Fundament der Wissenschaft ist die Beobachtung, und ich weiß nicht, wie Sie zeigen können, dass etwas definitiv kontinuierlich ist, nicht diskret, sondern nur jenseits der Präzisionsmessung.
Wie andere Leute darauf hingewiesen haben, funktioniert Ihr Argument, dass die Realzahlen nicht zählbar sind, nicht: Ich denke, Sie müssen stattdessen so etwas wie Cantors Diagonaltrick verwenden.
„Der Trick bei der Unzählbarkeit der reellen Linie besteht darin, dass, egal wie oft Sie ein Intervall teilen, immer noch eine reelle Zahl innerhalb dieses Intervalls vorhanden ist, sodass selbst das kleinste Intervall „mehr als unendlich“ viele Zahlen enthält. " Das gilt immer noch für die Rationale, die zählbar sind.
@CuriousOne. Ich sehe, Sie sind ein Mann der Physik.

Antworten (6)

Die Tatsache, dass Sie immer eine Zahl zwischen zwei anderen Zahlen finden, schließt unzählige Mengen wie die reellen Zahlen nicht aus. Rationale Zahlen sind abzählbar und haben diese Eigenschaft auch. Alle verwendeten Beispiele sind zählbar. Sowohl reelle Zahlen als auch rationale Zahlen sind keine gut geordneten Mengen in ihrer Standardreihenfolge (der Reihenfolge in der reellen Linie).

In der Physik verwenden wir unzählige Mengen von höchstens ℵ 1 , die Mächtigkeit der reellen Zahlen. Sie erscheinen ganz natürlich in unserer Beschreibung des Weltraums. Es gibt einige Leute, die vorschlagen, dass der Raum am besten entweder durch eine zählbare Menge oder einen Raum höherer Kardinalität wie die surrealen Zahlen beschrieben wird. Aber im Moment funktioniert die echte Linie gut. Die meisten Variablen in der Physik, die definiert sind oder sich auf den Raum beziehen (wahrscheinlich vielleicht die meisten Größen in der Physik, wie Kräfte, Energie, Temperatur usw.), sind von unzählbarer Kardinalität, weil die Unzählbarkeit der realen Linie sie durchdringt. Aber viele andere Variablen sind zählbar, wie z. B. die Anzahl der Teilchen usw. Ich bin jedoch nicht in der Lage, Ihnen eine vollständige Liste zu geben.

Wir verwenden in der Physik keine unzähligen Mengen. Wir tun so, als würden wir Mathematik verwenden, die solche Mengen definiert, aber wir kümmern uns zu keiner Zeit wirklich um die Details. Die gesamte Physik, die jemals möglich ist, kann ohne Genauigkeitsverlust mit ganzen Zahlen von wahrscheinlich nicht mehr als ungefähr 100 Dezimalstellen durchgeführt werden, von denen alle bis auf die führenden 20 immer im Rauschen sein werden. Man kann wahrscheinlich argumentieren, dass das 80-Bit-IEEE-Gleitkommaformat hinzugefügt wurde, weil das 64-Bit-Format in der Physik zu kurz ist, aber das 80-Bit-Format meistens gut genug ist.
@CuriousOne Ich stimme Ihnen darin zu, dass die gesamte Physik durch eine zählbare Anzahl von Realen beschrieben werden kann, wenn Sie das meinen. Beachten Sie nur, dass es einfacher ist, den Raum als Kontinuum zu behandeln. Viele Summen werden zu Integralen usw.
Ich stimme voll und ganz zu, dass die reellen Zahlen ein Geschenk des Himmels sind (na ja ... sowieso von einem Jahrhundert Mathematiker gesendet), aber sie lenken ein wenig von dem ab, was die Physik wirklich tut, nämlich physikalische Größen mit anderen, leichter zu standardisieren physikalische Quantitäten. Der letztere Prozess wäre, wörtlich genommen, natürlich schrecklich pedantisch, also leihen wir uns Sachen von den Mathematikern, um ihn wirklich gut zu fälschen. :-)
ZFC ⊬ 2 ℵ 0 = ℵ 1 ∧ ZFC ⊬ 2 ℵ 0 > ℵ 1 (mit anderen Worten, die Kontinuumshypothese ist unabhängig von ZFC ). Daher ist es eine schlechte Angewohnheit, dies als wahr anzunehmen, ohne das logische Modell anzugeben, in dem Sie sich befinden. Wenn Sie reelle Zahlen verwenden, verwenden Sie Sätze bis zur Kardinalität 2 ℵ 0 , im Allgemeinen nicht ℵ 1 .
@yuggib Natürlich, aber ich glaube nicht, dass diese Detailgenauigkeit zu dieser Art von Antwort beiträgt
und ich verstehe nicht, warum du darin arbeitest ZFC + CH während alle in der Physik einfach mit arbeiten ZFC ; Es ist eine nicht standardmäßige Wahl, die die Dinge nur komplizierter macht ... ;-P
Ich glaube an CH, auf religiöser Ebene, haha,

Ihr Argument für die Unzählbarkeit der reellen Linie funktioniert nicht, da es zeigen würde, dass die Rationalen unzählbar sind.

Sowohl die Anzahl der Grashalme als auch die der Sandkörner sind endlich, haben also nichts mit Unendlich zu tun.

Sie sagen, dass sich die Realität "nicht wie die wirkliche Linie verhält"; Dennoch wird die Infinitesimalrechnung verwendet, um eine Rakete auf den Mond zu bringen oder einen Vorbeiflug an Pluto und eine Million weitere sehr reale Anwendungen durchzuführen.

Behaupte ich, dass die Realität, die wir wahrnehmen, unzählbar ist? Gar nicht. Tatsächlich wäre es unmöglich, eine solche Hypothese zu testen, weil alle unsere Messungen sehr endlich sind. Aber die ganze Physik, so erstaunlich sie auch ist, ist nichts als ein mathematisches Modell. In der Realität, die wir messen, gibt es keine Punkte, keine Achsen, keine Vektoren, keine Hamiltonsche Gleichungen, keine Wellengleichungen usw. usw. Diese sind Teil dieser wunderbaren mathematischen Modelle, die uns aus Gründen, die niemand wirklich versteht, sehr genau liefern Vorhersagen darüber, wie sich die Welt verhält. Und es stellt sich heraus, dass viele dieser sehr erfolgreichen Modelle unzählige Objekte verwenden.

Die Anzahl der potentiellen Zustände geometrischer Frustration für alle potentiellen bosonischen und fermionischen Teilchenwechselwirkungen innerhalb der Hubble-Sphäre seit t = 0 würde als unzählbar angesehen werden, da die Grenze dieser Summe divergiert. Ich weiß nicht, ob dies so ausgelegt werden könnte, dass es das Multiversum-Modell beinhaltet, da t = 0 (Urknall) bis t = heute (2016 CE) endlich ist.

Häh? N = ∑ ich = 1 N 1 weicht ab als N → ∞ aber das heißt nicht, dass die natürlichen Zahlen nicht abzählbar sind ...
Ich bin mit der Verwendung des mathematischen Textes auf dieser Website nicht vertraut, und die Begrenzung des Zeichenpuffers erlaubt es mir nicht, meine ursprüngliche Antwort zu posten. Auf einem Lebesgue-Vektorraum, der alle möglichen degenerierten Teilchenwechselwirkungen in der Hubble-Sphäre beschreibt, ist die von Ihnen angegebene Summe absolut konvergent, nicht divergent hier angegeben: en.wikipedia.org/wiki/… .
Es gibt eine Anleitung zur Verwendung L A T E X um Mathematik auf Stack Exchange-Sites oder auf Computer Science meta zu setzen . (Wahrscheinlich gibt es hier auch irgendwo einen, aber ich kenne die CS-Site besser.)
Mein Punkt war, dass Reihenkonvergenz / -divergenz und (Un-) Zählbarkeit zwei völlig unterschiedliche Konzepte sind und Sie das eine nicht voneinander ableiten können. Insbesondere bedeutet „diese Summe divergiert“ nicht „sie ist unabzählbar“, wie mein Beispiel mit den natürlichen Zahlen zeigt.

Ich bin kein Physikexperte, aber ich würde sagen, die Menge an Frequenzen in einem Lichtstrahl oder die Menge an Frequenzen in einer Schallwelle, um nur einige zu nennen. Diese werden zählbar gemacht, wenn sie diskretisiert werden, wie es Computer tun, um die Informationen zu speichern. Die natürlich vorkommenden Phänomene sind jedoch kontinuierlich, und ich würde sagen, sie enthalten eine unabzählbar unendliche Menge von "Teilen".

Abgesehen von der Tatsache, dass Ihre Definition von Unzählbarkeit falsch ist, wie viele andere darauf hingewiesen haben, würde ich sagen, dass es in unserer physikalischen Welt etwas gibt, das nicht zählbar sein könnte und sogar die Kardinalität des Kontinuums (dh die Kardinalität der reellen Zahlen) haben könnte ): Ich spreche von Raumzeit .

Im Rahmen der klassischen Physik und der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Anzahl der Punkte in der Raumzeit wie eine kontinuierliche Menge behandelt, also eine Menge mit gleicher Mächtigkeit der reellen Zahlen. Aber in einigen Quantengravitationsmodellen wird die Raumzeit auf winzigen Skalen diskret: Skalen in der Größenordnung der Planck-Länge, l P ≃ 1.62 ⋅ 10 − 35 M.

Natürlich ist es äußerst schwierig, die Eigenschaften der Raumzeit in solch winzigen Maßstäben zu untersuchen, daher wissen wir derzeit nicht wirklich, ob die Raumzeit kontinuierlich ist oder nicht. Aber wenn es so wäre, wäre es ein Beispiel für eine unzählige Entität in der Physik.

Siehe auch diese Frage und diesen Artikel .

Viele Dinge in Mathematik und Physik können effektiv mit abzählbaren Modellen erledigt werden. Eine Sache, bei der zählbare Modelle möglicherweise nicht ausreichen, ist die Spieltheorie mit Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit. Angenommen, ein Spieler verwendet eine probabilistische Strategie, die eine echte Quelle der Zufälligkeit beinhaltet, und selbst sein mächtigster und allwissendster Gegner ist nicht in der Lage, das zukünftige Ergebnis der Quelle der Zufälligkeit vorherzusagen (trotzdem könnte er in der Lage sein, die von dem Spieler verwendete probabilistische Strategie zu kennen ).

Die Intuition hier ist, dass Unabhängigkeit eine Eigenschaft sein könnte, die enorm viel Platz benötigt. Vielleicht braucht man dafür gar nicht mal Zufälligkeit, das Phänomen der Unabhängigkeit tritt bereits bei Henkin-Quantoren ohne Zufälligkeit auf. Beachten Sie jedoch, dass ich nicht einmal (versuchte) auf sinnvolle Weise zu beweisen, dass Unzählbarkeit für stochastische Unabhängigkeit erforderlich ist.

Wenn Sie glauben, dass Unzählbarkeit in der physikalischen Welt einfach nicht existiert, dann können Sie einfach erklären, dass Zufälligkeit und Unabhängigkeit nur scheinbare Phänomene ohne wirklich physikalische Grundlage sind, wie es Max Tegmark für seine Mathematical Universe Hypothesis tat .

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