Was ist der äquivalente Widerstand in diesem unendlichen Gitter aus Widerständen? [abgeschlossen]

Nerd-Sniping !

Die Antwort ist$\frac{4}{\pi} - \frac{1}{2}$.

Einfache Erklärung :

Sukzessive Approximation! Ich beginne mit dem einfachsten Fall (siehe Abbildung unten) und füge immer mehr Widerstände hinzu, um zu versuchen, ein unendliches Gitter von Widerständen anzunähern.

Mathematische Herleitung :

$$R_{m,m}=\frac 2\pi \left( 1 + \frac 13 + \frac 15 + \frac 17 + \dots + \frac 1 {2m-1} \right)$$

Das ist das XKCD Nerd Sniping Problem . Es zwang mich, alles andere aufzugeben, was ich tat, um diese Antwort zu recherchieren und aufzuschreiben. Dann, Jahre später, zwang es mich, zurückzukehren und es der Klarheit halber zu bearbeiten.

Die folgende vollständige Lösung basiert auf den Links in der anderen Antwort. Aber zusätzlich zu der Darstellung dieser Informationen in einer bequemen Form habe ich auch einige bedeutende Vereinfachungen vorgenommen. Jetzt braucht es nur noch Highschool-Integration!

Die Strategie auf den Punkt gebracht ist

1. Schreiben Sie einen Ausdruck für den Widerstand zwischen zwei beliebigen Punkten als Integral auf.

2. Verwenden Sie Integrationstricks, um das in Schritt 1 gefundene Integral für zwei diagonal getrennte Punkte auszuwerten.

3. Verwenden Sie eine Wiederholungsbeziehung, um alle anderen Widerstände aus den in Schritt 2 gefundenen zu bestimmen.

Das Ergebnis ist ein Ausdruck für alle Widerstände, von denen der Springerzug nur einer ist. Die Antwort darauf stellt sich heraus

$$\frac{4}{\pi} - \frac{1}{2}$$

Einrichten des Problems

Wir sind zwar letztlich an einem zweidimensionalen Gitter interessiert, aber von der Dimension hängt erstmal gar nichts ab. Deshalb beginnen wir mit der Einarbeitung$N$Dimensionen und spezialisieren sich auf$N = 2$nur wenn nötig.

Beschriften Sie die Rasterpunkte mit$\vec{n}$, ein$N$-Komponentenvektor mit ganzzahligen Komponenten.

Angenommen, die Spannung an jedem Punkt ist$V_\vec{n}$. Dann fließt der Strom hinein$\vec{n}$von seinem$2N$Nachbarn ist

$$\sum_{i, \pm} ( V_{\vec{n} \pm \vec{e}_i} - V_\vec{n} )$$

($\vec{e}_i$ist der Einheitsvektor entlang der$i$-Richtung.)

Bestehen Sie darauf, dass eine externe Quelle einen Verstärker hineinpumpt$\vec{0}$und aus$\vec{a}$. Aktuelle Konservierung bei$\vec{n}$gibt

$$\sum_{i, \pm} ( V_{\vec{n} \pm \vec{e}_i} - V_\vec{n} ) = -\delta_\vec{n} + \delta_{\vec{n} - \vec{a}} \tag{1}\label{eqv}$$

($\delta_\vec{n}$gleich$1$wenn$\vec{n} = \vec{0}$und$0$Andernfalls.)

Lösen Sie diese Gleichung für$V_\vec{n}$wird uns unsere Antwort geben. In der Tat, der Widerstand zwischen$\vec{0}$und$\vec{a}$wird einfach sein

$$R_\vec{a} = V_\vec{0} - V_\vec{a}$$

Leider gibt es unendlich viele Lösungen für$V_\vec{n}$, und ihre Ergebnisse für$R_\vec{a}$nicht dafür! Dies liegt daran, dass die Frage keine Randbedingungen im Unendlichen angibt. Je nachdem, wie wir sie auswählen, können wir einen beliebigen Wert erzielen$R_\vec{a}$wir mögen! Es wird sich herausstellen, dass es eine einzigartige vernünftige Wahl gibt, aber lassen Sie uns dieses Problem vorerst vollständig vergessen und einfach eine Lösung finden.

Lösung durch Fourier-Transformation

Um unsere Gleichung zu lösen für$V_\vec{n}$, suchen wir nach einer Green-Funktion $G_\vec{n}$eine ähnliche Gleichung erfüllen:

$$\sum_{i, \pm} ( G_{\vec{n} \pm \vec{e}_i} - G_\vec{n} ) = \delta_\vec{n} \tag{2}\label{eqg}$$

Eine Lösung für$\eqref{eqv}$wird dann sein

$$V_n = -G_\vec{n} + G_{\vec{n} - \vec{a}}$$

Finden$G_\vec{n}$, nehmen Sie (aus heiterem Himmel) an, dass es als dargestellt werden kann

$$G_\vec{n} = \int_0^{2\pi} \frac{d^N \vec{k}}{(2\pi)^N} (e^{i \vec{k} \cdot \vec{n}} - 1) g(\vec{k})$$

für eine unbekannte Funktion$g(\vec{k})$. Dann beachten Sie, dass die beiden Seiten von$\eqref{eqg}$kann geschrieben werden als

$$\begin{align} \sum_{i, \pm} ( G_{\vec{n} \pm \vec{e}_i} - G_\vec{n} ) &= \int_0^{2\pi} \frac{d^N \vec{k}}{(2\pi)^N} e^{i \vec{k} \cdot \vec{n}} \left( \sum_{i, \pm} e^{\pm i k_i} - 2N \right) g(\vec{k}) \\ \delta_\vec{n} &= \int_0^{2\pi} \frac{d^N \vec{k}}{(2\pi)^N} e^{i \vec{k} \cdot \vec{n}} \end{align}$$

wir sehen$\eqref{eqg}$kann durch Auswahl gelöst werden

$$g(\vec{k}) = \frac{1}{\sum_{i, \pm} e^{\pm k_i} - 2N}$$

was zur Green-Funktion führt

$$G_\vec{n} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \frac{d^N \vec{k}}{(2\pi)^N} \frac{\cos(\vec{k} \cdot \vec{n}) - 1}{\sum_i \cos(k_i) - N}$$

Übrigens das komische$-1$im Zähler scheint nicht viel anderes zu tun als zu verschieben$G_\vec{n}$durch das Hinzufügen einer Gesamtkonstante, sodass Sie sich vielleicht fragen, was es dort tut. Die Antwort ist, dass es technisch erforderlich ist, um das Integral endlich zu machen, aber ansonsten spielt es keine Rolle, da es aus der Antwort herausgestrichen wird.

Die endgültige Antwort für den Widerstand lautet also

$$R_\vec{a} = V_\vec{0} - V_\vec{a} = 2(G_\vec{a} - G_\vec{0}) = \int_0^{2\pi} \frac{d^N \vec{k}}{(2\pi)^N} \frac{1 - \cos(\vec{k} \cdot \vec{a})}{N - \sum_i \cos(k_i)}$$

Warum ist das die richtige Antwort?

(Ab diesem Zeitpunkt$N = 2$.)

Ich habe vorhin gesagt, dass es unendlich viele Lösungen für gibt$V_\vec{n}$. Aber der oben ist besonders, weil auf große Entfernungen$r$Vom Ursprung her verhalten sich die Spannungen und Ströme wie

$$V = \mathcal{O}(1/r) \qquad I = \mathcal{O}(1/r^2)$$

Ein Standardsatz (Eindeutigkeit der Lösungen der Laplace-Gleichung) besagt, dass es nur eine Lösung geben kann, die diese Bedingung erfüllt. Unsere Lösung ist also die einzigartige, bei der der geringstmögliche Strom bei unendlich und mit fließt$V_\infty = 0$. Und selbst wenn die Frage nicht danach gefragt hat, ist es offensichtlich das einzig Vernünftige, was man fragen kann.

Oder ist es? Vielleicht würden Sie es vorziehen, das Problem zu definieren, indem Sie an einem endlichen Gitter arbeiten und die eindeutige Lösung für finden$V_\vec{n}$dort, dann versuchen, eine Art Grenze zu nehmen, wenn die Gittergröße ins Unendliche geht. Allerdings kann man argumentieren, dass die$V_\vec{n}$erhalten von einer Größe-$L$Gitter sollte zu unserem konvergieren$V_\vec{n}$mit einem Bestellfehler$1/L$. Das Endergebnis ist also dasselbe.

Der Diagonalfall

Es ergibt sich das Integral für$R_{n,m}$ist schwierig zu tun, wann$n \neq m$, aber viel einfacher zu tun, wenn$n = m$. Daher werden wir uns zuerst mit diesem Fall befassen. Wir wollen rechnen

$$\begin{align} R_{n,n} &= \frac{1}{(2\pi)^2} \int_A dx \, dy \, \frac{1 - \cos(n(x + y))}{2 - \cos(x) - \cos(y)} \\ &= \frac{1}{2(2\pi)^2} \int_A dx \, dy \, \frac{1 - \cos(n(x + y))}{1 - \cos(\frac{x+y}{2}) \cos(\frac{x-y}{2})} \end{align}$$

wo$A$ist das Quadrat$0 \leq x,y \leq 2 \pi$.

Da der Integrand periodisch ist, kann der Definitionsbereich geändert werden$A$zu$A'$so:

Dann ändern Sie die Variablen zu

$$a = \frac{x+y}{2} \qquad b = \frac{x-y}{2} \qquad dx \, dy = 2 \, da \, db$$

das Integral wird

$$R_{n,n} = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_0^\pi da \int_{-\pi}^\pi db \, \frac{1 - \cos(2na)}{1 - \cos(a) \cos(b)}$$

Das$b$Integral kann mit der Halb-Tan-Substitution durchgeführt werden

$$t = \tan(b/2) \qquad \cos(b) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \qquad db = \frac{2}{1+t^2} dt$$

geben

$$R_{n,n} = \frac{1}{2\pi} \int_0^\pi da \, \frac{1 - \cos(2na)}{\sin(a)}$$

Die trigonometrische Identität

$$1 - \cos(2na) = 2 \sin(a) \big( \sin(a) + \sin(3a) + \dots + \sin((2n-1)a) \big)$$

reduziert den Rest$a$integral zu

$$\begin{align} R_{n,n} &= \frac{2}{\pi} \left( 1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2n-1} \right) \end{align}$$

Eine Wiederholungsbeziehung

Die restlichen Widerstände lassen sich nämlich ohne weitere Integrale bestimmen! Alles, was wir brauchen, ist Rotations-/Reflexionssymmetrie,

$$R_{n,m} = R_{\pm n, \pm m} = R_{\pm m, \pm n}$$

zusammen mit der Wiederholungsrelation

$$R_{n+1,m} + R_{n-1,m} + R_{n,m+1} + R_{n,m-1} - 4 R_{n,m} = 2 \delta_{(n,m)}$$

was folgt aus$R_\vec{n} = 2 G_\vec{n}$und$\eqref{eqg}$. Es besagt, dass wir, wenn wir alle Widerstände außer einem in einer „Plus“-Form kennen, den fehlenden bestimmen können.

Beginnen Sie mit der trivialen Aussage that

$$R_{0,0} = 0$$

Anwenden der Wiederholungsrelation at$(n,m) = (0,0)$und die Verwendung von Symmetrie gibt

$$R_{1,0} = R_{0,1} = 1/2$$

Die nächste Diagonale wird so gemacht:

Hier bedeutet das türkisfarbene Quadrat, dass wir ausfüllen$R_{1,1}$mit der Formel für$R_{n,n}$. Die gelben Quadrate zeigen eine Anwendung der zu bestimmenden Wiederholungsbeziehung an$R_{2,0}$und$R_{0,2}$. Die gepunkteten Quadrate zeigen auch Widerstände an, die wir im vorherigen Schritt durch Symmetrie bestimmen mussten.

Die Diagonale danach wird ähnlich ausgeführt, aber ohne dass die Formel für aufgerufen werden muss$R_{n,n}$:

Wiederholtes Abwechseln der beiden obigen Schritte ergibt einen Algorithmus zum Bestimmen von jedem$R_{m,n}$. Offensichtlich sind alle von der Form

$$a + b/\pi$$

wo$a$und$b$sind rationale Zahlen. Jetzt kann dieser Algorithmus leicht von Hand ausgeführt werden, aber man könnte ihn genauso gut in Python codieren:

import numpy as np
import fractions as fr

N = 4
arr = np.empty((N * 2 + 1, N * 2 + 1, 2), dtype='object')

def plus(i, j):
    arr[i + 1, j] = 4 * arr[i, j] - arr[i - 1, j] - arr[i, j + 1] - arr[i, abs(j - 1)]

def even(i):
    arr[i, i] = arr[i - 1, i - 1] + [0, fr.Fraction(2, 2 * i - 1)]
    for k in range(1, i + 1): plus(i + k - 1, i - k)

def odd(i):
    arr[i + 1, i] = 2 * arr[i, i] - arr[i, i - 1]
    for k in range(1, i + 1): plus(i + k, i - k)

arr[0, 0] = 0
arr[1, 0] = [fr.Fraction(1, 2), 0]

for i in range(1, N):
    even(i)
    odd(i)

even(N)

for i in range(0, N + 1):
    for j in range(0, N + 1):
        a, b = arr[max(i, j), min(i, j)]
        print('(', a, ')+(', b, ')/π', sep='', end='\t')
    print()

Dies erzeugt die Ausgabe

$$\Large \begin{array}{|c:c:c:c:c} 40 - \frac{368}{3\pi} & \frac{80}{\pi} - \frac{49}{2} & 6 - \frac{236}{15\pi} & \frac{24}{5\pi} - \frac{1}{2} & \frac{352}{105\pi} \\ \hdashline \frac{17}{2} - \frac{24}{\pi} & \frac{46}{3\pi} - 4 & \frac{1}{2} + \frac{4}{3\pi} & \frac{46}{15\pi} & \frac{24}{5\pi} - \frac{1}{2} \\ \hdashline 2 - \frac{4}{\pi} & \frac{4}{\pi} - \frac{1}{2} & \frac{8}{3\pi} & \frac{1}{2} + \frac{4}{3\pi} & 6 - \frac{236}{15\pi} \\ \hdashline \frac{1}{2} & \frac{2}{\pi} & \frac{4}{\pi} - \frac{1}{2} & \frac{46}{3\pi} - 4 & \frac{80}{\pi} - \frac{49}{2} \\ \hdashline 0 & \frac{1}{2} & 2 - \frac{4}{\pi} & \frac{17}{2} - \frac{24}{\pi} & 40 - \frac{368}{3\pi} \\ \hline \end{array}$$

woraus wir die endgültige Antwort ablesen können,

$$R_{2,1} = \frac{4}{\pi} - \frac{1}{2}$$