Was ist der vollständige Beweis dafür, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in der relativistischen Mechanik konstant ist?

In den Hauptprinzipien habe ich gelesen, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant ist, da wir sie aus den Maxwell-Gleichungen berechnen können.

Die Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden konnte, impliziert an und für sich nicht , dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Referenzsystemen konstant ist. Sicherlich beziehen sich die Gleichungen nicht offensichtlich auf einen Referenzrahmen; Aber sobald Sie die Verbindung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern und Licht hergestellt haben, scheint es ziemlich offensichtlich zu sein, was der "natürliche" Ruherahmen ist (fetter Mine):

Wir können den Schluß kaum vermeiden, daß das Licht aus den Querwellen des gleichen Mediums besteht, das die Ursache der elektrischen und magnetischen Erscheinungen ist.

– James Clerk Maxwell, Über die physikalischen Linien der Kraft

Mit anderen Worten, man könnte sich leicht eine Welt vorstellen, in der Maxwells Gleichungen nur im Ruhesystem des leuchtenden Äthers gelten – und von etwa 1860 bis 1905 oder so war dies genau das Universum, von dem die Physiker dachten, dass wir lebten. In einem solchen Universum, würden die Maxwellschen Gleichungen tatsächlich in verschiedenen Referenzrahmen anders aussehen; Eine "vollständige" Version dieser Gleichungen würde Terme enthalten, die von der Geschwindigkeit eines Beobachters abhängen$\vec{v}$in Bezug auf den Äther. An den Gleichungen, die ein solches Universum beschreiben, ist nichts mathematisch Widersprüchliches.

Womit diese Gleichungen jedoch nicht übereinstimmen, sind zwei Dinge: (1) experimentelle Beweise und (2) unser Sinn für Symmetrie. Das Michelson-Morley-Experiment wurde entwickelt, um die Bewegung der Erde relativ zum Äther nachzuweisen – mit anderen Worten, um deren Anwesenheit indirekt zu verifizieren$\vec{v}$-abhängige Terme in den hypothetischen Maxwell-Gleichungen. Natürlich kamen sie bekanntermaßen zu kurz.

Das andere Problem ist, dass es scheinbar viele bequeme Übereinstimmungen zwischen scheinbar gleichen Phänomenen gibt, die in verschiedenen Referenzrahmen beschrieben werden:

Es ist bekannt, dass die Maxwellsche Elektrodynamik – wie sie heute allgemein verstanden wird – bei Anwendung auf bewegte Körper zu Asymmetrien führt, die den Phänomenen nicht inhärent zu sein scheinen. Nehmen wir zum Beispiel die wechselseitige elektrodynamische Wirkung eines Magneten und eines Leiters. Die hier beobachtbare Erscheinung hängt nur von der relativen Bewegung des Leiters und des Magneten ab, während die gewöhnliche Ansicht scharf zwischen den beiden Fällen unterscheidet, in denen entweder der eine oder der andere dieser Körper in Bewegung ist. Bewegt sich nämlich der Magnet und ruht der Leiter, so entsteht in der Nähe des Magneten ein elektrisches Feld von bestimmter bestimmter Energie, das an den Stellen, wo sich Teile des Leiters befinden, einen Strom erzeugt. Aber wenn der Magnet stationär und der Leiter in Bewegung ist, in der Nähe des Magneten entsteht kein elektrisches Feld. Im Leiter aber finden wir eine elektromotorische Kraft, der an sich keine Energie entspricht, die aber – unter der Voraussetzung gleicher Relativbewegung in den beiden besprochenen Fällen – elektrische Ströme von gleicher Bahn und Intensität wie die erzeugten hervorruft durch die elektrischen Kräfte im ersteren Fall.

Beispiele dieser Art, zusammen mit den erfolglosen Versuchen, irgendeine Bewegung der Erde relativ zum „Lichtmedium“ zu entdecken, legen nahe, dass sowohl die Phänomene der Elektrodynamik als auch der Mechanik keine Eigenschaften besitzen, die der Idee der absoluten Ruhe entsprechen.

— Albert Einstein, Über die Elektrodynamik bewegter Körper

Oder zusammengefasst: Wenn ich eine Spule in die Nähe eines Magneten bewege, bringt das Magnetfeld die Ladungen zum Fließen. Wenn ich einen Magneten in die Nähe einer Spule bewege, entsteht durch das sich ändernde Magnetfeld ein elektrisches Feld, wodurch die Ladungen fließen. Diese beiden Beschreibungen scheinen sehr unterschiedlich zu sein, und doch führen sie irgendwie zu genau der gleichen Stromstärke in der Spule. Einsteins Behauptung war, dass dies kein Zufall sein könne und dass nur die relative Geschwindigkeit eine Rolle spielen sollte.

Wenn Sie das glauben, dann stellen Sie fest (wie es Einstein tat), dass sich elektrische und magnetische Felder vermischen, wenn Sie in einen anderen Bezugsrahmen gehen. Wenn Sie sich den obigen Link zu Einsteins Originalarbeit ansehen, beschreibt §6, wie sich die elektrischen und magnetischen Felder ineinander umwandeln. Seine Notation ist ein wenig antiquiert – wie er es nennt$(X, Y, Z)$wir würden heutzutage normalerweise anrufen$(E_x, E_y, E_z)$, und was er nennt$(L, M, N)$Wir würden normalerweise anrufen$(B_x, B_y, B_z)$. In verschiedenen Bezugssystemen, die sich relativ zueinander bewegen$x$-Richtung, alle diese Komponenten ändern, und die Komponenten$E_y$,$E_z$,$B_y$, und$B_z$miteinander verwechseln. Mit anderen Worten, die von Beobachter A und Beobachter B beobachteten elektrischen und magnetischen Feldstärken sind nicht notwendigerweise gleich.

Diese Transformationen zwischen den Feldern sind eine notwendige Folge des Postulats, dass die Gesetze der Physik in allen Bezugssystemen gleich sind. Aber Maxwells Gleichungen implizieren nicht notwendigerweise , dass die Gesetze der Physik in solchen Referenzrahmen alle gleich sind; Sie sind in Bezug auf das Thema agnostisch. Historisch gesehen glaubten Physiker ursprünglich, dass es tatsächlich einen privilegierten Rahmen gab, in dem Maxwells Gleichungen genau galten, und erst nach sorgfältigem Experimentieren und sorgfältigem Nachdenken fanden wir heraus, dass Maxwells Gleichungen auch mit dem Relativitätsprinzip vereinbar waren.

Es ist ein Axiom, das auf Beobachtung basiert. Soweit ich weiß, bedeutet das, dass es nicht bewiesen werden kann.

Außerdem sind die Maxwell-Gleichungen relativistisch kovariant. Was Sie beachten müssen, ist, dass das elektrische und das magnetische Feld durch Lorentz-Transformationen gemischt werden. Denken Sie an das Kraftgesetz für eine sich bewegende Ladung:

$$\mathbf{F} = q \mathbf{E} + q\mathbf{v}\times \mathbf{B}.$$

Stellen Sie sich nun vor, dass sich eine Ladung mit hoher Geschwindigkeit bewegt$\mathbf{v}$durch ein magnetisches Feld, und es gibt kein elektrisches Feld. Sie werden sehen, wie die Ladung unter dem Einfluss der Magnetkraft beschleunigt und ihren Weg krümmt. Stellen Sie sich nun vor, was ein Beobachter ebenfalls vorhat$\mathbf{v}$, sofort, sieht. Dieser Beobachter sieht eine augenblicklich stationäre Ladung, sodass er keine magnetische Kraft erfahren kann. Dieser Beobachter muss jedoch sehen, wie sich die Ladung auf irgendeine Weise beschleunigt, weil Sie gesehen haben, wie sie sich beschleunigt hat. Das kann nur der Fall sein, wenn dieser Beobachter denkt, dass sowohl elektrische als auch magnetische Felder vorhanden sind.

Wie in anderen Antworten erwähnt, sind Maxwells Gleichungen unter Lorentz-Transformationen tatsächlich invariant. Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, sie in einer offensichtlich kovarianten Form zu schreiben. Dieses Formular ist:

$$\begin{align} \partial_\mu F^{\mu\nu} &= j^\nu \\ \partial^\tau F^{\mu\nu}+\partial^\mu F^{\nu\tau} + \partial^\nu F^{\tau\mu}&=0 \end{align}$$ wo $F^{\mu\nu}$ist ein elektromagnetischer Tensor (der elektrische und magnetische Felder in einer 4x4-Matrix enthält), $j^\mu$ist der Viererstrom (der die Ladungsdichte und die Stromdichte in einem Vierervektor enthält) und natürliche Einheiten $\epsilon_0 = \mu_0 = c=1$werden der Einfachheit halber verwendet.

Elektromagnetischer Tensor$F^{\mu\nu}$ist als Viererpotential angegeben $A^\mu$(das elektrisches (skalares) und magnetisches (vektorielles) Potential enthält) verwandt ist$F^{\mu\nu}$über

$$\begin{equation} F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu \end{equation}$$ und wenn du es einsteckst $\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu$ohne Quellen ( $j^\mu=0$), du erhältst $$\begin{equation} \Box A^\mu-\partial^\mu(\partial\cdot A)=0. \end{equation}$$ Es gibt jedoch mehrere Auswahlmöglichkeiten $A^\mu$die das gleiche geben $F^{\mu\nu}$. Transformation $A^\mu \to A^\mu+\partial^\mu \xi$, wo $\xi$ist eine Skalarfunktion, Blätter $F^{\mu\nu}$unverändert und wird als "Gauge-Transformation" bezeichnet. Wenn du das Original nimmst $A^\mu$und machen Sie eine Gauge-Transformation mit $\xi=\partial\cdot A$, erhalten Sie etwas namens "Lorentz-Messgerät", gekennzeichnet durch $\partial\cdot A=0$. In der Lorentz-Eichung vereinfacht sich die obige Gleichung zu $$\begin{equation} \Box A^\mu=0 \end{equation}$$ das ist eine Wellengleichung für Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit bewegen $c$. Daher folgt aus den Maxwell-Gleichungen, dass sich elektromagnetische Strahlung, einschließlich Licht, mit dieser Geschwindigkeit ausbreitet $c$im Vakuum.

Maxwell-Gleichungen sind unter Lorentz-Transformationen unveränderlich , was dasselbe bedeutet, dass sie der speziellen Relativitätstheorie folgen.

Sie können versuchen, sich davon zu überzeugen, indem Sie in ein anderes Trägheitsbezugssystem transformieren$S'$und die Wellengleichung der Felder herleiten, sollten Sie das finden$c' = c$

Man kann die Form der Lorentz-Transformation ableiten, ohne einen Wert für festlegen zu können$c$, als das einzige experimentell konsistente Mitglied einer kleinen Handvoll möglicher, notwendigerweise linearer Transformationen, die sich aus der grundlegenden Raumzeithomogenität, Isotropie und Kontinuität ergeben, postuliert zusammen mit Galileos Prinzip, dass nur Relativbewegungen zwischen verschiedenen Trägheitsbeobachtern festgestellt werden können.

Wenn Sie die Lorentz-Transformation kennen, dann muss daraus folgen, dass sich alles mit der Geschwindigkeit bewegt$c$muss von allen Trägheitsbeobachtern gemessen werden, dass sie sich mit derselben Geschwindigkeit bewegen.

Dies ist natürlich kein Beweis; es zeigt einfach, dass die Konstanz von$c$Postulat kann durch andere Axiome ersetzt werden. Aber es ist dennoch interessant, dass diese Ersetzung möglich ist, da die anderen Axiome viel alltäglicher und intuitiv offensichtlicher sind. Das ist Ignatowskis Ansatz . Siehe zum Beispiel meine Antwort hier oder die Papiere:

Jean-Marc Lévy-Leblond, "Eine weitere Ableitung der Lorentz-Transformation", Am. J. Phs. 44

Palash B. Pal, „Nothing but Relativity“, Eur.J.Phys.24:315-319,2003

Die Implikation von Einsteins Argument in seiner Arbeit von 1905, klargestellt von Bondi in Relativity and Common Sense , ist, dass die Definition von Koordinaten durch die Lichtgeschwindigkeit bestimmt wird. Insbesondere die moderne Definition des Meters hängt von der Lichtgeschwindigkeit ab. Dann folgt direkt aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip, dass die physikalischen Gesetze in allen Bezugssystemen gleich sind, dass die (lokale) Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen gleich ist.

Bondi verwendet die Radarmethode, die dies explizit macht, weist aber auch darauf hin, dass die elektromagnetische Kraft in der QED durch Photonenaustausch beschrieben wird. Somit hängt die Struktur eines Lineals im Wesentlichen von demselben Prozess ab.

„… die Länge eines starren Stabes wird bestimmt durch die elektrischen Wechselwirkungen der Atome und damit eigentlich durch eine Überlagerung von Radarmethoden.“ — Hermann Bondi, Relativitätstheorie und gesunder Menschenverstand .

Von diesem Standpunkt aus betrachtet

„Mit unserer modernen Sichtweise und modernen Technologie ist das Michelson-Morley-Experiment also eine bloße Tautologie“ . Hermann Bondi, Annahme und Mythos in der Physikalischen Theorie .

Einen Beweis gibt es nicht , denn die Konstanz und Invarianz der Lichtgeschwindigkeit im Raum ist ein Axiom .

Wir haben angenommen, dass C eine konstante und unveränderliche Geschwindigkeit ist (und auch die Geschwindigkeitsbegrenzung im Universum) und dann haben wir die Frage gestellt:

„ Wie würde ein Universum mit C-Wesen mit solchen Eigenschaften aussehen? “

Und so schuf Einstein seine Relativitätstheorie, die eine Suche nach dem Verständnis eines solchen Universums ist. Ob unser Universum so ist wie das, das Einstein beschrieben hat, steht zur Debatte; Einsteins Suche bestand lediglich darin, zu sehen, wie sich irgendein Universum verhält, das C diese gegebenen Eigenschaften hat;

Bisher haben wir bewiesen (mit der Genauigkeit, die unsere Instrumente liefern), dass unser Universum genauso aussieht wie das mathematische Universum, das Einstein in seiner Relativitätstheorie erschaffen hat. Daraus können wir ableiten, dass Einsteins Relativitätstheorie nützlich ist . Und das ist alles, was die Physik für uns tun kann, ohne in den Bereich der Philosophie einzutreten.

Gibt es einen externen Beweis für die Eigenschaften der Lichtgeschwindigkeit? Wir wissen es noch nicht ; Wir müssten aus Raum und Zeit heraustreten, um eine so tiefgreifende Frage zu stellen, und bisher war keine Theorie dazu in der Lage ...

Die Physik steckt noch in den Kinderschuhen.